高中不等式所有知识及典型例题(超全)15818

精品文档 11欢迎下载 1 不等式的性质不等式的性质 二 不等式大小比较的常用方法二 不等式大小比较的常用方法 1 作差 作差后通过分解因式 配方等手段判断差的符号得出结果 2 作商 常用于分数指数幂的代数式 3 分析法 4 平方法 5 分子 或分母 有理化 6 利用函数的单调性 7 寻找中间量或放缩法 8 图象法 其中比较法 作差 作商 是最 基本的方法 三 重要不等式三 重要不等式 1 1 若 则 2 若 则 当且仅当时取 Rba abba2 22 Rba 2 22 ba ab ba 2 1 若 则 2 若 则 当且仅当时取 Rba ab ba 2 Rba abba2 ba 3 若 则 当且仅当时取 Rba 2 2 ba ab ba 3 若 则 当且仅当时取 0 x 1 2x x 1x 若 则 当且仅当时取 0 x 1 2x x 1x 若 则 当且仅当时取 0 x 111 22 2xxx xxx 即或 ba 若 则 当且仅当时取 0 ab 2 a b b a ba 若 则 当且仅当时取 0ab 22 2 ababab bababa 即或ba 4 若 则 当且仅当时取 Rba 2 2 22 2 baba ba 注 1 当两个正数的积为定植时 可以求它们的和的最小值 当两个正数的和为定植时 可以 求它们的积的最小值 正所谓 积定和最小 和定积最大 2 求最值的条件 一正 二定 三取等 3 均值定理在求最值 比较大小 求变量的取值范围 证明不等式 解决实际问题方面有广 泛的应用 5 a3 b3 c3 3abc a b c R 当且仅当a b c时取等号 a b c 3 3 abc 6 a1 a2 an ai R i 1 2 n 当且仅当 a1 a2 an取等号 1 n 12 n n a aa 变式 a2 b2 c2 ab bc ca ab 2 a b R abc 3 a b c R a b 2 a b c 3 a b 0 a b 2ab a bab a b 2 精品文档 22欢迎下载 7 浓度不等式 b n 0 m 0 b n a n b a b m a m 应用一 求最值应用一 求最值 例 1 求下列函数的值域 1 y 3x 2 2 y x 1 2x 2 1 x 解题技巧 解题技巧 技巧一 凑项技巧一 凑项 例 1 已知 求函数的最大值 5 4 x 1 42 45 yx x 评注 本题需要调整项的符号 又要配凑项的系数 使其积为定值 技巧二 凑系数技巧二 凑系数 例 1 当时 求的最大值 82 yxx 技巧三 技巧三 分离分离 例 3 求的值域 2 710 1 1 xx yx x 技巧四 换元技巧四 换元 解析二 本题看似无法运用基本不等式 可先换元 令t x 1 化简原式在分离求最值 22 1 7 1 10544 5 tttt yt ttt 当 即t 时 当t 2 即x 1 时取 号 4 259yt t 技巧五 注意 在应用最值定理求最值时 若遇等号取不到的情况 应结合函数技巧五 注意 在应用最值定理求最值时 若遇等号取不到的情况 应结合函数的单的单 a f xx x 调性 调性 例 求函数的值域 2 2 5 4 x y x 解 令 则 2 4 2 xt t 2 2 5 4 x y x 2 2 11 4 2 4 xtt t x 因 但解得不在区间 故等号不成立 考虑单调性 1 0 1tt t 1 t t 1t 2 因为在区间单调递增 所以在其子区间为单调递增函数 故 1 yt t 1 2 5 2 y 所以 所求函数的值域为 5 2 2 已知 求函数的最大值 3 求函数的最大值 01x 1 yxx 2 0 3 x 2 3 yxx 条件求最值条件求最值 1 若实数满足 则的最小值是 2 ba ba 33 分析 和 到 积 是一个缩小的过程 而且定值 因此考虑利用均值定理求最小值 ba 33 精品文档 33欢迎下载 解 都是正数 ba 33 和 ba 33 632332 baba 当时等号成立 由及得即当时 的最小值是 ba 33 2 ba ba 33 1 ba1 ba ba 33 6 变式 若 求的最小值 并求x y的值 44 loglog2xy 11 xy 技巧六 整体代换 多次连用最值定理求最值时 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 技巧六 整体代换 多次连用最值定理求最值时 要注意取等号的条件的一致性 