（45专题）2014年中考数学试题解析分类汇编汇总44 综合性问题.doc

综合性问题一、 选择题1. （2014湖南永州,第6题3分）下列命题是假命题的是（）A不在同一直线上的三点确定一个圆B矩形的对角线互相垂直且平分C正六边形的内角和是720D角平分线上的点到角两边的距离相等考点：命题与定理.分析：根据确定圆的条件对A进行判断；根据矩形的性质对B进行判断；根据多边形的内角和定理对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断解答：解：A、不在同一直线上的三点确定一个圆，所以A选项为真命题；B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项为假命题；C、正六边形的内角和是720，所以C选项为真命题；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项为真命题故选B点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理2. （2014乐山，第10题3分）如图，点P（1，1）在双曲线上，过点P的直线l1与坐标轴分别交于A、B两点，且tanBAO=1点M是该双曲线在第四象限上的一点，过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点，并与坐标轴分别交于点C、点D则四边形ABCD的面积最小值为（）A10B8C6D不确定考点：反比例函数综合题；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题.专题：综合题；待定系数法；配方法；判别式法分析：根据条件可以求出直线l1的解析式，从而求出点A、点B的坐标；根据条件可以求出反比例函数的解析式为y=，从而可以设点M的坐标为（a，）；设直线l2的解析式为y=bx+c，根据条件“过点M的直线l2与双曲线只有一个公共点”可以得到b=，c=，进而得到D的坐标为（0，）、点C的坐标为（2a，0）；由ACBD得到S四边形ABCD=ACBD，通过化简、配方即可得到S四边形ABCD=8+2（）2，从而可以求出S四边形ABCD的最小值为8解答：解：设反比例函数的解析式为y=，点P（1，1）在反比例函数y=的图象上，k=xy=1反比例函数的解析式为y=设直线l1的解析式为y=mx+n，当x=0时，y=n，则点B的坐标为（0，n），OB=n当y=0时，x=，则点A的坐标为（，0），OA=tanBAO=1，AOB=90，OB=OAn=m=1点P（1，1）在一次函数y=mx+n的图象上，m+n=1n=2点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，2）点M在第四象限，且在反比例函数y=的图象上，可设点M的坐标为（a，），其中a0设直线l2的解析式为y=bx+c，则ab+c=c=aBy=bxaB直线y=bxab与双曲线y=只有一个交点，方程bxab=即bx2（+ab）x+1=0有两个相等的实根（+ab）24b=（+ab）24b=（ab）2=0=aBb=，c=直线l2的解析式为y=x当x=0时，y=，则点D的坐标为（0，）；当y=0时，x=2a，则点C的坐标为（2a，0）AC=2a（2）=2a+2，BD=2（）=2+ACBD，S四边形ABCD=ACBD=（2a+2）（2+）=4+2（a+）=4+2（）2+2=8+2（）22（）20，S四边形ABCD8当且仅当=0即a=1时，S四边形ABCD取到最小值8故选：B点评：本题考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、根的判别式、双曲线与直线的交点等知识，考查了用配方法求代数式的最值，突出了对能力的考查，是一道好题3（2014浙江绍兴,第10题4分）如图，汽车在东西向的公路l上行驶，途中A，B，C，D四个十字路口都有红绿灯AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，且l上各路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每次红（绿）灯亮的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮的时间也相同若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可能设置为（）A50秒B45秒C40秒D35秒考点：推理与论证分析：首先求出汽车行驶各段所用的时间，进而根据红绿灯的设置，分析每次绿灯亮的时间，得出符合题意答案解答：解：甲汽车从A路口以每小时30千米的速度沿l向东行驶，同时乙汽车从D路口以相同的速度沿l向西行驶，两车的速度为：=（m/s），AB之间的距离为800米，BC为1000米，CD为1400米，