等比数列学案

1 / 18等比数列学案本资料为 WoRD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 第 4 课时等比数列的综合应用知能目标解读1.进一步巩固等比数列的通项公式、性质及前 n 项和公式.2.掌握数列求和的常用方法错位相减法.重点难点点拨重点：错位相减法求和的理解及等比数列性质的应用.难点：错位相减法求和的应用.学习方法指导如果数列an是等差数列，公差为 d;数列bn是等比数列，公比为 q,求数列anbn的前 n 项和，可以运用错位相减法.方法如下：设 Sn=a1b1+a2b2+a3b3+anbn,当 q=1 时，bn是常数列，Sn=b1(a1+a2+a3+an)=;当 q1 时，则qSn=qa1b1+qa2b2+qa3b3+qanbn=a1b2+a2b3+an-1bn+anbn+1,所以 Sn-qSn=(1-q)Sn=a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+bn-anbn+1,所以 Sn=.知能自主梳理2 / 181.在等比数列的前 n 项和公式 Sn=中，如果令 A=，那么Sn=.2.若 Sn 表示数列an的前 n 项和，且 Sn=Aqn-A(A0，q0 且 q1)，则数列an是.3.在等比数列an中，Sn 为其前 n 项和.(1)当 q=-1 且 k 为偶数时，Sk,S2k-Sk，S3k-S2k(kN+);(2)当 q-1 或 k 为奇数时，数列 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k(kN+).答案1.Aqn-A2.等比数列3.不是等比数列是等比数列思路方法技巧命题方向等比数列性质的应用例 1(1)等比数列an，已知 a1=5，a9a10=100，求 a18；(2)在等比数列bn中，b4=3，求该数列前七项之积；(3)在等比数列an中，a2=-2，a5=54，求 a8.分析由等比数列的性质可知：与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积，与某一项距离相等的两项之积等于这一项的平方.解析(1)a1a18=a9a10,3 / 18a18=20.(2)b1b2b3b4b5b6b7=(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4.b24=b1b7=b2b6=b3b5,前七项之积为(32)33=37=2187.(3)解法一：a8=a5q3=a5=54=-1458.解法二：a5 是 a2 与 a8 的等比中项，542=a8(-2).a8=-1458.说明本题的求解，主要应用了等比数列的性质，若 m,n,k,lN+且 m+n=k+l，则 amal.由此可见，在等比数列问题中，合理应用性质，可使解法简捷.变式应用 1已知an是等比数列，且a1a10=243,a4+a7=84,求 a11.解析a4a10,a4a7=243,a4=81a4=3又 a4+a7=84,，或a7=3a7=81q=或 q=3.a11=3q4=3（）4=或 a11=8134=6561.命题方向与前 n 项和有关的等比数列的性质问题例 2各项都是正实数的等比数列an，前 n 项的和4 / 18记为 Sn,若 S10=10,S30=70,则 S40 等于（）-或-或-50答案A分析本题思路较为广泛，可以运用等比数列前 n项和公式列方程，确定基本量 a1,q 后求解，也可以应用等比数列前 n 项和的性质求解.解析解法一：设首项为 a1,公比为 q，由题意知q1.=10由，=70由以上两式相除得 q20+q10-6=0,解得 q10=2 或 q10=-3(舍去)，代入有=-10，S40=-10(-15)=150.解法二：易知 q1，由 S10,S20-S10,S30-S20,S40-S30 成公比为 q10 的等比数列,则S30=S10+(S20-S10)+(S30-S20)=S10+q10S10+q20S10，即 q20+q10-6=0，解得 q10=2 或 q10=-3（舍去） ，S40=S10+(S20-S10)+(S30-S20)+(S40-S30)=10(1+2+22+23)=150.解法三：运用性质 Sm+n=Sm+qmSn 求解，5 / 18S30=S20+q20S10=S10+q10S10+q20S10从而有 q20+q10-6=0，解得 q10=2 或 q10=-3(舍去).S40=S30+q30S10=70+810=150.解法四：易知 q1,=，q20+q10-6=0,解得 q10=2 或 q10=-3(舍去).又=，所以 S40=150.说明在与等比数列的和有关的问题中，合理应用和的性质，可以简化运算，本题的解法二运用了当 q-1时，数列 Sm，S2m-Sm,S3m-S2m,仍成等比数列，公比为qm，解法三运用了等比数列的性质：Sm+n=Sm+qmSn，解法四运用了等比数列的性质：当 q1 时，=.