直线、平面垂直的判定与性质.ppt

考点突破 夯基释疑 考点一 考点三 考点二 例1 训练1 例2 训练2 例3 训练3 第4讲直线 平面垂直的判定与性质 概要 课堂小结 判断正误 在括号内打 或 1 直线l与平面 内无数条直线都垂直 则l 2 若直线a 平面 直线b 则直线a与b垂直 3 若两平面垂直 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 4 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 夯基释疑 考点突破 证明 1 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD CD 平面ABCD PA CD AC CD 且PA AC A CD 平面PAC 而AE 平面PAC CD AE 利用判定定理证明 考点一直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 CD AE 2 PD 平面ABE 考点突破 2 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA E是PC的中点 AE PC 由 1 知AE CD 且PC CD C AE 平面PCD 而PD 平面PCD AE PD PA 底面ABCD PA AB 又 AB AD且PA AD A AB 平面PAD 而PD 平面PAD AB PD 又 AB AE A PD 平面ABE 利用判定定理证明 考点一直线与平面垂直的判定与性质 例1 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 证明 1 CD AE 2 PD 平面ABE 考点突破 规律方法 1 证明直线和平面垂直的常用方法 线面垂直的定义 判定定理 垂直于平面的传递性 a b a b 面面平行的性质 a a 面面垂直的性质 2 证明线面垂直的核心是证线线垂直 而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 因此 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 考点一直线与平面垂直的判定与性质 考点突破 所以AE BC AE AB BC 因此四边形ABCE为菱形 所以O为AC的中点 又F为PC的中点 因此在 PAC中 可得AP OF 又OF 平面BEF AP 平面BEF 所以AP 平面BEF 考点一直线与平面垂直的判定与性质 证明 1 设AC BE O 连接OF EC O 考点突破 2 由题意知ED BC ED BC 所以四边形BCDE为平行四边形 因此BE CD 又AP 平面PCD 所以AP CD 因此AP BE 因为四边形ABCE为菱形 所以BE AC 又AP AC A AP AC 平面PAC 所以BE 平面PAC 考点一直线与平面垂直的判定与性质 O 考点突破 考点二平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图 在四棱锥P ABCD中 AB AC AB PA AB CD AB 2CD E F G M N分别为PB AB BC PD PC的中点 求证 1 CE 平面PAD 2 平面EFG 平面EMN 证明 1 法一取PA的中点H 连接EH DH 因为E为PB的中点 所以EH CD 且EH CD 因此四边形DCEH是平行四边形 所以CE DH 又DH 平面PAD CE 平面PAD 因此 CE 平面PAD H 利用判定定理或面面平行证明 考点突破 考点二平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图 在四棱锥P ABCD中 AB AC AB PA AB CD AB 2CD E F G M N分别为PB AB BC PD PC的中点 求证 1 CE 平面PAD 2 平面EFG 平面EMN 法二连接CF 又AF CD 所以四边形AFCD为平行四边形 因此CF AD 又CF 平面PAD AD 平面PAD 所以CF 平面PAD 因为E F分别为PB AB的中点 所以EF PA 又EF 平面PAD PA 平面PAD 所以EF 平面PAD 因为CF EF F 故平面CEF 平面PAD 又CE 平面CEF 所以CE 平面PAD 利用判定定理或面面平行证明 考点突破 考点二平面与平面垂直的判定与性质 例2 如图 在四棱锥P ABCD中 AB AC AB PA AB CD AB 2CD E F G M N分别为PB AB BC PD PC的中点 求证 1 CE 平面PAD 2 平面EFG 平面EMN 2 因为E F分别为PB AB的中点 所以EF PA 又AB PA 所以AB EF 同理可证AB FG 又EF FG F EF 平面EFG FG 平面EFG 因此AB 平面EFG 又M N分别为PD PC的中点 所以MN CD 又AB CD 所以MN AB 因此MN 平面EFG 又MN 平面EMN 所以平面EFG 平面EMN 利用判定定理证明 考点突破 规律方法 1 证明平面和平面垂直的方法 面面垂直的定义 面面垂直的判定定理 a a 2 已知平面垂直时 一般要用性质定理进行转化 在一个平面内作交线的垂线 转化为线面垂直 然后进一步转化为线线垂直 考点二平面与平面垂直的判定与性质 考点突破 证明 1 因为D E分别为棱PC AC的中点 所以DE PA 又因为PA 平面DEF DE 平面DEF 所以直线PA 平面DEF 2 因为D E F分别为棱PC AC AB的中点 PA 6 BC 8 考点二平面与平面垂直的判定与性质 训练2 2014 江苏卷 如图 在三棱锥P ABC中 D E F分别为棱PC AC AB的中点 已知PA AC PA 6 BC 8 DF 