分别通过AB，BC，CD所用的时间为：=96（s），=120（s），=168（s），这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，当每次绿灯亮的时间为50s时，=1，甲车到达B路口时遇到红灯，故A选项错误；当每次绿灯亮的时间为45s时，=3，乙车到达C路口时遇到红灯，故B选项错误；当每次绿灯亮的时间为40s时，=5，甲车到达C路口时遇到红灯，故C选项错误；当每次绿灯亮的时间为35s时，=2，=6，=10，=4，=8，这两辆汽车通过四个路口时都没有遇到红灯，故D选项正确；则每次绿灯亮的时间可能设置为：35秒故选：D点评：此题主要考查了推理与论证，根据题意得出汽车行驶每段所用的时间，进而得出由选项分析得出是解题关键二、填空题1. （2014湖南永州,第16题3分）小聪，小玲，小红三人参加“普法知识竞赛”，其中前5题是选择题，每题10分，每题有A、B两个选项，且只有一个选项是正确的，三人的答案和得分如下表，试问：这五道题的正确答案（按15题的顺序排列）是BABBA题号答案选手12345得分小聪BAABA40小玲BABAA40小红ABBBA30考点：推理与论证.分析：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误，首先从三人答案相同的入手分析，然后从小聪和小玲不同的题目入手即可分析解答：解：根据得分可得小聪和小玲都是只有一个错，小红有2个错误第5题，三人选项相同，若不是选A，则小聪和小玲的其它题目的答案一定相同，与已知矛盾，则第5题的答案是A；第3个第4题小聪和小玲都不同，则一定在这两题上其中一人有错误，则第1，2正确，则1的答案是：B，2的答案是：A；则小红的错题是1和2，则3和4正确，则3的答案是：B，4的答案是：B总之，正确答案（按15题的顺序排列）是BABBA故答案是：BABBA点评：x k b 1 . c o m本题考查了命题的推理与论证，正确确定问题的入手点，理解题目中每个题目只有A和B两个答案是关键2. （2014乐山，第15题3分）如图在正方形ABCD的边长为3，以A为圆心，2为半径作圆弧以D为圆心，3为半径作圆弧若图中阴影部分的面积分为S1、S2则S1S2=9考点：整式的加减.分析：先求出正方形的面积，再根据扇形的面积公式求出以A为圆心，2为半径作圆弧以D为圆心，3为半径作圆弧的两扇形面积，再求出其差即可解答：解：S正方形=33=9，S扇形ADC=，S扇形EAF=，S1S2=（S正方形S扇形ADC）=（9）=9故答案为：9点评：本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键3（2014四川广安,第16题3分）如图，在直角梯形ABCD中，ABC=90，上底AD为，以对角线BD为直径的O与CD切于点D，与BC交于点E，且ABD为30则图中阴影部分的面积为（不取近似值）考点：切线的性质；直角梯形；扇形面积的计算分析：连接OE，根据ABC=90，AD=，ABD为30，可得出AB与BD，可证明OBE为等边三角形，即可得出C=30阴影部分的面积为直角梯形ABCD的面积三角形ABD的面积三角形OBE的面积扇形ODE的面积解答：解：连接OE，过点O作OFBE于点FABC=90，AD=，ABD为30，BD=2，AB=3，OB=OE，DBC=60，OF=，CD为O的切线，BDC=90，C=30，BC=4，S阴影=S梯形ABCDSABDSOBES扇形ODE=故答案为点评：本题考查了切线的性质、直角梯形以及扇形面积的计算，要熟悉扇形的面积公式4（2014四川绵阳,第16题4分）如图，O的半径为1cm，正六边形ABCDEF内接于O，则图中阴影部分面积为cm2（结果保留）考点：正多边形和圆分析：根据题意得出COWABW，进而得出图中阴影部分面积为：S扇形OBC进而得出答案解答：解：如图所示：连接BO，CO，正六边形ABCDEF内接于O，AB=BC=CO=1，ABC=120，OBC是等边三角形，COAB，在COW和ABW中，COWABW（AAS），图中阴影部分面积为：S扇形OBC=故答案为：点评：此题主要考查了正多边形和圆以及扇形面积求法，得出阴影部分面积=S扇形OBC是解题关键5（2014四川绵阳,第17题4分）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，EAF=45，ECF的周长为4，则正方形ABCD的边长为2考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质分析：根据旋转的性质得出EAF=45，进而得出FAEEAF，即可得出EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4，得出正方形边长即可解答：解：将DAF绕点A顺时针旋转90度到BAF位置，由题意可得出：DAFBAF，DF=BF，DAF=BAF