变式应用 2等比数列an的前 n 项和为 Sn,若S5=10,S10=20,则 S15 等于.答案30解析an为等比数列，S5，S10-S5，S15-S10 成等比数列，（S10-S5）2=S5（S15-S10） ，即 100=10（S15-20） ，解得 S15=30.探索延拓创新命题方向错位相减法求数列的和例 3求数列 1，3a,5a2,7a3,(2n-1)an-1 的前 n6 / 18项和（a0）.分析由题设可知数列的通项公式为 an=(2n-1)an-1,数列的每一项可分成两个因式，前一个因式可构成等差数列，后一个因式可构成等比数列，故可选用错位相减法求和.解析当 a=1 时，Sn=1+3+5+(2n-1)=n2.当 a1 时，有 Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1 ,aSn=a+3a2+5a2+7a4+(2n-1)an ,-得,Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an=1+-(2n-1)an,Sn=+.说明一般来说，如果数列an是等差数列，公差为 d;数列bn是等比数列，公比为 q,则求数列anbn的前n 项和就可以运用错位相减法.变式应用 3求数列n2n的前 n 项和 Sn.解析Sn=12n 2Sn=123+（n-1）2n+1 -得-Sn=2+22+23+2n-n2n+17 / 18=-n2n+1=2n+1-2-n2n+1,Sn=(n-1)2n+1+2.名师辨误做答例 4若数列an的前 n 项和为 Sn=an-1（a0） ，则数列an是（）A.等比数列 B.等差数列c.可能是等比数列，也可能是等差数列 D.可能是等比数列，但不可能是等差数列误解A由 Sn=an-1，得an=(a-1)an-1，则有=a-1(常数)，故选 A.辨析错误的原因在于：当 a=1 时，an=0，an是等差数列，而不是等比数列，这是没有理解等比数列中an0 而造成的.正解c由 Sn=an-1,得an=(a-1)an-1.当 a=1 时，an=0,数列an为等差数列；当 a1 时，=a-1,(不为零的常数)，则数列an为等比数列，故选 c.课堂巩固训练一、选择题1.（XX辽宁文，5）若等比数列an满足8 / 18anan+116n，则公比为（）答案B解析本题考查了灵活利用数列的特点来解题的能力.anan=16n-1=q2=16q=4.2.在各项为正数的等比数列中，若 a5-a4=576,a2-a1=9,则 a1+a2+a3+a4+a5 的值是（）答案B解析由题意得 a4(q-1)=576,a1(q-1)=9,=q3=64,q=4,a1=3,a1+a2+a3+a4+a5=1023.3.在等比数列an中，a1=1,公比|q|1,若am=a1a2a3a4a5，则 m=（）答案c解析a1=1,am=a1a2a3a4a5=a51q10=q10,又am=a1qm-1=qm-1,qm-1=q10,m-1=10,m=11.9 / 18二、填空题4.若等比数列an的前 n 项和 Sn=2n+1+r,则 r 的值为.答案-2解析解法一：a1=S1=4+r,a2=S2-S1=8+r-4-r=4,a3=S3-S2=16+r-8-r=8,又an为等比数列，a22=a1a3,16=8(4+r),r=-2.解法二：Sn=2n+1+r=22n+r,数列an为等比数列，Sn=A2n+r,r=-2.5.设等比数列an的公比为 q,前 n 项和为 Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列，则 q 的值为.答案-2解析Sn+1,Sn,Sn+2 成等差数列，2Sn=Sn+1+Sn+2(Sn+1-Sn)+(Sn+2-Sn)=0,an+1+an+1+an+2=0,2an+1=-an+2,10 / 18=-2,q=-2.三、解答题6.（XX重庆文，16）设an是公比为正数的等比数列，a1=2,a3=a2+4.(1)求an的通项公式;(2)设bn是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列an+bn的前 n 项和 Sn.分析（1）问设出公比 q，由已知建立有关 q 的方程，求出公比 q，写出通项公式.（2）甲分组求和，先求 an 的和，再求 bn 的和，然后相加得 Sn.解析（1）设等比数列an的公比为 q，由a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4即 q2-q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍)，q=2an=a12n-1=2n（2）数列 bn=1+2(n-1)=2n-1Sn=+n1+2=2n+1-2+n2-n+n=2n+1+n2-2.