否则就会出错 2 已知 且 求的最小值 0 0 xy 19 1 xy xy 技巧七 已知技巧七 已知x x y y为正实数 且为正实数 且x x 2 2 1 1 求 求x x的最大值的最大值 y y 2 2 2 21 1 y y 2 2 分析 因条件和结论分别是二次和一次 故采用公式ab a 2 b 2 2 同时还应化简中y2前面的系数为 x x x 1 y 2 1 21 y 22 下面将x 分别看成两个因式 x 即x x 3 41 y 22 3 42 技巧八 已知技巧八 已知a a b b为正实数 为正实数 2 2b b abab a a 3030 求函数 求函数y y 的最小值的最小值 1 1 a ab b 分析 这是一个二元函数的最值问题 通常有两个途径 一是通过消元 转化为一元函数问题一是通过消元 转化为一元函数问题 再用单调性或基本不等式求解 对本题来说 这种途径是可行的 二是直接用基本二是直接用基本不等式 对本 题来说 因已知条件中既有和的形式 又有积的形式 不能一步到位求出最值 考虑用基本不等 式放缩后 再通过解不等式的途径进行 法一 a ab b 由a 0 得 0 b 15 30 2b b 1 30 2b b 1 2 b 2 30b b 1 令t b 1 1 t 16 ab 2 t 34 t 2 8 2t 2 34t 31 t 16 t 16 t ab 18 y 当且仅当t 4 即b 3 a 6 时 等号成立 1 18 法二 由已知得 30 ab a 2b a 2b 2 30 ab 2 2 ab2 ab 令u 则u2 2u 30 0 5 u 3 ab222 3 ab 18 y ab2 1 18 精品文档 44欢迎下载 点评 本题考查不等式的应用 不等式的解法及运算能力 如何由已ab ba 2 Rba 知不等式出发求得的范围 关键是寻找到之间的关系 由230abab Rba ababba与 此想到不等式 这样将已知条件转换为含的不等式 进而解得的范ab ba 2 Rba abab 围 变式 1 已知a 0 b 0 ab a b 1 求a b的最小值 2 若直角三角形周长为 1 求它的面积最大值 技巧九 取平方技巧九 取平方 5 已知x y为正实数 3x 2y 10 求函数W 的最值 3x2y 解法一 若利用算术平均与平方平均之间的不等关系 本题很简单 a b 2 a 2 b 2 2 2 3x2y223x 2y5 解法二 条件与结论均为和的形式 设法直接用基本不等式 应通过平方化函数式为积的形式 再向 和为定值 条件靠拢 W 0 W2 3x 2y 2 10 2 10 2 2 10 3x 2y 20 3x2y3x2y3x2y W 2 205 应用二 利用基本不等式证明不等式应用二 利用基本不等式证明不等式 1 已知为两两不相等的实数 求证 cba cabcabcba 222 1 正数a b c满足a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8abc 例 6 已知a b c 且 求证 R 1abc 111 1118 abc 分析 不等式右边数字 8 使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个 2 连乘 又 可由此变形入手 112 1 abcbc aaaa 解 a b c 同理 R 1abc 112 1 abcbc aaaa 12 1 ac bb 12 1 ab cc 上述三个不等式两边均为正 分别相乘 得 当且仅当时取等号 111222 1118 bcacab abcabc AA 1 3 abc 应用三 基本不等式与恒成立问题应用三 基本不等式与恒成立问题 例 已知且 求使不等式恒成立的实数的取值范围 0 0 xy 19 1 xy xym m 解 令 0 0 xyk xy 19 1 xy 99 1 xyxy kxky 109 1 yx kkxky 103 12 kk 16k 16m 应用四 均值定理在比较大小中的应用 应用四 均值定理在比较大小中的应用 精品文档 55欢迎下载 例 若 则的大小关系是 2 lg lg lg 2 1 lglg 1 ba RbaQbaPba RQP 分析 1 ba0lg 0lg ba 2 1 Qpbaba lglg lglg R QQabab ba R lg 2 1 lg 2 lg 四 不等式的解法四 不等式的解法 1 1 