独树一帜的统计物理理论——子动力学.pdf

第 3 4卷第 2 期 上 海 理 工 大 学 学 报 J Un iv e r s i t y o f S h a n g h a i f o r S ci e n ce a n d Te ch n o l o g y Vo 1 3 4 No 2 2 0 1 2 文章编号 1 0 0 7 6 7 3 5 2 0 1 2 0 2 0 1 1 8 2 0 独树 一帜的统计物理理论 子动力学 毕桥 方锦清 刘 杰 1 武汉理工大学 理学 院 武汉4 3 0 0 7 0 2 中国原子能科学研究院 核技术应用研究所 北京1 0 2 4 1 3 摘要 介绍了子动力学基本思想 描述 了子动力学基本框架与复谱的意义 并提 出了相似 网络的模 型及扩张空间技术在反量子信息密码传输 中的应用 关键词 予动力学 非平衡统计物理 复谱分解 相似 网络 扩张空间 中图分类号 0 4 1 4 2 文献标志码 A Subd yna m ic s Pe culia r Br anch of St at is t ical Phys ics The or y B I Q i a o F A N G J i n q i n g L I U J i e 1 1 S ci e n ce S ch o o l Wu h a n U n iv e r s it y o f T e ch n o lo g y Wu h a n 4 3 0 0 7 0 C h in a 2 A p p l ica t io n ofN u cl e a r T e ch n o logy Re s e a r ch I n s t it u t e C h i n a I n s t it u t e ofAt o mi c E n e r g y B e n g 1 0 2 4 1 3 C h i n a Ab s t r a ct Th e b a s i c id e a o f s u b d y n a mi cs wa s b r i e f l y in t r o d u ce d t h e b a s ic f r a me o f s u b d y n a mics a n d t h e me a n in g o f co mp l e x s p e ct r u m d e co mp o s it io n we r e d e s cr ib e d A s i mil a r n e t wo r k mo d e l wa s p r o po s e d a s we ll a n d t h e a p p li ca t i o n o f e x p a n d in g s p a ce t e ch n iq u e in the a n t i e n cr y p t io n t r a n s mi s s i o n o f q u a n t u m in f o r ma t io n Wa s p r e s e n t e d Ke y wo r d s 吼 c8 n o n e q u ilib r iu m s t a t ica t p h y s ics co mp l e x s p e ct r a l cl 侧t s imil a r n e t u v r k e x p a nsi o n s p a ce 吉布斯建立的平衡态统计物理系综理论是统计 物理发展史上的一个重要里程碑 对 于能量和粒子 数 固定 的孤立系统 采用微正则系综 对于可以和大 热源交换能量但粒子数 固定的系统 采用正则系综 对于可以和大热源交换能量和粒子 的系统 采用 巨 正则系综 平衡态系综理论取得了巨大的成功 成为 现代物理的重要基础之一 非平衡态分布 函数及其演化方程 的建立 不仅 成为输运过程微观统计理论 的基础 而且 由它定 义 的 H函数及其遵循 的 H定理对理解宏观过程的不 可逆性及趋于平衡 的过程起过重要作用 熵增加原 理的微观统计解释表 明 统计理论 已从平衡态向非 平衡态发展 已经从 对某些宏观概念和规律的微 观 统计解释发展到对热力学第二定律这样的普遍规律 作 出微观统计解释 在对离平衡 不太远 以及平衡态 附近的非平衡过程现象 的研究 中 取得 了许多有意 义的结果 但是 迄今非平衡态统计物理还远未达到 成为一 门成熟的学科 的水准 还在继续发展和完善 之 中 2 0世纪 6 0年代以后国际上出现 了著名 的新三 收稿 日期 2 0 1 2 0 2 1 3 基金项目 国家 自然科学基金资助项目 6 1 1 7 4 1 5 1 中国原子能科学研究院院长基金资助项 目 2 0 1 1 2 0 作者简介 毕桥 1 9 5 7 一 男 教授 研究方向 非平衡统计物理 包括量子网络 量子信息 E ma il b i q i a o g ma i l co m 第 1 期 毕桥 等 独树一帜的统计物理理论 子动力学 1 1 9 论 耗散结构理论 协 同学和突变论 1 9 6 9年 以 比 利时普利高津为首的布鲁塞尔学派 研究远离平衡 状态开放系统时提出非平衡热力学和统计物理学中 的耗散结构理论 用来研究远离平衡态 的开放系统 从无序到有序 的演化规律 1 9 7 3年 