用二分法求方程的近似解教学设计.doc

用二分法求方程的近似解教学设计 一、教材分析 本节是人教版普通高中课程标准实验教科书（必修1）第三章“函数应用”第一部分第二节。时间安排为1-2课时。如果说前两章“集合与函数概念”“基本初等函数”属于基础知识层面，本章“函数应用”则属于数学思想层面，着重于利用函数思想解决问题。其中，“函数与方程”内容旨在介绍函数思想在数学研究中的应用，而“函数模型及其应用”则旨在介绍函数思想在实际问题中的应用。前一节“函数零点与相应方程根的关系”提供了研究方程问题的函数思想方法，而本节是属于解决方程根问题的具体实施方案，体现了函数在解方程中的重要应用，为后期的算法学习埋下伏笔。其中主要蕴含了函数与方程的思想，数形结合思想，以及算法思想这三个重要数学思想。二、教学目标1、知识与技能目标：了解“二分法”的理论前提，掌握“二分法”的实施步骤，会求指定精度的方程近似解。2、思想方法目标：体会数形结合、函数与方程、算法的数学思想；感受“逐步逼近”的数学方法。 3、情感态度价值观目标：培养学生探索精神，倡导同学间合作与交流和积极思考的学习方式。增强数学学习的兴趣。三、教学重点 依照大纲要求，本节教学重点是用“二分法”求方程近似解，使学生进一步体会函数零点与方程根之间的联系，掌握二分法的步骤，初步形成用函数观点处理问题的意识。四、教学难点 由于首次接触函数思想解决问题，学生往往忽略“二分法”的使用前提；对于“逼近”零点的方法感到陌生；给定精度下的取区间端点作为函数零点的近似解理解困难。所以本节课的教学难点确定为“二分法”的适用条件，逐步“逼近”的思想方法以及对给定精确度近似解的理解。五、教学方法这节课是数学思想方法在数学研究领域的具体应用。数学思想方法的灌输适用于“问题探索法教学”，将本节内容分解为多个问题，引导学生进行探索。问题将从各个方面，由浅入深、由简到繁，循序渐进地“组织”学生积极思维，向预定目标探索前进。学生过独立思考，进行类比、分析、综合、归纳、概括等，逐步解决教师所提出的问题和个人发现的新问题，从而获得对“二分法求方程近似解”的具体感受。使学生在学习新知识的同时，培养独立思考和探索能力同时也采用部分“情景教学法”，把引入置于某一个情景之下，增加课堂的趣味性，也体现了数学思想方法源于生活的新课程理念。六、学习方法本节数学思想的体会和具体“二分法”步骤的操作都要求学生有积极主动、勇于探索的精神。所以学法上独立思考和交流启发相结合。学生采取分小组“合作探究式”的学习方式，在学习过程中思考问题，讨论问题，合作解决问题，交流心得。同时也要注意使用现代信息技术的使用，弱化计算，强调提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识。在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值。七、学情分析 学生普遍数学基础较差，数学学习困难，数学学习兴趣不太浓厚。学生在上节“方程的根与函数的零点”的学习中已经理解函数与相应方程根之间的联系，开始用函数思想研究方程。但直接给出“二分法”学生理解上会有困难，应该从蕴含“二分法”思想的实际问题为背景入手引出二分法，激活学生思维，及时引导学生思考。八、教学预期 了解“二分法”的基本思想和适用条件，掌握“二分法”的主要步骤，理解“二分法”的算法思想。九、教学过程设计1. “猜数游戏”引导思考 四人一组，同学进行猜数游戏。同学甲先写一个1到30之间的数，乙同学来猜，对于乙同学的每次猜测，甲只能回答“大了”，“小了”，“对了”。（另外两个同学丙，丁记录猜数的过程。）最后各组给出猜数的方案。 教师活动：针对实际情况，教师给予适当提示，和点评。问题一：“提示语有什么作用？” 学生：“给出了数的范围，为猜数做好准备” 问题二：“每次猜测，对于下一次猜测作用？” 学生：“起到缩小范围的作用” 学生活动：四人一组，学生进行猜数，自己得出相应的解决方案。 将学生分成4人一组，相互讨论，合作交流得出方案。 方案一。学生：先取中间数50，。若回答小了，则在1到50中再取的中间数25。若回答大了，则取50与100的中间数75，周而复始，一直到取到为止。 方案二。学生：任取一个数30，若回答小了，则在1到30中再取某个数进行验证。若回答大了，则取30与100的数进行验证。周而复始，一直到取到为止。【设计意图】：从实际问题入手，让学生在实际例子中间体会“二分”逼近的方法，感受算法思维。为后面正式提出二分法埋下伏笔。同时要注意学生可能出现的”非等分”思路。2.问题探究活动 请同学们来探究方程 的近似解（给定精度为0.1，即近似解与真实值的差值的绝对值小于0.1）教师活动1：利用函数性质或借助计算机在屏幕上做出画出函数图象。并提出问题： 容易使用以往的方法求解吗？(自然过渡) 方程对应的的函数有零点吗？零点在哪里？为什么？（难点突破）受猜数游戏的启发，零点所在的区间范围可以缩小吗？如何实施？