高考数学第一轮复习空间向量及其运算(b)

9 6 空间向量及其运算 B 知识梳理 空间两个向量的加法 减法法则类同于平面向量 即平行四边形法则及三角形法则 a b a b cos a b a2 a 2 a 与 b 不共线 那么向量 p 与 a b 共面的充要条件是存在实数 x y 使 p xa yb a b c 不共面 空间的任一向量 p 存在实数 x y z 使 p xa yb zc 点击双基 1 在以下四个式子中正确的有 a b c a b c a b c a b a b A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 0 个 解析 根据数量积的定义 b c 是一个实数 a b c 无意义 实数与向量无数量积 故 a b c 错 a b a b cos a b 只有 a b c 正确 答案 A 2 设向量 a b c 不共面 则下列集合可作为空间的一个基底的是 A a b b a a B a b b a b C a b b a c D a b c a b c 解析 由已知及向量共面定理 易得 a b b a c 不共面 故可作为空间的一个基底 故选 C 答案 C 3 在平行六面体 ABCD A B C D 中 向量 是B A D A BD A 有相同起点的向量B 等长的向量 C 共面向量D 不共面向量 解析 D A B A DB BD 共面 B A D A BD 答案 C 4 已知 a 1 0 b m m m 0 则 a b 答案 45 5 已知四边形 ABCD 中 a 2c 5a 6b 8c 对角线 AC BD 的中点分别ABCD 为 E F 则 EF 解析 EFEAABBF 又 EFECCDDF 两式相加 得 2 EFEAECABCDBFDF E 是 AC 的中点 故 0 同理 0 EAECBFDF 2 a 2c 5a 6b 8c 6a 6b 10c 3a 3b 5c EFABCDEF 答案 3a 3b 5c 典例剖析 例 1 证明空间任意无三点共线的四点 A B C D 共面的充分必要条件是 对于 空间任一点 O 存在实数 x y z 且 x y z 1 使得 x y z OAOBOCOD 剖析 要寻求四点 A B C D 共面的充要条件 自然想到共面向量定理 解 依题意知 B C D 三点不共线 则由共面向量定理的推论知 四点 A B C D 共面对空间任一点 O 存在实数 x1 y1 使得 x1 y1 OAOB BC BD x1 y1 1 x1 y1 x1 y1 取OBOCOBODOBOBOCOD x 1 x1 y1 y x1 z y1 则有 x y z 且 x y z 1 OAOBOCOD 特别提示 向量基本定理揭示了向量间的线性关系 即任一向量都可由基向量唯一的线性表示 为向量的坐标表示奠定了基础 共 线 面向量基本定理给出了向量共 线 面的充要条件 可用以证明点共 线 面 本题的结论 可作为证明空间四点共面的定理使用 例 2 在平行四边形 ABCD 中 AB AC 1 ACD 90 将它沿对角线 AC 折起 使 AB 与 CD 成 60 角 求 B D 间的距离 解 如下图 因为 ACD 90 A A C C B B D D 1 2 所以 0 同理 0 ACCDBAAC 因为 AB 与 CD 成 60 角 所以 60 或 120 因为 BACDBDBAACCD 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BDBAACCDBAACBACDACCDBAACCD 3 2 1 1 cos 4 60 BACDBACD BACD 2 120 BACD 所以 2 或 BD2 即 B D 间的距离为 2 或 2 例 3 在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 BD1交平面 ACB1于点 E A A D D B B C C 1 1 1 1 E M 求证 1 BD1 平面 ACB1 2 BE ED1 2 1 证明 1 我们先证明 BD1 AC 1 BD BC CD 1 DDACAB BC 1 BDACBCCD 1 DDABBC BCBC CDAB BC 2 2 1 1 0 BC ABAB BC AB BD1 AC 同理可证 BD1 AB1 于是 BD1 平面 ACB1 2 设底面正方形的对角线 AC BD 交于点 M 则 即 2BM 2 1 BD 2 1 11D B 对于空间任意一点 O 设 b m b1 d1 则上述等式BM 11D BOBOM 1 OB 