5 求证 1 直线PA 平面DEF 2 平面BDE 平面ABC 考点突破 考点二平面与平面垂直的判定与性质 训练2 2014 江苏卷 如图 在三棱锥P ABC中 D E F分别为棱PC AC AB的中点 已知PA AC PA 6 BC 8 DF 5 求证 1 直线PA 平面DEF 2 平面BDE 平面ABC 又因为DF 5 故DF2 DE2 EF2 所以 DEF 90 即DE EF 又PA AC DE PA 所以DE AC 因为AC EF E AC 平面ABC EF 平面ABC 所以DE 平面ABC 又DE 平面BDE 所以平面BDE 平面ABC 接上一页 考点突破 1 解在四棱锥P ABCD中 因PA 底面ABCD AB 平面ABCD 故PA AB 又AB AD PA AD A 从而AB 平面PAD 故PB在平面PAD内的射影为PA 从而 APB为PB和平面PAD所成的角 在Rt PAB中 AB PA 故 APB 45 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45 考点三线面角 二面角的求法 例3 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 1 求PB和平面PAD所成的角的大小 2 证明 AE 平面PCD 3 求二面角A PD C的正弦值 考点突破 2 证明在四棱锥P ABCD中 因PA 底面ABCD CD 平面ABCD 故CD PA 由条件CD AC PA AC A CD 平面PAC 又AE 平面PAC AE CD 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA E是PC的中点 AE PC 又PC CD C 综上得AE 平面PCD 考点三线面角 二面角的求法 例3 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 1 求PB和平面PAD所成的角的大小 2 证明 AE 平面PCD 3 求二面角APDC的正弦值 考点突破 3 解过点E作EM PD 垂足为M 连接AM 如图所示 由 2 知 AE 平面PCD AM在平面PCD内的射影是EM 则AM PD 因此 AME是二面角A PD C的平面角 由已知 可得 CAD 30 设AC a 可得 考点三线面角 二面角的求法 例3 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 1 求PB和平面PAD所成的角的大小 2 证明 AE 平面PCD 3 求二面角APDC的正弦值 M 考点突破 在Rt ADP中 AM PD AM PD PA AD 考点三线面角 二面角的求法 例3 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中点 1 求PB和平面PAD所成的角的大小 2 证明 AE 平面PCD 3 求二面角APDC的正弦值 M 考点突破 规律方法求线面角 二面角的常用方法 1 线面角的求法 找出斜线在平面上的射影 关键是作垂线 找垂足 要把线面角转化到一个三角形中求解 2 二面角的大小求法 二面角的大小用它的平面角来度量 平面角的作法常见的有 定义法 垂面法 注意利用等腰 等边三角形的性质 考点三线面角 二面角的求法 考点突破 1 证明如图所示 连接AC AC交BD于O 连接EO 底面ABCD是正方形 点O是AC的中点 在 PAC中 EO是中位线 PA EO 而EO 平面EDB且PA 平面EDB PA 平面EDB 训练3 2014 天津一考 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 1 证明PA 平面EDB 2 证明PB 平面EFD 3 求二面角C PB D的大小 考点三线面角 二面角的求法 O 考点突破 2 证明 PD 底面ABCD 且DC 底面ABCD PD DC PD DC 可知 PDC是等腰直角三角形 而DE是斜边PC的中线 DE PC 同样 由PD 底面ABCD 得PD BC 底面ABCD是正方形 有DC BC BC 平面PDC 而DE 平面PDC BC DE 由 和 推得DE 平面PBC 而PB 平面PBC DE PB 又EF PB且DE EF E PB 平面EFD 考点三线面角 二面角的求法 O 训练3 2014 天津一考 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 1 证明PA 平面EDB 2 证明PB 平面EFD 3 求二面角C PB D的大小 考点突破 3 解由 2 知 PB DF 故 EFD是二面角C PB D的平面角 由 2 知DE EF PD DB 设正方形ABCD的边长为a 考点三线面角 二面角的求法 O EFD 60 二面角C PB D的大小为60 训练3 2014 天津一考 如图所示 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 作EF PB交PB于点F 1 证明PA 平面EDB 2 证明PB 平面EFD 3 求二面角C PB D的大小 1 证明线线垂直的方法 1 定义 两条直线所成的角为90 2 平面几何中证明线线垂直的方法 3 线面垂直的性质 a b a b 4 线面垂直的性质 a b a b 思想方法 课堂小结 2 空间中直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直三者之间可以相互转化 每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转化向另一种垂直最终达到目的 其转化关系为在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的的垂线