以后 原西德 理 论物理学家赫尔曼 哈肯发现不同系统之间共同存 在着同一系统的要素之 间的协同现象 创立 了协同 论 1 9 7 2年法 国数学 家 R e n T h o m 提 出突变论 结构稳定性和形态发生学 2 在 自然界 和人类社 会活动中 除了渐变的和连续光滑的变化现象外 还 存在着大量 的突变和跃迁现象 如地震 海啸 战争 及经济危机等 突变论可用来认识和预测复杂系统 复杂 网络的突发行为 之后 非线性科学及其混沌理论 复杂性科学的 兴起 非常强劲地影响着当时的科学研究和发展 当 然也为网络科学提供了极其重要的理论基础 上述理论对非平衡统计物理的发展起到了很大 的推动作用 这些理论方法与众多科学达 到了广泛 的交叉融合 特别值得一提的是 比利时布鲁塞尔学 派著名的统计物理学家普利高津创立了耗散结构理 论 发现了远离平衡可以出现有序结构 提出了 非 平衡是有序之源 的著名论断 用来研究远离平衡态 的开放系统从无序到有序的演化规律 耗散结构是普利高津于 1 9 6 9年在理论物理和 生物学国际会议上提出的一个概念 指处在远离平 衡态的复杂系统与外界进行能量 物质的交换下 通 过 自组织形成的一种新 的有序结构 这是普利高津 学派 2 0多年从事非平衡热力学和非平衡统计物理 学研究 的成果 1 9 7 1年普利高津等人写成著作 结 构 稳定和涨落的热力学理论 3 比较详 细地 阐明 了耗散结构 的热力学理论 并将它应用到流体力学 化学和生物学等方面 引起 了人们 的重视 1 9 7 1 1 9 7 7年耗散结构理论 的研究有 了进一步 的发展 这 包括用非线性数学对分岔的讨论 从 随机过程的角 度说明涨落和耗散结构 的联系 以及耗散结构在化 学和生物学等方面的应用 1 9 7 7年普利高津等人所 著 非平衡 系统 中的 自组织 一书就是这些成果 的 总结 1 9 7 7年普利高津 由于耗散结构理论 的贡献而 获得诺贝尔化学奖 在众多热誉 的时候 普利高津却 陷入沉思 基本的动力学方程 牛顿 薛定谔 爱 因斯 坦方程 包括被称为统计物理 的基本方程 L i o u v ille S ch r 6 d i n g e r 方程 都是 时间可逆 的 正时间和负 时间带入所得 的结果是一样 的 表现 出它 的演化算 子是 幺正的 另一方面 热力学第二定律指 出 对于 一 个孤立系统 其内部熵绝不会减少 似乎定义了一 个时间方向之矢 即 AS 0 S为熵 这一时间演化 悖论告诉我们 仅仅靠现有的动力学方程不能解释 万事万物的演化 这就是不可逆性佯谬 因而在建立 非平衡态统计物理理论 时 首先面临的难题就是不 可逆性佯谬 它表现在微观动力学是可逆的而宏观 统计热力学过程却是不可逆 的 这个矛盾 自波尔兹 曼 1 8 4 4 1 9 0 6 以来一直 困扰着很多物理学家 最 关键的问题之一就是 L io u v ill e方程 能不 能描述非 平衡不可逆过程 如果不能 那么如何推广它成为描 述平衡态和非平衡态的统一基本方程 还有一种流传的观点 认为 量子力学是描述单 个粒子运动的方程 同热现象无关 所以不存在量子 力学 同热力学第二定律的矛盾 事实上 量子力学 不仅仅是描述单个粒子运 动的方程 也可以利用波 函数张量积的形式来描述量子多粒子体系 量子 L i o u v ill e 方 程 也 是 对 密 度 算 子 求 导 并 利 用 S ch r 6 d in g e r 方程而得 出 的 从而 与热现 象发生 关 系 所 以 基本问题 还是在量子力学 的 S ch r 6 d i n g e r 方程上 于是人们 自然要探索不可逆性佯谬 的起源究竟 是什么 又如何把已知平衡态统计理论推广到 远离 平衡 非平衡态领域 1 5 0多年以来 许多研究 围绕 这些问题 中的部分进行 了新探索 力图发现非平衡 统计物理的基本方程和理论框架 前辈们 已经做了 许多优秀的工作 这里略举 3例 加拿大的 C h a n E u 就提出了广义波尔兹曼动理方程 并 由此建立 了一 套非平衡系综理论 德 国的 Z u b a r e v也提 出了推广 的 L io u v ill e方程 并构 造 了相应 的非平衡 系综 理 论 我 国的邢修三也提出了刘维扩散方程作为非平 衡统计力学的基本方程 并预言了熵扩散的存在 但是 要获得普适的 大家都接受 的平衡态 非 平衡态统计物理基本方程仍然非常 困难 L io u v il le 方程后面新项的添加 要 同各种经典 和量子的复杂 系统相协调 在 1 5 0年来众多努力还不能说成功之 后 渐渐地变成好像是一个天方夜谭的要求 历史上以普利高津为首的布鲁塞尔学派早就洞 察不可逆性佯谬的矛盾 一直力图延拓 L io u v ill e方 程来建立非平衡态统计物理理论 早在 1 9 7 0年左右 普利高津与合作者乔治就建立 了子动力学的初步框 架 1 9 7 5年布鲁塞尔学 派的代 表人物之一 B a le s cu 发表了总结性 的专著 对 布鲁塞尔学派之前的工作 进行了总结 在其著作非平衡统计部分 中的主要理 1 2 0 上 海 理 工 大 学 学 报 2 0 1 2年 第 3 4卷 论成果就是表述了子动力学 之后经 8 0 9 0年代一 批数学物理学家在 国际 S o l v a y研究院的大力研究 