质点动力学(教学版).ppt

1 笫二章质点动力学 1 牛顿三定律与伽利略变换 2 力学量的单位及量纲 3 几种常见的力 4 牛顿定律的运用 5 非惯性参考系与虚拟力 自然哲学的数学原理 2 牛顿在1687年发表了具有里程碑意义的 自然哲学的数学原理 一书 牛顿的主要功绩是把考察物体周围所有的物体群 环境 对该考察物体的作用归结为力 而该物体则在力的作用下按一定的规律运动 即 由此可见 动力学的根本任务 回答在周围其他物体的作用下 所考察的物体如何运动 在牛顿以后 拉格朗日 J L Lagrange 和哈密顿 W Hamilton 等人以能量和作用量为基础 从另一途径建立了解决动力学问题的方法 这就是分析力学 分析力学和牛顿力学是等效的 3 2 1 牛顿三定律和伽利略变换 牛顿在 自然哲学的数学原理 一书中 把运动规律归纳为三条定律 现分别叙述如下 一 第一定律 惯性定律 该定律最初是伽利略 近代科学之父 提出的 他设计了两个理想实验 理想实验之一 当一个球沿斜面向下滚时 其速度增大 向上滚时速度减小 由此推论 当球沿水平面滚动时 其速度应不增不减 4 几点说明 该定律是大量观察和实验事实的抽象与概括 定性提出了 力 和 惯性 两个重要概念 力是迫使物体改变静止或匀速直线运动状态的一种作用 惯性是物体具有保持自已运动状态不变的内在属性 第一定律定义了一类重要的参考系 惯性系 爱因斯坦说 伽利略的发现以及他所用的科学推理方法是人类思想史上最伟大的成就之一 而且标志着物理学的真正开端 当球沿斜面的顶端向下滚后 即沿对面的斜面向上滚 达到与原来差不多的高度 他推论 若无摩擦力 减少后一斜面的斜率 球仍达到同一高度 但这时球要滚得远些 斜率愈小 球滚得愈远 若将后一斜面放平 球要永远滚下去 5 二 牛顿第二定律 牛顿表述 运动的改变与所加的动力成正比 并发生在所加力的那个直线方向上 确切的表述应为 动量的变化率与 动 力成正比 即 若取m1的质量为标准质量 可取m1 1 由于a1和a2都是可测量的 故m2的质量可完全确定 这样 作为导出量的作用力F也就完全确定 6 惯性质量 用惯性大小定义质量是一个绝对量 具有可加性 其单位称千克 kg 千克的标准是保存在巴黎国际计量局中的一个铂铱圆柱体 1原子质量单位 kg 笫二定律适用的参考系是惯性系 笫二定律是瞬时关系式 笫二定律是矢量式 使用时可用分量式 数学表达 物体的惯性表现 在牛顿第二定律中被 质量 定量表示出来 7 作用力与反作用力的性质相同 作用力和反作用力是作用在不同的物体上 各产生其效果 同时产生 同时存在 同时消失 永不抵消 适用范围 A 笫三定律不涉及运动 不要求参考系是惯性系 B 对于接触力 笫三定律总是正确的 而对于非接触力 该定律则不一定正确 几点说明 笫三定律是关于力的性质的定律 而不是动力学本身的定律 物理学中 抽象和定义 几点体会 伟大科学理论及其形式常常起始于卓越的抽象与精当的定义 它们源于科学家对未知的复杂事物包括实验现象 一番深邃的缜密的反复的思考和分析 牛顿力学逻辑严谨的理论体系 是物理学理论首创典范 三百多年来对物理学和自然科学乃至人类文明 一直有着深刻影响 8 四 伽利略变换 实际上 上面讨论两个相互作匀速直线运动参考系时 在时空度量问题上隐含着更本质的内涵 如图 设有两个相对作匀速直线运动参考系K K K 相对于K的速度为u 9 概括地说 绝对时空观认为 时间 空间都是绝对的 它们彼此无关 也与参考系的运动状态无关 伽利略变换蕴含的时空观 绝对时空观 关于长度测量 长度测量是绝对的 10 2 2 力学量的单位和量纲 一 基本量和导出量 基本量 被选作独立规定单位的物理量 它们的单位叫基本单位 其他量叫导出量 其单位叫导出单位 11 三 量纲 应用 在基本量相同的单位制之间进行单位换算 验证公式 检查等式的正确性 为推导某些复杂公式提供线索 或直接推导公式 物理量的量纲 表示一个物理量如何由基本量 包括这些量的幂 组合的式子 量纲法则 只有量纲相同的物理量才能相加 相减 用等号相联系 12 例2 1 当直升飞机停在空中时 其消耗的功率仅取决于机翼长度l 机翼提供的垂直向下的推力F和空气的密度 三个因素 试问 