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3 3 2函数的极值与导数 第三章导数及其应用 天马行空官方博客 跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 米 与起跳后的时间t 单位 秒 存在函数关系h t 4 9t2 6 5t 10 其图象如右 单调递增 单调递减 对于d点函数y f x 在点x d的函数值f d 比在其附近其他点的函数值都小 0 在点x d附近的左侧0 我们把点d叫做函数y f x 的极小值点 f d 叫做函数y f x 的极小值 在点x e附近的左侧 0在点x e附近的右侧 0 对于e点函数y f x 在点x e的函数值f e 比在其附近其他点的函数值都大 0 我们把点e叫做函数y f x 的极大值点 f e 叫做函数y f x 的极大值 极小值点 极大值点统称为极值点 极小值 极大值统称为极值 极大值一定大于极小值吗 不一定 例1 求函数f x x3 12x 12的极值 解 3x2 12 3 x 2 x 2 令 0 得x 2 或x 2 下面分两种情况讨论 1 当 0即x 2 或x 2时 2 当 0即 2 x 2时 当x变化时 f x 的变化情况如下表 因此 当x 2时 f x 有极大值 并且极大值为f 2 28 当x 2时 f x 有极小值 并且极小值为f 2 4 图象如右 练习1 求函数f x 6 12x x3 12 3x2 3 4 x2 3 2 x 2 x 一般地 求函数的极值的方法是 解方程 0 当 0时 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极大值 如果在x0附近的左侧右侧那么 f x0 是极小值 即 峰顶 即 谷底 例2 已知函数f x ax3 bx2 2x在x 2 x 1处取得极值 1 求函数的解析式 2 求函数f x 的单调区间 解 1 3ax2 2bx 2 因为f x 在x 2 x 1处取得极值 所以 解得 3ax2 2bx 2 即 f x ax3 bx2 2x x2 x 2 由 0 得x1 所以f x 的单调增区间为 2 1 由 0 得 2 x 1 所以f x 的单调减区间为 2 1 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 思考 但x 0不是函数的极值点 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充分条件 小结 一般地 求函数的极值的方法是 解方程 0 当 0时 如果在x0附近的左侧右侧
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