一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法 2 2 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法 3 3 简单的一元高次不等式的解法简单的一元高次不等式的解法 标根法 其步骤是 1 分解成若干个一次因式的积 并使每并使每 一个因式中最高次项的系数为正一个因式中最高次项的系数为正 2 将每一个一次因式的根标在数轴上 从最大根的右上 方依次通过每一点画曲线 并注意奇穿过偶弹回奇穿过偶弹回 3 根据曲线显现的符号变化规律 f x 写出不等式的解集 如如 1 1 解不等式 2 1 2 0 xx 答 或 1x x 2 x 2 2 不等式的解集是 2 2 230 xxx 答 或 3x x 1 x 3 3 设函数 的定义域都是 R 且的解集为 的解集 f x g x 0f x 12 xx 0g x 为 则不等式的解集为 0f x g x A 答 1 2 4 4 要使满足关于的不等式 解集非空 的每一个的值至少满足不等式x092 2 axxx 中的一个 则实数的取值范围是 086034 22 xxxx和a 答 81 7 8 4 4 分式不等式的解法 分式不等式的解法 分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为 0 再通分并将分子分母分 解因式 并使每一个因式中最高次项的系数为正并使每一个因式中最高次项的系数为正 最后用标根法求解 解分式不等式时 一 般不能去分母 但分母恒为正或恒为负时可去分母 如如 1 1 解不等式 2 5 1 23 x xx 答 1 1 2 3 2 2 关于的不等式的解集为 则关于的不等式的解集为x0 bax 1 x0 2 x bax 答 2 1 5 5 指数和对数不等式 指数和对数不等式 6 6 绝对值不等式的解法 绝对值不等式的解法 1 含绝对值的不等式 x a 与 x a 的解集 2 ax b c c 0 和 ax b c c 0 型不等式的解法 ax b c c ax b c ax b c ax b c 或 ax b c 3 x a x b c c 0 和 x a x b c c 0 型不等式的解法 方法一 利用绝对值不等式的几何意义求解 体现了数形结合的思想 精品文档 66欢迎下载 方法二 利用 零点分段法 求解 体现了分类讨论的思想 方法三 通过构造函数 利用函数的图象求解 体现了函数与方程的思想 方法四 两边平方 例例 1 1 解下列不等式 2 1 2xxx 1 2 3 x 或 x2 2x3 或 x 0 或 0 x 1 原不等式的解集为 x x 0 或 0 x3 解法解法 2 2 数形结合法 数形结合法 作出示意图 易观察原不等式的解集为 x x 0 或 0 x3 第 1 题图 第 2 题图 解析 此题若直接求解分式不等式组 略显复杂 且容易解答错误 若能结合反比例函 数图象 则解集为 结果一目了然 1 2 x x 1 或x 3 例例 2 2 解不等式 1 x x 解析 作出函数 f x x 和函数 g x 的 1 x 图象 易知解集为 01 例例 3 3 1 1 3 2 xx 解不等式 解法解法 1 1 令 2 1 1 1 2 11 2 1 x g xxxxx x 令 分别作出函数 g x 和 3 2 h x h x 的图象 知原不等式的 解集为 3 4 精品文档 77欢迎下载 解法解法 2 2 原不等式等价于 1 1 3 2 xx 令 3 1 1 2 g xxh xx 分别作出函数 g x 和 h x 的图象 易求出 g x 和 h x 的图象的交点坐标为 3 7 4 4 所以不等式的解集为 1 1 3 2 xx 3 4 解法解法 3 3 由的几何意义可设 1 x y 1 1 3 2 xx 若 可知 的轨迹是以 1 2 为焦点的双曲线的右支 其中右顶点为 12 3 2 MFMF 由双曲线的图象和 x 1 x 1 知 x 7 7 含参不等式的解法 含参不等式的解法 求解的通法是 定义域为前提 函数增减性为基础 分类讨论是关键 注意解完之后要写上 综上 原不等式的解集是 注意注意 按参数讨论 最后应按参数取值分 别说明其解集 但若按未知数讨论 最后应求并集 如如 1 1 若 则的取值范围是 答 或 2 log1 3 a a1a 2 0 3 a 2 2 解不等式 2 1 ax x aR ax 答 时 时 或 时 或 0a x0 x 0a 1 x x a 0 x 