若由于飞机负荷增加而使整个机身重量增加1倍 直升飞机的功率应增大为原来的几倍 量纲法的好处在于不必知有关定律或定理的细节 也能为问题的解决提供有用的信息 13 3 几种常见的力 力 接触力 弹性力和摩擦力 非接触力 场力 万有引力 扭秤周期法测G实验示意图 惯性与引力质量 14 二 分子力与弹性力 分子力即原子间的力 可用半经验公式表示 15 三 摩擦力 物体与物体相互接触时 沿接触面两物体相互施以阻止相对滑动的作用力 分子力是产生摩擦的根本原因 判断下列情况中的摩擦力的方向 静摩擦力 滑动摩擦力 方向 与物体相对滑动趋势的方向相反 方向 与物体相对运动的方向相反 干摩擦 16 湿摩擦 湿摩擦力或粘滞阻力 流体不同层之间由于相对滑动而造成阻力 当相对速度不很大时 粘滞阻力与速度的横向变化率 接触面积及粘度成正比 固体与流体接触面发生相对运动时所产生的阻力的起因与此相同 当相对运动速度不大时 与固体相对流体的速度v成正比 即 其中是粘滞系数 此定律是一条粗糙经验定律 当速度较大时 比如飞机飞行中所受的阻力 它近似地与速度的平方成正比 为 通常湿摩擦比干摩擦要小得多 且不存在静摩擦力 利用润滑油以减少固体间的摩擦 就是这个道理 17 在目前的宇宙中 存在着四类基本的相互作用 所有的运动现象的原因都逃不出这四类基本的力 各式各样的力只不过是这四类基本力在不同情况下的不同表现 四 力的分类 四种力 万有引力 电磁力 强力和弱力 相对强度 表征核子衰变的力 质子和中子结合形成原子核 电子和原子核结合形成原子 恒星结合在一起形成银河系 相互作用举例 长程力 长程力 适用范围m 弱力 强力 电磁力 万有引力 18 4 牛顿运动定律应用 一 动力学的典型问题可归结为两类 第一类问题 己知作用于物体 质点 上的力 由力学规律来决定该物体的运动情况或平衡状态 第二类问题 己知物体的运动情况或平衡状态 由力学规律来推究作用于物体上各种力 力是牛顿力学的核心概念 质点动力学问题的求解 关键是力 二 约束 对运动物体的一定限制 主动力与约束条件无关 它的变化规律是已知的 如重力 粘滞力等 约束力一般都是未知的 是一种被动力 须通过求解运动微分方程才能确定 19 约束方程 物体作约束运动时 受到限制常表现为各坐标之间一定的函数关系 例2 2 如图 求每个物体的加速度 20 例题2 3有一轻绳索围绕在圆柱上 绳索绕圆柱的张角为 绳与圆柱间的静摩擦系数为 求绳索处于滑动的边缘时 绳两端的张力间的关系 明确题意 确定研究对象 隔离物体 受力分析 画受力图 选取坐标系 列出分量方程式 包括约束方程 解方程 讨论 三 解题步骤 21 例题2 4 从实验知道 当物体速度不大时 可认为空气阻力正比于物体的速度 问以初速度竖直向上运动的物体 其速度将如何变化 据牛顿第二定律 运动方程为 22 例题2 5 质量为m的物块置于倾角为 的固定斜面上 物块与斜面间静摩擦系数为 现用一水平外力F推物块 欲使物块不滑动 F的大小应满足什么条件 23 解 以地面为参考系 并选用自然坐标系 分析受力 列方程 则有 例题2 6质量为m质点 沿半径为R的圆环的内壁运动 整个圆环水平地固定在光滑的桌面上 已知质点与环壁间的摩擦系数 和质点开始运动的速率v0 试求 质点在任一时刻的速率 o m 24 例题2 7一质量为m的物块拴在穿过小孔的轻绳的一端 在光滑水平台面上以角速度 0作半径为r0的园周运动 自t 0时刻起 手拉着绳子的另一端以匀速v向下运动 使半径逐渐减少 试求 角速度与时间的关系 t 绳中的拉力与时间的关系 根据题意 25 本章节基本要求 1 全面深入理解牛顿运动定律及适用条件 2 熟练掌握重力 弹力 摩擦力的规律和计算方法 3 理解基本单位 导出单位及量纲的意义 4 熟练掌握运用牛顿定律分析问题的思路和方法 能运用微积分等数学工具计算一些力学系统的问题 26 第二章质点动力学小结 一 理论体系 出发点 二 内容 1 直角坐标系 2 自然坐标系 返回首页 3 极坐标系 牛顿第一 二 三定律 27 4 两个物理量 考察物体周围所有的物体群 环境 对该考察物体的作用 5 三种性质 1 矢量性 2 瞬时性 3 相对性 返回首页 反映运动变化 要求可微 28 总结图 明确题意 