1 OD 可改写成 2 m b d1 b1或 b1 2m d1 2b 记 e 此即表明 由 e 向量 21 2 1 mb 21 2 1 bd 所对应的点 E 分线段 B1M 及 D1B 各成 2 之比 所以点 E 既在线段 B1M B1M 面 ACB1 上又在线段 D1B 上 所以点 E 是 D1B 与平面 ACB1之交点 此交点 E 将 D1B 分成 2 与 1 之比 即 D1E EB 2 1 BE ED1 2 1 思考讨论 利用空间向量可以解决立体几何中的线线垂直 线线平行 四点共面 求长度 求夹 角等问题 闯关训练 夯实基础夯实基础 1 平行六面体ABCD A1B1C1D1中 M 为AC 和BD 的交点 若 a b 11B A 11D AAA1 c 则下列式子中与相等的是MB1 A A B B C C D D 1 11 1 M A a b c B a b c 2 1 2 1 2 1 2 1 C a b cD a b c 2 1 2 1 2 1 2 1 解析 c MB1BB1BMBB1 2 1 BABCAA1 2 1 11B A 2 1 11D A a b 故选 A 2 1 2 1 答案 A 2 O A B C 为空间四个点 又 为空间的一个基底 则OAOBOC A O A B C 四点不共线B O A B C 四点共面 但不共线 C O A B C 四点中任意三点不共线D O A B C 四点不共面 解析 由基底意义 三个向量不共面 但 A B C 三种情形都有可OAOBOC 能使 共面 只有 D 才能使这三个向量不共面 故应选 D OAOBOC 答案 D 3 已知 a 3b 与 7a 5b 垂直 且 a 4b 与 7a 2b 垂直 则 a b 解析 由条件知 a 3b 7a 5b 7 a 2 15 b 2 16a b 0 及 a 4b 7a 2b 7 a 2 8 b 2 30a b 0 两式相减得 46a b 23 b 2 a b b 2 代入上面两个式子中的任 2 1 意一个 即可得到 a b cos a b ba ba 2 2 2 1 b b 2 1 a b 60 答案 60 4 试用向量证明三垂线定理及其逆定理 已知 如下图 PO PA 分别是平面 的垂线和斜线 OA 是 PA 在 内的射影 a 求证 a PAa OA P O A a a 证明 设直线 a 上非零向量 a 要证 a PAa OA 即证 a 0a 0 AP AO a a 0 a a a a a OPAPAOOPAOOPAO a 0a 0 即 a PAa OA AP AO 评述 向量的数量积为零是证明空间直线垂直的重要工具 在应用过程中 常需要通过 加 减法对向量进行转换 当然 转换的方向是有利于计算向量的数量积 5 直三棱柱 ABC A1B1C1中 BC1 AB1 BC1 A1C 求证 AB1 A1C A A D B B C C 1 1 1 证明 CA1 11111111111 CCBCCCCABCCACCBCCCCA 11C A 0 2 1 CCBC AB AC 又 A1A B1B A1C AB1 评述 本题在利用空间向量来解决位置关系问题时 要用到空间多边形法则 向量的 运算 数量积以及平行 相等和垂直的条件 培养能力培养能力 6 沿着正四面体 OABC 的三条棱 的方向有大小等于 1 2 3 的三个力OAOBOC f1 f2 f3 试求此三个力的合力 f 的大小以及此合力与三条棱所夹角的余弦 A B C O 1 2 3 解 用 a b c 分别代表棱 上的三个单位向量 则OAOBOC f1 a f2 2b f3 3c 则 f f1 f2 f3 a 2b 3c f 2 a 2b 3c a 2b 3c a 2 4 b 2 9 c 2 4a b 6a c 12b c 1 4 9 4 a b cos a b 6 a c cos a c 12 b c cos b c 14 4cos60 6cos60 12cos60 14 2 3 6 25 f 5 即所求合力的大小为 5 且 cos f a a f af 5 32 2 cabaa 5 2 3 11 10 7 同理 可得 cos f b cos f c 5 4 10 9 7 在空间四边形 ABCD 中 求证 0 ABCDACDBAD BC 证法一 把拆成 后重组 ABACCBABCDACDBAD BC AC CBCDACDBAD BC ACCDCBCDACDBAD BC AC CDDBCBCDDAACCBCBCACBACCA 0 0 CB 证法二 如下图 设 a b c DADBDC 则 b a c ABCDACDBAD BC