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第三章导数及其应用 澧县第一中学贺少辉 在高台跳水运动中 运动员相对于水面的高度h 单位 m 与起跳后的时间t 单位 s 存在函数关系 h t 4 9t2 6 5t 10从此式中你能看到运动员的哪些信息呢 几米跳板 距离水面最高是多少 入水时间 起跳初速度多大 2秒时刻速度多大 最大速度又多少 问题引入 微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关 一 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度与加速度等 二 求曲线的切线 三 求已知函数的最大值与最小值 四 求长度 面积 体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一 它是研究函数增减 变化快慢 最大 小 值等问题最一般 最有效的工具 导数研究的问题即变化率问题 研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度 第三章导数及其应用 变化率问题 导数的概念 思考 当空气容量从V1增加到V2时 气球的平均膨胀率是多少 问题2 通过函数关系 h t 4 9t2 6 5t 10如何计算运动员在 0 0 5 和 这两段时间内的平均速度 平均变化率 式子称为函数f x 从x1到x2的平均变化率 习惯上用 x表示x2 x1 用 y表示f x2 f x1 则 直线AB的斜率 A B 探究 计算运动员在0 t 这段时间里的平均速度 思考下面的问题 1 运动员在这段时间里是静止的吗 2 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗 若有问题 那该如何描述运动员的运动状态呢 如图是函数h t 4 9t2 6 5t 10的图像 结合图形可知 虽然运动员在这段时间里的平均速度为0 但实际情况是运动员仍然运动 并非静止 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态 问题3 运动员在某一时刻t0的瞬时速度怎样表示 函数f x 在x x0处的瞬时变化率怎样表示 导数的定义 一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 我们称它为函数y f x 在x x0处的导数 记作 例1 将原油精炼为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果在第xh时 原油的温度 单位 为y f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2h与第6h时 原油温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 1 平均变化
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