投入 特别是在普利高津领导下的 B r u s s e l s A u s tin小 组中的数学物理学家 A n t o n i o u P e t r o s k y和T a s a k i对 子动力学物理表述形式和数学空间基础进行 了修正 和发展 试图发展和完善独树一帜的子动力学理论 包括扩张函数空间的理论 力 图从量子统计 的基础 上来协调热力学第二定律同量子力学的矛盾 1 9 7 0 2 0 0 3年布鲁塞尔学派在完善和发展子动力学理 论方面做了很多工作 发表了不少 于 8 0 0篇文章涉 及到利用子动力学理论求解 分析 L i o u v ille方程复 本征谱 的表达以及相联的 Hi lb e r t 或 L io u v i lle空间 扩张的理论 子动力学是布鲁塞尔学派 9 0年代后期 的主要理论武器 子动力学作为一种广义的统计物理投影算子理 论在过去的十几年中取得了重要进展 在混沌映射的 演化算子谱分析方面 在量子 F r i e d r i ch s 系统方面 在 大规模 P o i n ca r e 系统方面 L i o u v i l l e 算子复本征谱的 分析方面都取得了成功 揭示了系统不可逆和复杂性 的特 I生 从 1 9 9 7 2 0 1 2 年 多种子动力学基本算子方 程已经得到了发展 在子动力学基本方程上引进了投 影格林函数 考虑 了非微挠求解方法 子动力学和所 发展的理论已成功地应用于量子信息抗消相干 纳米 系统有关传输特性 量子网络或纳米网络的构造和特 性分析上 子动力学的发展正方兴未艾 为了简洁 现从子动力学 9 3年的版本开始介绍 1 一般动力系统的子动力学 现介绍子动力学表述的一种新形式 对任意线性 算子描述的系统都适用而不仅仅是对 H a m ilt o n ia n描 述的系统合适 所 以 它能够应用于各类 不显含时 的复杂系统或 网络 其次 以往 的子动力学的形式往 往没有提出明确的或有效的计算产生和消灭算符的 公式 进而造成在实际应用 中的困难 在新形式里已 得到克服 产生和消灭算符可以通过构造产生和消灭 算符的基本公式来求解 程序化也是可能的 1 1 产生和消灭关联算符的引入 首先用一种简洁的形式引入产生和消灭关联算 符 C D 对在线性空间具有 2一形式 的线性算符 L 选择 正 交 归 一基 l l或 双 正交 归一 系 I 将算子 L上展开为对角部分和非对角 部分 不失一般性 用双正交归一系将 L展为 L L 0 l l J 1 这里 是相互作用的耦合系数 l L 1 f 所以 对角部分 的 Lo 可以用本征投影算符 P 表达 L 0 1 P 2 P l I Q 一P 3 非对角部分为 L I J l 4 口 口 口 通过引入广义投影算子 可以是非厄米的 L L 11 对易性 5 I 完备性 6 11 投影性 7 11 0 V V 正交性 8 一P 一0 解析性 9 可直接定义产生 关联 和消灭 关联 算子为 Q C P 11 1 0 Q 11 P D 1 1 即算子 C 为从算子 的q 部分产生 P 部分 算子 D 消灭其右边的部分并产生 P 部分 根据以上定义 由 L o u v ille 方程 a P 一iL p 三a 这里 P在经典系统定义为密度分布 函数 d 在量子系统为密度算子 就可获得子动力学基本方 程 S KE a P 1 I P 一 iP L 11 l D P 11 a P 一 iP 11 上 一 i P L P 11 P P L Q 11 ID 一 i P LP 11 P P LC P 1 I l D 一 i P L P P L C P P I I 一 徊 P I I P 1 2 这里定义 中介算子为 三 P LP P LC P 1 3 S KE再一次显示投影密度算符 P 11 P随时间 独立地演化 是一个在 L io u v ill e空间上 的投影关联 态 遵循 由中介算子确定 的子动力学的法则 由于中 介算子可以是非厄米的 所 以 此 S K E可能有复本 征值解 由此表示 系统在这一子空 间是可以不可逆 的 需要指 出的是 对 于开放体系 这一关联态 P 11 P就包括了系统和环境的相互作用 所反映的 可以是马尔可夫 非马尔可夫或更一般的不可逆过 程 它不可以简单地通过求迹运算来消掉环境 的影 第 1 期 毕桥 等 独树一帜的统计物理理论 子动力学 响而获得 这也许是长期用求迹运算构造 约化密度 分布来建立各种主方程或动力学方程不能真正解决 远离平衡开放系统不可逆问题的原因 进一步 对方程 S K E两边求和 得到总体 S K E 方程 a P ID 一 P L P 一 L P P L c P P 一i 0 P l 0 即得到 Op 州 其 中 l 0 P l D O 总体 S K E的广义谱 分解式可通 过一个非么正 变换转化 为原 L io u v ill e 方程的广义谱分解式 另一个有趣 的问题是 是什 么 首先 由定义 式 1 0 和式 1 1 可以导出 P1 J P 的一般表达式 的精确表达式为 P C P D C 1 P D 1 4 进一步 从定义式 1 0 和式 1 1 可得 Q C P C 1 5 P D Q D 1 6 说明产生关联算符和消灭关联算符也是某种类型的 投影算符 这是要注意的 因为它们的逆算符可能不 