c a b a c b b c a c c b a b a c a b 0 A B CD 评述 把平面向量的运算推广到空间后 许多基本的运算规则没有变 证法一中体现了 向量的拆分重组技巧 要求较高 证法二设定三个向量为基底 而原式中所有向量化归为 关于 a b c 的式子 化简时的思路方向较清楚 探究创新探究创新 8 2004 年全国 理 20 如下图 已知四棱锥 P ABCD PB AD 侧面 PAD 为 边长等于 2 的正三角形 底面 ABCD 为菱形 侧面 PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120 P A B C D 1 求点 P 到平面 ABCD 的距离 2 求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小 1 解 如下图 作 PO 平面 ABCD 垂足为点 O 连结 OB OA OD OB 与 AD 交于点 E 连结 PE P O A B C D E AD PB AD OB PA PD OA OD 于是 OB 平分 AD 点 E 为 AD 的中点 PE AD 由此知 PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角 PEB 120 PEO 60 由已知可求得 PE PO PE sin60 3 即点P到平面ABCD的距离为 3 2 3 2 3 2 3 2 解法一 如下图建立直角坐标系 其中 O 为坐标原点 x 轴平行于 DA P O A B C D G E x y z P 0 0 B 0 0 PB 中点 G 的坐标为 0 连结 AG 2 3 2 33 4 33 4 3 又知 A 1 0 C 2 0 2 3 2 33 由此得到 1 GA 4 3 4 3 0 2 0 0 PB 2 33 2 3 BC 于是有 0 0 GAPB BC PB 的夹角 等于所求二面角的平面角 GAPB BC PBGA BC 于是 cos BCGA BCGA 7 72 所求二面角的大小为 arccos 7 72 解法二 如下图 取PB 的中点G PC 的中点F 连结EG AG GF 则 AG PB FG BC FG BC 2 1 P O A B C D G F E AD PB BC PB FG PB AGF 是所求二面角的平面角 AD 面 POB AD EG 又 PE BE EG PB 且 PEG 60 在 Rt PEG 中 EG PE cos60 2 3 在 Rt GAE 中 AE AD 1 于是 tan GAE 2 1 AE EG 2 3 又 AGF GAE 所求二面角的大小为 arctan 2 3 思悟小结 1 若表示向量 a1 a2 an的有向线段终点和始点连结起来构成一个封闭折图形 则 a1 a2 a3 an 0 2 应用向量知识解决几何问题时 一方面要选择恰当的基向量 另一方面要熟练地进 行向量运算 教师下载中心 教学点睛教学点睛 1 要使学生正确理解空间向量的加法法则 减法法则以及空间向量的数量积 掌握空 间向量平行 垂直的条件及三个向量共面及四点共面的条件 2 空间中的任何一个向量都可以用不共面的三个向量线性表示 这三个向量也称为一 个基底 在证明两个向量平行 垂直或求其夹角时 往往把它们用同一个基底来表示 从而 实现解题的目的 拓展题例拓展题例 例 1 下列命题中不正确的命题个数是 若 A B C D 是空间任意四点 则有 0 a b a b 是AB BC CDDA a b 共线的充要条件 若 a b 共线 则 a 与 b 所在直线平行 对空间任意点 O 与不 共线的三点 A B C 若 x y z 其中 x y z R 则 P A B C 四OPOAOBOC 点共面 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 易知只有 是正确的 对于 若 O平面 ABC 则 不共面 OAOBOC 由空间向量基本定理知 P 可为空间任一点 所以 P A B C 四点不一定共面 答案 C 例 2 A 是 BCD 所在平面外一点 M N 分别是 ABC 和 ACD 的重心 若 BD 4 试求 MN 的长 A B C D EF NM 解 连结 AM 并延长与 BC 相交于 E 连结 AN 并延长与 CD 相交于 E 则 E F 分别 是 BC 及 CD 的中点 现在 MNANAM 3 2 AF 3 2 AE 3 2 AFAE 3 2 EF 3 2 CFCE 3 2 2 1 CD 2 1 CB 3 1 CDCB 3 1 B