，EAF=45，在FAE和EAF中，FAEEAF（SAS），EF=EF，ECF的周长为4，EF+EC+FC=FC+CE+EF=FC+BC+BF=4，2BC=4，BC=2故答案为：2点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出FAEEAF是解题关键6（2014重庆A,第17题4分）从1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数，记为a，那么，使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为考点：概率公式；解一元一次不等式组；一次函数图象上点的坐标特征分析：将1，1，2分别代入y=2x+a，求出与x轴、y轴围成的三角形的面积，将1，1，2分别代入，求出解集，有解者即为所求解答：解：当a=1时，y=2x+a可化为y=2x1，与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，1），三角形面积为1=；当a=1时，y=2x+a可化为y=2x+1，与x轴交点为（，0），与y轴交点为（0，1），三角形的面积为1=；当a=2时，y=2x+2可化为y=2x+2，与x轴交点为（1，0），与y轴交点为（0，2），三角形的面积为21=1（舍去）；当a=1时，不等式组可化为，不等式组的解集为，无解；当a=1时，不等式组可化为，解得，解集为，解得x=1使关于x的一次函数y=2x+a的图象与x轴、y轴围成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为P=故答案为点评：本题考查了概率公式、解一元一次不等式、一次函数与坐标轴的交点，有一定的综合性7（2014江西，第14题3分）在RtABC中，A90，有一个锐角为60，BC=6若P在直线AC上（不与点A，C重合），且ABP30，则CP的长为_.【答案】 4，2，6.【考点】 直角三角形性质，勾股定理，解直角三角形，分类讨论思想【分析】 根据题意画出图形，分三种情况进行讨论，利用直角三角形的性质，解直角三角形或者用勾股定理进行解答【解答】解：分四种情况讨论：如图1：当C=60时，当C=60时，ABC=30，P点在线段AC上，ABP不可能等于30，只能是P点与C点重合，与条件相矛盾。如图2：当C=60时，ABC=30，P点在线段CA的延长上。RtABC中，BC6，C=30，ACBC63.在ABC和ABP中，ABP=ABC30，ABAB，CAB=PAB90ABCABP，ACAP3，CPACAP336.如图3：当ABC=60时，C=30，P点在线段AC上。RtABC中，BC6，C=30，ABBC63.ABP30，APBP，PBCABCABP6030=30C，PC=PB，在RtABP中， ，解得PB=2PCPB2.如图4：当ABC=60时，C=30，P点在线段CA的延长线上。ABP=30，ABC=60，PBC是直角三形.C=30，PBPC.在 RtPBC中，PC2PB2BC2,BC6，PB=PC,PC2(PC)262，解得PC4。综上所述，CP的长为2、4和6。三、解答题1. （2014黑龙江绥化,第26题9分）在菱形ABCD和正三角形BGF中，ABC=60，P是DF的中点，连接PG、PC（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC（不必证明）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）考点：四边形综合题分析：（1）延长GP交DC于点E，利用PEDPGF，得出PE=PG，DE=FG，得到CE=CG，CP是EG的中垂线，在RTCPG中，PCG=60，所以PG=PC（2）延长GP交DA于点E，连接EC，GC，先证明DPEFPG，再证得CDECBG，利用在RTCPG中，PCG=60，所以PG=PC（3）延长GP到H，使PH=PG，连接CH、DH，作MEDC，先证GFPHDP，再证得HDCGBC，在在RTCPG中，PCG=60，所以PG=PC解答：（1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，利用PEDPGF，得出PE=PG，DE=FG，CE=CG，CP是EG的中垂线，在RTCPG中，PCG=60，PG=PC（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，ABC=60，BGF正三角形GFBCAD，EDP=GFP，在DPE和FPG中DPEFPG（ASA）PE=PG，DE=FG=BG，CDE=CBG=60，CD=CB，在CDE和CBG中，CDECBG（SAS）CE=CG，DCE=BCG，ECG=DCB=120，PE=PG，CPPG，PCG=ECG=60PG=PC（3）猜想：PG=PC证