存在 事实上 由 Q C P Q C P 可 得 C P Q C P C P P Q C P P 所 以 C Q C P 同理 可证式 1 6 说明它们的投影性 从式 1 4 可 以看 出 的精确表达式 同产 生 和消灭算符密切相关 由于 P 和 Q 算符 已知 在 这种意义上可以说子动力学的基本 问题是确定产生 和消灭算符 C 或 D 那么 有没有 C 或 D 的基 本方程存在呢 下面将重点讨论这一问题 1 2 产生和消灭算子的基本算子方程 实际上 根据式 5 有 LI I 1 I L L I 1 P 1 1 L P P C P LP P C P L I I P P C P L P C P 1 1 P 1 7 因为 P P C P P L P C P P P C P L P C P P 1 8 应用 P P 一 得 L P C P C P L P C 1 9 用 Q 作用于式 1 9 两边 得 Q L P Q L Q C C P L P C P L P C 2 O 同理 可得 D Q L Q 一P L P D C Q L P D 一P L q 2 1 这里注意 L0 C 0 C Ll P 0 2 2 D L0 0 P Ll D 0 2 3 式 2 0 和式 2 1 给出基本算子方程 L o C C 一Q L P C 2 4 E L0 D P D L1 Q 一D 2 5 解方程 2 4 和方程 2 5 得 P C 和 D P 所满足的 方程为 L o P C P C p L1 P C 2 6 L 0 D P P D L 1 P 一 D 2 7 因为 L P f P 方程 2 6 和方程 2 7 变为 f 一 P C P C 一 P L1 P C 2 8 一 D P P D L1 P 一 D P 2 9 所 以 得到计算 C 和D 矩阵元 的公式为 P C D P P C 一 P Ll P C 3 0 了 上 P D L1 P 一D P 3 1 一 士 健 这里 e符号的选取对应于一种编时法则 法则允许 在解基本非线性算子方程 2 4 和方程 2 5 时 所获 得 C 和D 的矩阵元对应于关联朝 将来 增加 往 过去 减少 从数学上表达为 关联传播增大 可取 超前积分解 关联传播减少 可取滞后积分解 1 3 编 时法 则 对于算子方程 I L 0 X I Y 3 2 有超前或滞后解为 r X I d t e 一 y e 3 3 J 0 所以 方程 3 0 和方程 3 1 的解可表为 1 2 2 上 海 理 工 大 学 学 报 2 0 1 2年 第 3 4卷 P C I d t e 0 P C 一P L1 P Cn e m 3 4 m 3 5 n 和 l 有 L L a 健 q e a l Q L 1 P l 卢 3 6 8 l I a 一 I P 一D L Q 一D a 3 7 这里 f e d p 3 8 a 一 d dd 口 I 1 将算子 L 展为对角部分 L 和非对角部分 L b 从方程 3 6 和方程 3 7 计算产生关联算子 C 和消灭关联算子 D 关于 1 1 的矩阵元 c 选择 和 为中介箅子 在每一 P 子空间 中求解其本征值问题 构造 及 的谱 的分解 d 通过相似算子 或 从 或 算子谱的分 解表达式求得 L的本征谱的分解表达式 这一方法 的重要性是将求解 L本征值 的问题 转化为求解P 可分解中介算子 或 的本征值问 题 而在许多情况下 因为投影降低 了维数 中介算 子本征值问题的求解要 比 L本征值 问题 的直接求 解容易些 通常中介算子的谱结构可分为如下两种 a 具有简单或简并 本征谱 为对 角化算 子 即 z l钆 I 4 2 V d 如果 具有简单本征谱 即本征值同本征矢一 一 对应 Z Z p a 9 那么 其左 右本征矢在 P 子空间 注意 v标记子空间 形成 了一个完备 的 双正交归一系 即 I J 第 1 期 毕桥 等 独树一帜的统计物理理论 子动力 学 1 2 3 那么 由非 幺正相 似变换关 系 L 的本 征谱 的分解 可表达为 L 0 一 z 1 i n z P C I I P D C 一 口 P D z I I P C l钆 4 5 左本征矢为 l l 1 形成一个 完备 的双正交归一系 证明完备性 l P D C 1 P D P C P P D C 一 P D 4 7 正交归一性 4 8 这里 注意有关系 P D P P D C 4 9 b 中介算子不可对角化 则有 J o r d a n分解为 W s m v z I I a J 1 m v口 一 1 I I 5 0 j 1 这里 l 和 1 分别是右 左主矢量 J 1 2 m 表示每一 J o r d a n块的结构 本征值 Z 的 简并度 即一个本征值对应多个本征矢 本征矢的个 数称为简并度 可以是有限的或无限的 复数 Z 和 f分别表示每一 J o r d a n 块 a 的本征值和权重 主矢量形成 P 子空问的一个完备双正交归一 系 即 m l f P 5 1 5 2 而 的矩阵表达式由以下 J o r d a n 块组成 Z 0 0 Z 0 5 3 0 Z 如果 z l l l f 1 5 5 这里 I f J n l 钆 J P C l J 5 6 厂 l I 和 厂 I 形成了一个完 备的双正交归一系 1 6 