点评此题考查等差、等比数列的通项公式，及求和公式，考查方程的思想，注意等比数列的公比为正数，此题属基础保分题.11 / 18课后强化作业一、选择题1.已知等比数列an中，an=23n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前 n 项和为（）(3n-1)c.(9n-1)D.(9n-1)答案D解析a2=6,q=9,Sn=(9n-1).2.(XX辽宁文)设 Sn 为等比数列an的前 n 项和，已知 3S3=a4-2,3S2=a3-2,则公比 q=（）答案B解析3S3=a4-2,3S2=a3-2,3S3-3S2=a4-a3,3a3=a4-a3,4a3=a4,=4,q=4.3.等比数列an的前 n 项和 Sn=2n-1+a,则 a 的值为（）A.-B.-答案B解析Sn=2n+a,12 / 18又Sn=Aqn-A,a=-.4.等比数列an的公比为，且 S3=1,则 S6 等于（）答案B解析q=,S3=2a1（1-）=a1=1,a1=.S6=（1-）=.5.数列1，1+2，1+2+22，1+2+22+23，1+2+22+2n-1 的前 n项和 Sn1020,那么 n 的最小值是（）答案D解析因为 1+2+22+2n-1=2n-1,所以 Sn=21-1+22-1+2n-1=2n+1-n-21020,所以 n 的最小值为 10.6.已知等比数列an中，公比 q=,且a1+a3+a5+a99=60,则 a1+a2+a3+a100=（）答案B解析13 / 18a2+a4+a6+a100=a1q+a3qa5q+a99q=q(a1+a3+a5+a99)=6030a1+a2+a3+a100=(a1+a3+a5+a99)+(a2+a4+a6+a100)=60+30=90.7.已知 2a=3,2b=6,2c=12,则 a,b,c（）A.成等差数列不成等比数列 B.成等比数列不成等差数列c.既成等差数列又成等比数列D. 既不成等差数列又不成等比数列答案A解析解法一：由已知得a=log23,b=log26=log23+log22,c=log212=log23+2log22.b-a=c-b.解法二：2a2c=36=(2b)2,a+c=2b,故选 A.8.（XX四川文，9）数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1,an+1=3Sn(n1),则 a6=（）44+1答案A解析该题考查已知一个数列的前 n 项和 Sn 与 an+1的关系，求通项公式 an.注意的问题是用 an=Sn-Sn-1 时14 / 18(n2)的条件.an+1=3Snan=3Sn-1-得 an+1-an=3Sn-3Sn-1=3an即 an+1=4an=4.(n2)当 n=2 时，a2=3a1=3,=3=4an 为从第 2 项起的等比数列，且公比q=4,a6=a244.二、填空题9.等比数列an的前 n 项和为 Sn=3n+1+m,则 a1=.答案6解析a1=S1=9+m,a2=S2-S1=27+m-9-m=18,a3=S3-S2=81+m-27-m=54,又an为等比数列，a22=a1a3,182=54(9+m)，解得 m=-3.a1=9+m=6.10.实数，1，成等差数列，实数 a2,1,c2 成等比数列，则=.答案1 或-15 / 18+=2ac=1ac=-1解析由条件，得或，a2c2=1a+c=2a+c=-2=1 或-.11.已知an是公比为 q(q1)的等比数列，an0,m=a5+a6,k=a4+a7,则 m 与 k 的大小关系是.答案mk解析m-k=(a5+a6)-(a4+a7)=(a5-a4)-(a7-a6)=a4(q-1)-a6(q-1)=(q-1)(a4-a6)=(q-1)(1-q2)=-a4(1+q)(1-q)2k.12.设数列an的前 n 项和为 Sn(nN+)，关于数列an有下列三个命题：若an既是等差数列又是等比数列，则 an=an+1(nN+);若 Sn=an2+bn(a、bR)，则an是等差数列；若 Sn=1-(-1)n，则an是等比数列.这些命题中，正确命题的序号是.答案解析对于命题，易知它是各项不为零的常数数列，有 an=an+1.对于命题，由 Sn=an2+bn(a、bR)得16 / 18an=b+a+(n-1)2a，当 n=1 时，也适合上式.an为等差数列.对于命题，由 Sn=1-(-1)n 得 an=2(-1)n-1，当 n=1 时也适合上式.故an为等比数列.三、解答题13.(XX新课标文，17)已知等比数列an中，a1=，公比 q=.(1)Sn 为an的前 n 项和，证明：Sn=；(2)设 bn=log3a1+log3a2+log3an，求数列bn的通项公式.分析第一问先利用等比数列定义及前 n 项和公式求出 an，Sn,再证明 Sn=,第二问将问题转化为等差数列求和.解析(1)因为 an=（）n-1=,Sn=，所以 Sn=.(2)bn=log3a1+log3a2+log3an=-(1+2+n)=-