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，作MEDCP是线段DF的中点，FP=DP，GPF=HPD，GFPHDP，GF=HD，GFP=HDP，GFP+PFE=120，PFE=PDC，CDH=HDP+PDC=120，四边形ABCD是菱形，CD=CB，ADC=ABC=60，点A、B、G又在一条直线上，GBC=120，四边形BEFG是菱形，GF=GB，HD=GB，HDCGBC，CH=CG，DCH=BCG，DCH+HCB=BCG+HCB=120，即HCG=120CH=CG，PH=PG，PGPC，GCP=HCP=60，PG=PC点评：本题主要考查了菱形的性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键2. （2014黑龙江绥化,第27题10分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，4），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动点P、Q的运动速度均为1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAO交AB于点E（1）求直线AB的解析式；（2）设PEQ的面积为S，求S与t时间的函数关系，并指出自变量t的取值范围；（3）在动点P、Q运动的过程中，点H是矩形AOBC内（包括边界）一点，且以B、Q、E、H为顶点的四边形是菱形，直接写出t值和与其对应的点H的坐标考点：一次函数综合题分析：（1）依据待定系数法即可求得；（2）有两种情况：当0t2时，PF=42t，当2t4时，PF=2t4，然后根据面积公式即可求得；（3）依据菱形的邻边相等关系即可求得解答：解：（1）C（2，4），A（0，4），B（2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，解得直线AB的解析式为y=2x+4（2）如图2，过点Q作QFy轴于F，PEOB，=有AP=BQ=t，PE=t，AF=CQ=4t，当0t2时，PF=42t，S=PEPF=t（42t）=tt2，即S=t2+t（0t2），当2t4时，PF=2t4，S=PEPF=t（2t4）=t2t（2t4）（3）t1=，H1 （，），t2=208，H2（104，4）点评：本题考查了待定系数法求解析式，平行线的性质，以及菱形的性质和三角形的面积公式的应用3. （2014湖北宜昌,第21题8分）已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作O，O与边BC相交于点F，O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB（1）求证：ADECDF；（2）当CF：FB=1：2时，求O与ABCD的面积之比考点：切线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质分析：（1）根据平行四边形的性质得出A=C，ADBC，求出ADE=CDF，根据相似三角形的判定推出即可；（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出=，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2y，分别求出O的面积和四边形ABCD的面积，即可求出答案解答：（1）证明：CD是O的直径，DFC=90，四边形ABCD是平行四边形，A=C，ADBC，ADF=DFC=90，DE为O的切线，DEDC，EDC=90，ADF=EDC=90，ADE=CDF，A=C，ADECDE；（2）解：CF：FB=1：2，设CF=x，FB=2x，则BC=3x，AE=3EB，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=3x，AB=DC=4y，ADECDF，=，=，x、y均为正数，x=2y，BC=6y，CF=2y，在RtDFC中，DFC=90，由勾股定理得：DF=2y，O的面积为（DC）2=DC2=（4y）2=4y2，四边形ABCD的面积为BCDF=6y2y=12y2，O与四边形ABCD的面积之比为4y2：12y2=：3点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力4. （2014随州，第24题10分）已知两条平行线l1、l2之间的距离为6，截线CD分别交l1、l2于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l1、l2与A、B两点（1）操作发现如图1，过点P作直线l3l1，作PEl1，点E是垂足，过点B作BFl3，点F是垂足此时，小明认为PEAPFB，你同意吗？为什么？