三角算子 如 果 通 过 选 择 合 适 的 双 正 交 归 一 系 1 V E 厂 完成 的 为保证这种扩张的存在性 要求合适 的实验 空间 是封闭的 L 即实验空间 是稳定的 这里使用了 D ir a c 的记法 l 9 K e t s 记为实验空间 上的线性泛 函 而 cl l 1 c2 9 l 2 6 8 C 1 c 2 J 6 9 这里 c C EC E 泛函 g l对于实验矢 的值记为 声l R i g g e d H i l b e r t 空间算子 L的本征值称为广义 第 1 期 毕桥 等 独树一帜的统计物理理论 子动力学 本征值 算子 L 的本征矢称 为广义本征矢 算子 L 的谱分解称为广义谱分解 对应于 L广义本征值 的广义本征矢 厂定义为 L l l 厂 7 0 或 L fl z fl 7 1 或 厂 I V E f E 7 2 算子 L 可能具有左本征矢 对应本征值为 而定义为 L 的对偶 L的右本征矢对应于本征值 的共轭值 即 I L l L f 1 f l 厂l V E 注意 L L 以上本征矢是很重要的 这不仅是 因为处理非 自轭 密算子的本征值 的问题 而且还 因为 自轭密算子在 R i g g e d H ilb e r t 空间允许复本征值及非平凡的左本 征矢 即分布函数 存在 选择合适的实验空间是构造 R i g g e d Hi lb e r t 空 间的关键之一 为了保证本征矢集在有意义的物理 空问中的完备性 实验空间必须满足 q a 必须是 H ilb e r t 空间 L 的致密子空间 b 必须对较强的拓扑是完备的 c 必须对 L的作用是稳定的 现通过在量子力学具体问题中构造一具体 R i g g e d t t il b e r t 空问来显示一般构造技术要素有哪些 2 2 状态空间的代数结构 从处理最简单 的物理模型 一维谐振子开始 设 日为 H a milt o n算符 P为动量算符 Q为位置算符 则有 H 2 z 2 m 这里 A I A P Q或 日 E 为线性空间 定义 Q P 7 3 h Q 一 P 一 g h N 一 丢 这些算子满足 1 V 7 4 和 l V E 7 5 及 一 I 7 6 设 N 的本征值 问题为 7 7 则 N 帆 一 一 N D 一 1 一1 7 8 即 D 是 N 的本征矢 对应 的本征值为 L 一1 进 一 步 由式 8 得 l l A l l l l l l l l l l 0 如果 0 7 9 因此 0 8 0 再由式 7 6 有 N a a I N 1 1 8 1 即 是N的本征矢 其本征值为 1 所 以 一 m 0 1 2 具有本征 值 m 即 一 一 一 8 2 且经过有限步骤后 存在着一个 一 以致 0 8 3 证明 因为 l I a 一 l l 8 4 所 以 m 则存在一个 一 m 0 有 一 0 8 6 从而 一 0 由此定义 8 广 8 0 8 7 并根据 以上所 推结果 构 造下列 正交归 一本 征矢 的集合 为了简便 仍记为 o 1 2 6 上 海 理 工 大 学 学 报 2 0 1 2年 第 3 4卷 1 1 0 1 1 2 1 2 1 8 8 a 1 l l 1 8 9 b 9 0 C I 9 1 d V 1 0 有线性空间 被 0 所张开 N 9 2 0 这里 a C 定义由 张开的子空问R 为 R l a C 则 Ri 这里 V 有 0 0 1 1 d 口 o 口 1 5 9 I 0 l l i l i 0 9 3 9 4 95 R 9 6 其 中 是一个无任何拓扑结构的线性 空间 下面 在 上构造其拓扑结构 2 3 线性拓扑空间 为了在线性空间上构造合适的拓扑 定义 集合 是一线性拓扑空间 如果 V a C 则有 a 如果 一 那么 a 一a b 如果 a 一a 则有 a 一a C V 如果 一 一 则有 1 2 由于线性空间收敛方式的不同可以导致不同的 线性拓扑空间 所有的拓扑性质 像连续性 致密性 边界性 闭包性及完备性等都取决于收敛性的定义 作为比较 在 上引入两类拓扑 a H ilb e r t 空间 r H 拓扑 其定义为 一 V 一 甘 I 一 I 一0 V 9 7 根据以上定义容易看出 不是 r H完备的 这 是 因为它的柯西 C a u ch y 序列不 收敛 为 了弄清这 一 点 考虑无穷序列 h h h h h R h 0 V 0 1 并且 l l h l 0 存在一个 N N p 以致 I 一 N 1 0 4 可以看 出 由于 r C a u ch y序列仅当 P 0就 可满足 所以 r H 的极限点比r 的极限点多 如果取 第 1 期 毕桥 等 独树一帜的统计物理理论 子动力学 1 2 7 U 所有关于 r 一C a u ch y序列的极 限点 为一完备空间 并记为 则 0 R 关于 r 拓扑 那么 二 是 的r 一 致密子空间 称为可数 H il b e r t 空间 又 因为 r H C a u ch y序列 比 r 一C a u ch y序列强些 所以 必有 二 二 L 1 0 5 这样 是 的 r 致密子空间 又是 L 的 r H 一 致密子空间 因而 是 L 的 r H 一 致密子空间 2 4 的对偶空间 根据定义式 6 8 和式 6 9 作用在空间 上 的 