确定研究对象 隔离物体 受力分析 画受力图 选取坐标系 列出分量方程式 包括约束方程 解方程 讨论 29 30 1 平动加速参考系 惯性力 2 转动参考系 3 牛顿绝对时空概念的局限性 第三章 非惯性参考系 让 傅科 JeanFoucault 31 牛顿运动定律只在惯性系中成立 非惯性系中牛顿定律求解物体运动 需引进适当的虚拟力 虚拟力 若非惯性系相对惯性系平动时的加速度为 则 如果物体在加速参考系K 中的加速度为a 而物体相对惯性系K的加速度为a 为在形式上在K 系中运用牛顿定律 必须认为物体除受真实力F的作用外 还受一虚拟力fi的作用 即 1平动加速参考系 惯性力 32 称为平移惯性力 真实力与惯性力的合力称为表现力 虚拟力 与 真实力 的区别 不能指出是哪个物体作用 没有反作用力 所有质点都受力 只要选择惯性系 就可消除惯性力 例题3 1一质量为m木块静置于质量为M 倾角为 高为h的直角劈的顶部 劈置于水平面上 所有接触面都是光滑的 试用非惯性系观点 求木块m相对斜面加速度 故 要求 把参考系建在地面上处理本题 比较其结果 33 思考 惯性力是真是假 在导出非惯性系中运动定律的形式表示的过程中 不时冠以虚拟力或假想力之定义于惯性力 以与真实作用力相区别 那是为了免除初学时概念上的混淆 其实 惯性力所产生的物理后果是真实的 惯性力也可以由测力器测出 过分强调惯性力的假想性 这在物理思想上是要被质疑的 34 1 相对于系静止的点 向心加速度 惯性离心力 而在K 系看来 必须认为物体不仅受真实力F作用 而且还受虚拟力fc作用 两力相抵消 即 惯性离心力 当物体并不位于过原点且垂直转轴的平面上 离心力应写成 2 转动参考系 匀速转动参考系也是常见的非惯性系 35 讨论 1 重力与纬度的关系 惯性离心力的特点 离心力与转动参考系的转动角速度有关 与角速度是否随时间变化无关 离心力与物体所在位置有关 与物体在转动系中运动与否无关 由于地球的自转 在地球上测得物体的重力并非是物体的真实重力 而是表观重力 如图 是物体所受引力G和离心力的矢量和 36 实际上由于自转效应 地球稍呈扁平 较准确的结果是 37 而与G的夹角 由图知为 在上面讨论中未区分引力质量和惯性质量 若要区分 则 角将因物体的质料不同而异 若用细线将不同质料的物体悬挂起来 悬线将取不同的方向 匈牙利物理学厄缶利用此原理 在1908年完成了一个的证明引力质量与惯性质量成正比的令人信服的实验 G 38 2 地球同步卫星定位于赤道上空 故地球同步卫星只能定位于赤道上空35630km 39 2 相对于K 系作匀速运动的点 科里奥利力 若物体相对于转动参考系作相对运动 则由转动参考系的观察者看来 除了惯性离心力外 物体还受到另一惯性力的作用 此力称为科里奥利力 法国人G Coriolis1835年提出 分析 如图 相对于惯性系 当质点m以速度v 沿半径oc相对圆盘等速移动时 同时参与了两个运动 由A点运动到B 点 其切向速度不断增大 在 t内 如图所示作辅助线 40 显然 为使物体获得这个加速度 必须施物体向右的切向力 在时 在弧段内可以应用匀变速直线运动公式 41 可证明 物体在圆盘内沿任何方向运动时 都将受到一个与运动方向垂直的科氏力 在普遍情况下 若以圆盘为参考系 在盘中观察者看来 质点m所作的是沿半径的匀速直线运动 因此 必须认为除了力外 还有一个力作用在物体上 这个力与真实力大小相等 方向相反 其大小为 42 地球是一个匀速转动参考系 科里奥利力在地球上的表现 地面上北半球河流冲刷右岸 火车对右轨的偏压较大 南半球则相反 地球上自由落体偏东 傅科 J L Foucalt 摆直接证明地球自转 天气图上 高 低气压环流能长期存在 与相对速度成正比 故只有当物体相对转动参考系运动时才能出现 与转动角速度的一次方成正比 力的方向总是与相对速度垂直 不会改变相对速度的大小 科氏力特征 43 解释 落体偏东 讨论在赤道平面内的自由落体 当不考虑科氏力时 由于运动 科氏力为 即科氏力的方向在水平面内指向东方 由此得沿y方向的运动方程 44 将上式积分 并代入初始条件 t 0 vy 0得 设h 80m 而 得y 1 6cm 如果不是在赤道 而在纬度为 处