（2）猜想论证将直角APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想（3）延伸探究在（2）的条件下，当截线CD与直线l1所夹的钝角为150时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使PAB的边AB的长为4？请说明理由考点：几何变换综合题分析：（1）根据题意得到：EPA+APF=90，FPB+APF=90，从而得到EPA=FPB，然后根据PEA=PFB=90证得PEAPFB；（2）根据APB=90得到要使PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，然后根据当AE=BF时，PA=PB，从而得到PEAPFB，利用全等三角形的性质证得结论即可；（3）在RtPEC中，CP=x，PCE=30从而得到PE=x，然后利用PE+BF=6，BF=AE得到AE=6x，然后利用勾股定理得到PE2+AE2=PA2，代入整理后得到一元二次方程x212x8=0，求得x的值后大于12，从而得到矛盾说明不存在满足条件的x解答：解：（1）如图（1），由题意，得：EPA+APF=90，FPB+APF=90，EPA=FPB，又PEA=PFB=90，PEAPFB；（2）证明：如图2，APB=90，要使PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，当AE=BF时，PA=PB，EPA=FPB，PEA=PFB=90，AE=BF，PEAPFB，PA=PB；（3）如图2，在RtPEC中，CP=x，PCE=30，PE=x，由题意，PE+BF=6，BF=AE，AE=6x，当AB=4时，由题意得PA=2，RtPEA中，PE2+AE2=PA2，即（）2+（6x）2=40，整理得：x212x8=0，解得：x=620（舍去）或x=6+2，x=6+26+6=12，又CD=12，点P在CD的延长线上，这与点P在线段CD上运动相矛盾，不合题意，综上，不存在满足条件的实数x点评：本题是一道几何变换的综合题，题目中涉及到了全等三角形、勾股定理等知识，知识网络比较复杂，难度较大5、（2014随州，第25题12分）平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，点C的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，O为坐标原点，连接OB，抛物线y=ax2+bx+c经过C、O、A三点（1）直接写出这条抛物线的解析式；（2）如图1，对于所求抛物线对称轴上的一点E，设EBO的面积为S1，菱形ABCD的面积为S2，当S1S2时，求点E的纵坐标n的取值范围；（3）如图2，D（0，）为y轴上一点，连接AD，动点P从点O出发，以个单位/秒的速度沿OB方向运动，1秒后，动点Q从O出发，以2个单位/秒的速度沿折线OAB方向运动，设点P运动时间为t秒（0t6），是否存在实数t，使得以P、Q、B为顶点的三角形与ADO相似？若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）求得菱形的边长，则A的坐标可以求得，然后利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）首先求得菱形的面积，即可求得S1的范围，当S1取得最大值时即可求得直线的解析式，则n的值的范围即可求得；（3）分当1t3.5时和3.5t6时两种情况进行讨论，依据相似三角形的对应边的比相等，即可列方程求解解答：解：（1）根据题意得：，解得：，则抛物线的解析式是：y=x2x；（2）设BC与y轴相交于点G，则S2=OGBC=20，S15，又OB所在直线的解析式是y=2x，OB=2，当S1=5时，EBO的OB边上的高是如图1，设平行于OB的直线为y=2x+b，则它与y轴的交点为M（0，b），与抛物线对称轴x=交于点E（，n）过点O作ONME，点N为垂足，若ON=，由MNOOGB，得OM=5，y=2x5，由，解得：y=0，即E的坐标是（，0）与OB平行且到OB的距离是的直线有两条由对称性可得另一条直线的解析式是：y=2x+5则E的坐标是（，10）由题意得得，n的取值范围是：0n10且n5（3）如图2，动点P、Q按题意运动时，当1t3.5时，OP=t，BP=2t，OQ=2（t1），连接QP，当QPOP时，有=，PQ=（t1），若=，则有=，又QPB=DOA=90，BPQAOD，此时，PB=2PQ，即2t=（t1），10t=8（t1），t=2；当3.5t6时，QB=102（t1）=122t，连接QP若QPBP，则有PBQ=ODA，又QPB=AOD=90，BPQDOA，此时，PB=PB，即122t=（2t），122t=10t，t=2（不合题意，舍去）若QPBQ，则BPQDAO，此时，PB=BQ，即2t=（122t），2t=122t，解得：t=则t的值为2或点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果6、（2014衡阳，第28题10分）已知某二次函数的图象与轴分别相交于点和点，与轴相交于点，顶点为点。