0a 1 0 xx a 0 x 提醒 提醒 1 1 解不等式是求不等式的解集 最后务必有集合的形式表示 2 2 不等式解集的 端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值 如如关于的不等式 x0 bax 的解集为 则不等式的解集为 答 1 2 1 0 2 bax x 五 绝对值三角不等式五 绝对值三角不等式 定理定理 1 1 如果 a b 是实数 则 a b a b 当且仅当 ab 0 时 等号成立 注 注 1 绝对值三角不等式的向量形式及几何意义 当a b 不共线时 a b a b 它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边 2 不等式 a b a b a b 中 成立的条件分别是 不等式 a b a b a b 在侧 成立的条件是 ab 0 左侧 成立的条件是 ab 0 且 a b 不等式 a b a b a b 右侧 成立的条件是 ab 0 左侧 成立的 条件是 ab 0 且 a b 定理定理 2 2 如果 a b c 是实数 那么 a c a b b c 当且仅当 a b b c 时 等号成立 精品文档 88欢迎下载 例例 1 1 已知 求证0 ax by 53232 bayx 例例 2 1 2 1 求函数的最大和最小值 13 xxy 2 2 设 函数 Ra 11 2 xaxaxxf 若 求的最大值1 a xf 例例 3 3 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工 这两个地点分别位于公路路牌的第 10km 和第 20km 处 现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区 每个施工队每天在生活区和施工 地点之间往返一次 要使两个施工队每天往返的路程之和最小 生活区应该建于何处 6 6 柯西不等式柯西不等式 2 2211nnb ababa 2 22 2 2 1 2 22 2 2 1nn bbbaaa niRba ii 2 1 等号当且仅当0 21 n aaa 或 ii kab 时成立 k 为常数 ni 2 1 类型一 利用柯西不等式求最值类型一 利用柯西不等式求最值 1 求函数的最大值 一 一 且 函数的定义域为 且 即时函数取最大值 最大值为 二 二 且 函数的定义域为 由 得 即 解得 时函数取最大值 最大值为 当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解 类型二 利用柯西不等式证明不等式类型二 利用柯西不等式证明不等式 2 设 为正数且各不相等 求证 精品文档 99欢迎下载 又 各不相等 故等号不能成立 类型三 柯西不等式在几何上的应用类型三 柯西不等式在几何上的应用 6 ABC 的三边长为 a b c 其外接圆半径为 R 求证 证明 由三角形中的正弦定理得 所以 同理 于是左边 七 证明不等式的方法七 证明不等式的方法 比较法 分析法 综合法和放缩法 比较法的步骤是 作差 商 后通过 分解因式 配方 通分等手段变形判断符号或与 1 的大小 然后作出结论 常用的放缩技巧有 2 1111111 1 1 1 1nnn nnn nnn 111 11 121 kkkk kkkkk 如 如 1 1 已知 求证 cba 222222 cabcabaccbba 2 2 已知 求证 Rcba 222222 cbaabcaccbba 3 3 已知 且 求证 a b x yR 11 xy ab xy xayb 4 4 若 a b c 是不全相等的正数 求证 lglglglglglg 222 abbcca abc 5 5 已知 求证 Rcba 2222 a bb c 22 c aabc abc 6 6 若 求证 nN 2 1 1 1 nn 2 1nn 7 7 已知 求证 ab abab abab 8 8 求证 222 111 12 23n 八 不等式的恒成立八 不等式的恒成立 能成立能成立 恰成立等问题恰成立等问题 不等式恒成立问题的常规处理方式 常应用函数 方程思想和 分离变量法 转化为最值问题 也可抓住所给不等式的结构特征 利用数形 结合法 1 1 恒成立问题恒成立问题 若不等式在区间上恒成立 则等价于在区间上 Axf DD minf xA 若不等式在区间上恒成立 则等价于在区间上 Bxf DD maxf xB