简单曲线的极坐标方程.ppt

三简单曲线的极坐标方程 3 极坐标与直角坐标的互化公式 1 极坐标系的四要素 2 点与其极坐标一一对应的条件 极点 极轴 长度单位 角度单位及它的正方向 一 知识回顾 在平面直角坐标系中 平面曲线C可以用f x y 0表示 曲线与方程满足 1 曲线C上点的坐标都是方程f x y 0的解 2 以方程f x y 0的解为坐标的点都在曲线C上 思考 在极坐标系中 平面曲线是否可以用方程表示 如图 半径为a的圆的圆心坐标为 a 0 a 0 你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标 满足的条件 x C a 0 O M A 一 圆的极坐标方程 曲线的极坐标方程 与直角坐标系里的情况一样 建系 适当的极坐标系 设点 设M 为要求方程的曲线上任意一点 列等式 构造 利用三角形边角关系的定理列关于M的等式 将等式坐标化 化简 此方程f 0即为曲线的方程 求曲线极坐标方程的步骤 例1 已知圆O的半径为r 建立怎样的极坐标系 可以使圆的极坐标方程简单 特殊位置的圆的极坐标方程 一般的圆的极坐标方程 求圆心在M 0 半径为r圆的极坐标方程 题型一圆的极坐标方程 B 极径的推广 负极径 负 的意义是什么 标准之下 3摄氏度与 3摄氏度 方向相反 与 与 13 若M的坐标为则M的坐标也可以是 若 0 则规定点 与点 关于极点对称 负极径小结 极径变为负 极角增加 答 6 特别强调 一般情况下 若不作特别说明时 认为 0 因为负极径只在极少数情况用 二 直线的极坐标方程 x 和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来 极坐标系里的直线表示起来很不方便 要用两条射线组合而成 原因在哪 为了弥补这个不足 可以考虑允许极径可以取全体实数 则上面的直线的极坐标方程可以表示为 或 例2 求过点A a 0 a 0 且垂直于极轴的直线L的极坐标方程 解 如图 设点 为直线L上除点A外的任意一点 连接OM 在中有 即 可以验证 点A的坐标也满足上式 求直线的极坐标方程步骤 1 根据题意画出草图 2 设点是直线上任意一点 3 连接MO 4 根据几何条件建立关于的方程 并化简 5 检验并确认所得的方程即为所求 两种特殊的直线的极坐标方程 例3 设点P的极坐标为 直线过点P且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 题型二直线的极坐标方程 则由点P的极坐标知 由正弦定理得 显然点P的坐标也是它的解 方程互化 题型三直线坐标方程与极坐标方程的互化 例4 圆O1和圆O2的极坐标方程分别为 4cos 4sin 1 把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程 2 求经过圆O1 圆O2交点的直线的直角坐标方程 题型三直线坐标方程与极坐标方程的互化 解 以极点为原点 极轴为x轴正半轴 建立平面直角坐标系 两坐标系中取相同的长度单位 1 x cos y sin 由 4cos 得 2 4 cos 所以x2 y2 4x 即x2 y2 4x 0为圆O1的直角坐标方程 同理x2 y2 4y 0为圆O2的直角坐标方程 名师点评 掌握极坐标方程与直角坐标方程之间的互化是解决本题的关键 变式训练1 1 2 设点P的极坐标为A 直线过点P且与极轴所成的角为 求直线的极坐标方程 解 如图 设点 为直线上异于的点 连接OM 在中有 即 显然A点也满足上方程 O H M A 1 在极坐标系中 过圆 6cos 的圆心 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 解析 由题意可知圆的标准方程为 x 3 2 y2 9 圆心是 3