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第一节多元函数的基本概念 一 平面点集n维空间 二 多元函数的概念 三 多元函数的极限 四 多元函数的连续性 第九章多元函数微分学 点P0的去心邻域记为 1 邻域 例如 在平面上 圆邻域 在空间中 球邻域 说明 若不需要强调邻域半径 也可写成 一 平面点集n维空间 在讨论实际问题中也常使用方邻域 因为方邻域与圆邻域 平面上的方邻域为 可以互相包含 1 内点 外点 边界点 设有点集E及一点P 若存在点P的某邻域U P E 若存在点P的某邻域U P E 则称P为E的内点 则称P为E的外点 显然 E的内点必属于E E的外点必不属于E 2 区域 聚点可以属于E 也可以不属于E 2 聚点 D 若点集E的点都是内点 则称E为开集 若点集E 边界 则称E为闭集 开区域连同它的边界一起称为闭区域 连通的开集称为开区域 E的边界点的全体称为E的边界 3 开区域及闭区域 例如 在平面上 开区域 闭区域 整个平面是最大的开域 也是最大的闭域 存在一圆盘 可覆盖整个区域 即为有界域 3 n维空间 中点a的 邻域为 二 多元函数的概念 引例 圆柱体的体积 定量理想气体的压强 三角形面积的海伦公式 定义1 设非空点集 点集D称为函数的定义域 数集 称为函数的值域 特别地 当n 2时 有二元函数 当n 3时 有三元函数 映射 称为定义在D上 的n元函数 记作 例如 二元函数 定义域为圆域 说明 二元函数z f x y x y D 图形为中心在原点的上半球面 的图形一般为空间曲面 三 多元函数的极限 定义2 设n元函数 点 则称A为函数 也称为n重极限 当n 2时 记 二元函数的极限可写作 P0是D的聚 若存在常数A 对一 记作 都有 对任意正数 总存在正数 切 例1设 求证 证 故 总有 要证 例2设 求证 证 故 总有 要证 若当点 不同值或有的极限不存在 解设沿直线趋于点 在点 0 0 的极限 则可以断定函数极限不存 则有 k值不同极限不同 在 0 0 点极限不存在 以不同方式趋于 在 例3讨论函数 函数趋于 例4 求 由积的极限运算法则 得 例5求 而 故 仅知其中一个存在 推不出其它二者存在 二重极限 不同 如果它们都存在 则三者相等 例如 显然 与累次极限 但由例3知它在 0 0 点二重极限不存在 四 多元函数的连续性 例如 函数 在点 0 0 极限不存在 故 0 0 为其间断点 又如 函数 在圆周上间断 结论 一切多元初等函数在定义区域内连续 定理 若f P 在有界闭域D上连续 则 4 f P 必在D上一致连续 在D上可取得最大值M及最小值m 3 对任意 有界性定理 最值定理 介值定理 一致连续性定理 闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质 证明略 解原式 例5求 例6求函数 的连续域 解 内容小结 1 区域 邻域 区域 连通的开集 2 多元函数概念 n元函数 常用 二元函数 图形一般为空间曲面 三元函数 有 3 多元函数的极限 4
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