逆线性泛函F为 F 1 0 6 并满足 F a F 卢 F a l F a 卢 C 1 0 7 泛函 F称为 r 一 连续的 如果 一 关于 r 有 F F F C或 R 1 0 8 则可 以证明 F是 r 一 连续 的 事 实上 因为 0 N 有 l F I l fI V 1 0 9 由式 1 0 7 当然有 a F1 卢F2 a F1 卢F 2 1 1 0 或 l 1 1 1 由式 1 1 1 可 以看出 线性空间 的逆线性泛 函的集合仍是一个线性空间 记 由 r 连续 的线性 泛函组成的集合为 另一方面 如果 厂 L 厂可定义为一个 上 的 逆线性泛函为 1 1 2 由于 L 若关于 r 拓扑 一 则隐含着 关于 Z H 拓扑 一 又因为在 H ilb e r t 空间每一收 敛序列也是弱收敛 即 厂 一 厂 L 所 以 如 F定义为式 1 1 2 则 一 2 5 原子核谱定理 为了要深入地了解广义谱分解的意义及构造合 适的 R ig g e d H ilb e r t 空间 在此介绍 G e l f a n d Ma u r i n 的原子核谱定理 8 9 设 二 L 二 是 R i g g e d Hil b e r t 空间 A 是一 循环的实质 自伴算子 cy cli c e s a 那么 存在一个 广义矢量的集合 满足 F 1 1 7 A l l A c二L 1 1 8 却 l l A V 1 1 9 以致 V 存在唯一正测度 A 有 F l J A j r I d 1 2 0 J A 其中 被 A 的 广义 本 征 矢 集 1 1 的形式展开为 r l l d l l 1 2 1 J A b 如果 厂 是定义在 A 上的好函数 则 r l d l 1 2 2 J A j 这 里 r 厂 A I d l l d 1 2 5 L A 例如 原子核谱定理保证量子力学 的位置算符 Q和动量算符 P的完备广义本征矢集 的存在 即存 在着广义本征矢 l P 满足 Q l l P l P P l P 1 2 8 上 海 理 工 大 学 学 报 2 0 1 2年 第 3 4卷 l I d l l d l J J 一 或 r l I d P I P J co 在这两种情况里 P和 Q的本征谱是实线 值得 注意的是 广义本征谱的分解并不是唯一 的 所 以 P和 Q 的广义本 征谱在 另外 的分 解 中可能 是复 平面 对于更一般 的线性算子代数 的情 况 设 A 1 2 N是在 R ig g e d H il b e r t 空间 二 L 中 的对易 e s a 和 r 一 连续算子完备系 则存在一个广 义本征矢的集合 满足V l 有 A l 1 2 l 1 2 E A 1 2 6 以致 V 9 可在 A A1 A2 盯 A 上定义唯一的测度 并有 r l I d l 1 1 N l 1 2 7 A 或 r l I d l 1 N 1 N l 1 2 8 J A 2 6 复谱分析理论说明 以上建立在 R i g g e d H ilb e r t 空间 R H S R ig g e d L i o u b ill e空间 R L S 或广义 函数空 间上的复谱分析 理论是子动力学理论 的一大成果 它有两个基本特 点 a 表征时间破缺对称性的本征值都是复数 b 引进了刘维尔算符的可约化 的及不可约化的表示 形式 复谱分析理论 的第一个特点表明 对称破缺发 生在刘维尔方程的本征 函数的层次上 也发生在概 率分布 或密度分布算 子 ID的层次上 由此导出一 个 同等重要的结论 统计性 比通常量子理论 中的统 计性更强 这是量子统计 比量子力学多了一道概率 的缘故 因而吉布斯和爱因斯坦系综过去主要作为 一 种实用工具 现在则变为一个基本概念及研究方 法 令人感兴趣的是 这样引入的系综将导致在经典 力学或量子力学两种情形 中都可出现混沌 这个结 论是相 当一般的 普利高津学派 曾经应用 以上 的理 论研究 了本来就存在混沌 的动力 学系统 诸如伯努 利位移等 结果表明 就在 P F算符或 K o o p ma n算 符的分布函数的层次上确实存在一个复谱表示 因 而他们很 自然地采用在概率分布的层次上的复谱来 定义 混沌 这种定义令人耳 目一新 人们长期曾试 图采用许多不同的方式定义 量子混沌 但一直未 能达到经典和量子两者一致的定义 经典系统是从 对初条件的敏感性来定义 的 但是 如何将它拓广于 量子情形就不清楚了 这里可以指出 两者的类似性 在普利高津学派的复谱新理论下达到了共识 重要 的结论是 大庞加莱 P o i n ca r e 系统一般兼有混沌 和耗散两种性质 它们都是动力学不稳定性 的结果 复谱分析理论的第二个特点 正好 阐明了在轨迹层 次上与在波函数层次上用复谱表示的大庞加莱系统 之间的区别 以及所 要求 的统计方法 从物理意义 上 刘维尔算符 L的可约化表示导致从概率分布表 示 ID回到轨迹或波 函数的描述上去 虽然这种统计 描述对应用是有益的 但它不是一种基本描述 相反 地 当获得 L 的不可约化表示时 概率分布描述则 变成基本描述 这时就不能退化到轨迹或波函数 的 描述上去 并且只有刘维尔算符 L的谱表示为不可 约化形式时 才能说 混沌 满足这样表示 的系统必 须存在持久的相互作用 复谱表示有一个优点 可以 把各种可观测量 