（难点突破）当零点所在区间长度缩小到小于0.1时，在区间里面（包括区间端点）可以找到符合精确度要求的近似解吗？（难点突破）可以总结出解决方案吗？（突出重点）根据方案最终解决方案，近似解是多少？（突出重点）请同学们按小组讨论交流，按照以上六个步骤进行探究。学生活动1：四人小组合作探究，讨论交流，解决以上问题，最后回答问题，汇报各组方案。学生：函数有零点，零点在区间（2,3），因为函数在（2,3）连续，且（即上节零点存在定理）学生：零点范围可以缩小方案如下：可能出现的方案方案一：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围方案二：可以通过“取三等分点或四等分点”的方法逐步缩小零点范围。教师活动2：教师点评：在零点存在定理的帮助下，我们可以找到一个“藏”有零点的初始区间。其实“取中点”和“取三等分点或四等分点”都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下，“取中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更便于循环反复.因此，为了方便，下面通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 当零点所在区间长度缩小到小于0.1时，在区间里面（包括区间端点）都可以作为符合要求近似解。特别地，可以将区间端点作为函数零点的近似值。现在请大家按照这个方案求出近似解。学生活动2：借助计算机excel软件，四人小组合作探究，讨论交流，实施各组方案，最终求出近似解。教师活动3：探究活动小结：（突出重点）对于在区间上连续不断且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法人类在解方程的历史中碰到了很多的方程，往往求不出精确解，借助函数性质，就采用了“二分法”求得满足精度要求的近似解。我们可以把“二分法”的步骤总结如下图。提出反思问题，要求学生展开小组讨论： 反思问题1. 能用二分法求近似值的零点的函数有什么样的图形特点？ 学生：函数在零点局部函数值反号，且函数连续不断。（难点突破）反思问题2.缩小零点所在范围的依据是什么呢？ 学生：“零点存在定理”（函数值反号，图像连续。）（难点突破）反思问题3若精度为0.01，则“二分”几次就可以达到精度？若精度是0.001呢？（难点突破） 学生：7次。若精度0.001，计算可得10次。反思问题4: 精确度为0.01与 精确到0.01有什么区别？（难点突破） 学生：“精确度为0.01”指近似值与准确值的差的绝对值小于0.01。 “精确到0.01” 指结果四舍五入保留小数点后二位。反思问题5：二分法的计算方法是否具备通法的特性，可以解决一类方程问题？（重点突出） 学生：可以。 方程对应的函数满足零点存在定理即可 学生活动3：学生分组讨论5个教师提出的问题，合作交流，提出自己的观点。【设计意图】 本环节是上个环节的自然延续，把上个环节中体现的算法思想顺利成章的过渡过来。以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数学创造”的体验，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解其中，前面“五个启发式问题”的提出以及在探究小结中的“二分法求方程近似解的过程的直观图示”旨在突出本节重点，让学生初步体会算法的思想。教师归纳小结部分“5个反思式问题”的提出，让学生回味反思，旨在突破难点。3.课堂反馈练习1. 函数在区间上仅有一个零点，且，则属于区间：A. B. C. D. 2下列函数图像中，不能用二分法求零点的是( )【设计意图】第一题，反馈学生对于二分法步骤的熟悉程度，看是否能根据零点存在原理，进行二分操作。第二题，反馈学生对于“二分法”使用前提的理解，看是否已经理解二分法的适用范围。4.课堂小结教师活动：讨论一下，本节课我们学习到了那些知识点和思想方法？学生活动：分组讨论，总结归纳，点3个小组派出发言人进行阐述。教师活动：点评各小组发言，归纳总结： 知识小结：1.二分法是一种求一元方程近似解的通法。 2.利用二分法来解一元方程近似解的步骤。 思想方法小结：1. 函数与方程的思想，数形结合的思想，逐步逼近的思想。2. 算法思想。如果一种计算方法对于某一类问题都有效，计算可以一步步的进行，每一步都能得到唯一的结果。我们就把这一类问题的求解过程叫做解决这一类问题的的一种算法。【设计意图】本环节旨在要学生回顾总结，交流互助，让学生提高总结归纳的能力。教师点评发言，分析出现的各种观点，最终归为知识类和思想方法类两种类型。在学生已经多次感受到算法思想的之后，并点明算法的概念，起到架构课堂知识结构的作用。十、板书设计:板书设计3.1.2 用二分法求方程的近似解1、 二分法的概念 2、 用二分法求方程近似解的步骤 问题