如寿命 散射截面等吸收到 l D的 时间演化中 其中 零本征值的本征 函数起到特殊作 用 即为 平衡模式 当所有其它的模式被衰减 时 l 0 渐近地趋于 当 一O 3 一种 平衡模式 的和 这里的求和遍及所有 的平衡模式 在平衡时只有零 本征值平衡模式保 留下来 因此 平衡分布扮演了吸 引子的角色 为了描述趋 向平衡就得采用刘维尔空 间 根本不存在在轨迹或波 函数层 次上趋 向平衡 这里提出一个 问题 薛定谔方程是线性的 相应于每 个初始条件 0 的波函数为 9 t 这怎么能同趋 向分布函数 l 0的平衡相一致 呢 普利 高津学 派证 明了 这个明显的矛盾恰好与不稳定性及混沌相关 且复本征值导致各种 时间标度 这再次通过各种模 式叠加对应于出现非 马尔科夫行为 正是分布 函数 的初始条件激发起各种契机 决定 了短时间和长时 间的 D t 的行为 由于他们建立了 l 0 层次上 的不可 约化形式 所以 在其理论框架下可以自然地 阐明轨 迹或波函数 的时间演化破缺对称性等重要 问题 实 际上 经典混沌必然导致经典轨迹 的破裂 但是 在 量子力学 中量子混沌仍然是一个病态 的概念 它需 要 比经典混沌更强的条件 因为 所有有限的量子系 统 具有离散谱 都是可积的 它们无庞加莱发散 这 是普朗克常数 h的结果 与经典力学 比较 h的引 进就像加上了相干性 相干性则是量子力学 中物质 波动性方面的根源 因此 与经典混沌对应的量子力 学的类似物一般不可能是混沌的 但是 对导致刘维 尔空间中不可约化表示 的大庞加莱 系统来说 则并 非如此 即对于大庞加莱系统 不论经典系统还是量 第 1 期 毕桥 等 独树一帜的统计物理理论 子动力学 1 2 9 子系统 均可出现混沌 按照通常量子理论通过求解 薛定谔方程 波函数从 t 0时的 0 出发变成 e 一 0 这个结果如何与复谱理论所得到 的 l D导致平衡结果相一致 呢 普利 高津进一 步指 出 平衡意味着存在多重波函数 相应于微正则系综 的相同能量 究竟如何能把一个波函数变成多重波 函数呢 这与量子理论是否矛盾呢 从某种意义上 说 该思想类似于经典混沌系统 中轨迹概念变成病 态定义的情形 由于不稳定性 同样导致 t 一 时波 函数 也变成病态定义 例如 二体散射 中出现 含时因子 s in 09 t o 对 于短时间该量 有很好 定义 对于 t 09 s in 09简直就是 t 但是 对于 t 一 它则在 一1 和 1 之间越来越快地振荡 故类 似地 I D 也变成病态定义 就如它变成正比于 s in 2 o 09 一样 那么如何排除这个 困难呢 这个不 难 须知 P的最初 目的就是计算平均值 在平均值 意义上困难便迎刃而解 关于趋 向平衡问题 只要限 于光滑的可观测情形就行 从面包师变换 中可知 不 断重复面包师变换 就会不断地得到越来越细致 的 条形 更精确地说 这样变换的结果将不产生均匀的 分布 但 当计算光滑的可观测量的平均值时 则可略 去振荡 于是 l D 将是均匀分布 这恰好是量子理论 也不得不做 的事情 如 上述例 子 当 l 0 C s i n 2 09 09 r 时 必须考虑 I 厂 s i n 09 d c U 厂 为 0 9 的光 J 滑函数 称为 试验函数 教科书中早就证明 对于 r 一 该积分可写成 I 厂 09 d 这里 J 是狄拉克分布 这时试验函数 中 I D变成 t 8 且 r 是很好定义的 并且能考虑积分 I 厂 5 0 09 d J 使得 被规则化的 P正 比于 t 3 而被规则化的 波函数正 比于 显然 被规则化的 ID不是被规 则化 的波 函数的平方 这表明作 为量子力学的波 函 数的 破裂 现在必须在分布函数的层次上给予公式 化 与建立在波函数基础上的量子理论相 比 普利高 津的新理论中增加 了统计元素 他们正是针对导致 波函数的病态定义这个事实 提出了关于密度矩阵 的量子理论 必须精确地将该 理论理解为研究与试 验函数有关 的密度 ID的理论 值得注意的是 被规 则化 的 l D 满足刘维尔方程 这成为新量子理论 中的 基本 扩张 方程 取代了通常的薛定谔方程 新理论 中将 P表达成来自不同模式的各个贡献求和 这是 高度非凡的基本结果 可视为量子力学的扩张形式 现在来看看新量子力学形式的物理 图像 考虑经典 相空 间 用 h元胞划分相空间考虑海森堡不确定关 系 早期的玻尔量子理论 中每个元胞对应于一个量 子态 一个 在稳定量子系统中 按时地从一个量 子态进入另一个量子态 相反地 对 于大庞加莱 系 统 则产生多重量子态 于是 就像云雾弥散了整个 相空间 可以从一个态进入多个态 反之则不然 因 此 尽管在量子力学 中不能通过定义 对初始条件 的 敏感性 来表征混沌 但是 显然上述 图像与经典混 沌的相似性是多么令人吃惊 这里发现 了波函数 的 破裂现象是基本主要 的混沌表现形式 且标志着量 子力学的极限 不过 波 函数的破裂恰好唯一地标志 着更深刻的困难所在 因为在大庞加莱 系统 中波 函 数连续不断地分支出来 使基于永久单波 函数的薛 定谔方程根本不适用 而应以刘维尔方程取而代之 于是 新量子力学形式脱颖而出 新理论的特色和优 点在于 a 从基本的微观层次上考虑 了耗散 因素和 时间方 向 这恰恰是老理论 的两个致命弱点 b 导 出具有时间破缺对称 的解 从而能从微观层次上引 进不可逆性 C 能将许多可观测物理量包括在理论 之中 d 导致发展了一种构造性微扰理论及广义复 谱分解方法 上面简介了子动力学 的两大要素 基本形式和 空间背景 现探讨该理论基本形式和空间背景在 网 络科学中的应用 网络研究者众所周知 网络科学 特别是复杂网络 自从其标志性两项开创性发现 小 世界 s ma ll wo r ld 和无标度 s ca le f r e e 以来获得 了日新月异的发展 1 1 1 3 从而引发了人们对现实世 界复杂网络的研究热潮 吸引了许多不 同学科领域 如物理学 社会学 生物学 计算机及数学等 的学 者进人研究行列中 但是 在对 1 2年前发现的最初 新奇之后 网络科 学揭示 的网络世界越来越 复杂 庐 山真面 目 远未揭开 发现在两大发现之外 的创 新仍然是遥远的路标 为此下面抛砖引玉提出两个 例子 希望同潮流有所不 同 3 自相似结构 的网络 每一个信息密度就是网络 中的一个节点 两个 节点信息密度之问的信息传递或相互作用就是两个 节点间的边或连线 然后节点信息密度又可投影为 第二 层 类 似 的 网 络 继 续 下 去 第 三 层 第 四 层 可 以用子动力学来表述这一具有全息特征 的模型 设原来网络系统 由刘维尔 或薛定锷 动力 学方程描述 这就意味着每一个基本的动力学方程 1 3 0 上 海 理 工 大 学 学 报 2 0 1 2年 第 3 4卷 可以构造其投影过程 中的子动力学方程 S K E 无 一 不是同相似变换交织在一起 可 以用下面的形式 表达 其中 第一个下标是指一阶的 S K E 对应 的是 第一层 自相似 网络 第二个 下标 是指二 阶的 S KE 对应 的是第二层 自相似 网络 直到第 层 自相似 网络 S ch r 6 d i n g e r Li o u v ill e E q s s S K E w 1 这一 自相似结构 的网络模型可 以用于 自然 社 会和经济领域众多 的具有 自相似结构的 网络的网 络 中去 例如 宇宙大时空动力学结构 大脑网络模 型 实际上 在某种意义上说 上面揭示 的图景表 明 宇宙的动力学方程结构是 自相似 的 可 以用来表现 宇宙大规模结构可能具有全息的性质 另外 对一类 网络的网络 来说 例如 大脑 网络l 1 可以将其看 作为二层 自相似结构 的网络 甚至多层 自相似结构 的网络 即第一层次神经元连接的网络 第二层次神 经元本身的网络等 这里每一个神经元可 以看作 为 一 个信息密度节点 首先 有趣的是对于刘维尔方程来说 分布 函数 或密度算子可以转化为信息密度仍然保持成立 这 对子动力学方程也是没有问题 的 且无论对经典 系 统或量子系统都适用 因此 刘维尔方程和动力学方 程可以成为描述网络信息或信息 网络 的基本方程 其次 重要的是 自相似条件 即投影条件 是直接来 源于子动力学理论 即投影部分的网络 系统的分布 函数 这里可以看作为信息密度分布 是其总分布函 数的 动力学部分 的 真空部分 这样 的条件保证 投影的自相似结构包含着原来结构 的主要动力学特 征或信息 这是子动力学的重要思想 事实上 子动 力学理论可以证明 对可以趋 向平衡态 的任何非平 衡系统 其分布函数 或信息密度 可以划分为动力 学部分和非动力学部分之和 动力学部分在系统演 化 的过程中起主要或 实质性的作用 而非动力学部 分则随着时间的演化趋 于零 对过程最终没有什么 贡献 这是第一点 另外 动力学部分还可分为真空 部分 关联部分 真空一 关联和关联一 真空等部分 接 着子动力 学理 论揭 示 动力 学部 分 的关 联 部分 或 真空 一 关联部分或关联一真空部分 随着系统过程 的 演化都趋于零 惟有动力学部分的真空部分才有意 义 是过程的实质参与者 这在 B a l e s cu的书中有详 细的讨论 7 所以 在子动力学的投影条件下原网络 的次层 自相似结构的网络包含着上层网络的主要和 实质性的信息 整个多层 自相似结构的网络是动力 学全息的 数学上表现为次层 自相似结构 的网络可 以通过子动力学的相似变换返 回到原来网络 这一 自相似结构的网络 的全息特征可能对 网 络的网络 即大脑 网络来说 有重要意义 可能说明 如果把大脑网络看成二层 自相似结构 的网络的话 那么 第二层次神经元本身 的网络就可能浓缩了第 一 层次大脑网络的一些主要 信息 它们之 间可以通 过相似变换建立联系 因此 大脑的记忆本质就是大 脑 网络的一些主要信息通过相似变换储存到第二层 次神经元本身的网络之 中 大脑 网络在信息处理或 推理中要反复通过这类相似变换取 出储存信息来进 行工作 这种过程是可以用子动力学的理论来定量 分析的 更为惊异 的是这种具有 自相似结构的子动力学 投影方程可以编成程序来求解原网络系统的本征值 问题 例如 设原 网络 的哈密顿量 H a milt o n ia n 为 H 如果定义投影算子 P 幻 l f 一 白 l H Q 缟 缟 l Q蔚Hi l 1 3 0 1 这里引入 Q HQ 为H 如果i 的谱分解给 上 g 出 那么 本征值 EZ 能够 由 S K E再给 出 继续这一 程序直到最后得到 Q HQ 仅存在一个投影算 子 那么 可以求出本征矢和本征值 再把最后的结 果代人前面的递推公式求得 H 的本征