求该二次函数的解析式（系数用含的代数式表示）；图图如图，当时，点为第三象限内抛物线上的一个动点，设的面积为，试求出与点的横坐标之间的函数关系式及的最大值；如图，当取何值时，以、三点为顶点的三角形与相似？【考点】待定系数法求二次函数的表达式，三角形面积公式，梯形面积公式，相似三角形的判定定理.当时，点的坐标为，该二次函数的解析式为点的坐标为，点的坐标为直线的解析式为，即过点作轴于点，交于点点为第三象限内抛物线上的一个动点且点的横坐标为点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为当时，有最大值方法二当时，有最大值；另解：，当时，有最大值，点的坐标为是直角三角形，欲使以、三点为顶点的三角形与相似，必有若在中，则，即化简整理得：，（舍去负值）此时，虽然，但是，与不相似，应舍去；综上所述，只有当时，以、三点为顶点的三角形与相似。【答案】该二次函数的解析式为当时，有最大值当时，以、三点为顶点的三角形与【点评】：本题综合性强，难度大，是代数、几何的综合题，每一问难度逐渐上升，第一问就是求二次函数表达式的一般问题，第二问虽然常见，但是在表示的面积时，难度较大，计算量也大，一些学生会放弃，第三问分情况讨论，虽然3种情况容易想到，但是还是计算，往往造成会思路但不得分的情况.7、（2014宁夏，第26题10分）在RtABC中，C=90，P是BC边上不同于B、C的一动点，过P作PQAB，垂足为Q，连接AP（1）试说明不论点P在BC边上何处时，都有PBQ与ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，当BP为何值时，AQP面积最大，并求出最大值；（3）在RtABC中，两条直角边BC、AC满足关系式BC=AC，是否存在一个的值，使RtAQP既与RtACP全等，也与RtBQP全等考点：相似形综合题分析：（1）利用“两角法”可以证得PBQ与ABC相似；（2）设BP=x（0x4）由勾股定理、（1）中相似三角形的对应边成比例以及三角形的面积公式列出S与x的函数关系式，利用配方法求得二次函数的最值；（3）利用全等三角形的对应边相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC在RtABC中，由勾股定理得 BC2=AB2AC2，易求得：BC=AC，则=解答：解：（1）不论点P在BC边上何处时，都有PQB=C=90，B=BPBQABC；（2）设BP=x（0x4），由勾股定理，得 AB=5由（1）知，PBQABC，即 SAPQ=当时，APQ的面积最大，最大值是；（3）存在RtAQPRtACPAQ=AC又RtAQPRtBQPAQ=QBAQ=QB=AC在RtABC中，由勾股定理得 BC2=AB2AC2BC=AC=时，RtAQP既与RtACP全等，也与RtBQP全等点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，三角形的面积公式以及二次函数的最值的求法等知识点难度较大注意，在证明三角形相似时，充分利用公共角，在利用全等三角形的性质时，要找准对应边8（2014四川成都,第20题10分）如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=AD（n为大于2的整数），连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD，BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG（1）试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；（2）当AB=a（a为常数），n=3时，求FG的长；（3）记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当=时，求n的值（直接写出结果，不必写出解答过程）考点：四边形综合题分析：（1）先求证EFOCBO，可得EF=BG，再根据BOFEOF，可得EF=BF；即可证明四边形BFEG为菱形；（2）根据菱形面积不同的计算公式（底乘高和对角线乘积的一半两种计算方式）可计算FG的长度；（3）根据菱形面积底乘高的计算方式可以求出BG长度，根据勾股定理可求出AF的长度，即可求出ED的长度，即可计算n的值解答：解：（1）ADBC，EFO=BGO，FG为BE的垂直平分线，BO=OE；在EFO和CBO中，EFOCBO，EF=BG，ADBC，四边形BGEF为平行四边形；在BOF和EOF中，BOFEOF，EF=BF，邻边相等的平行四边形为菱形，故四边形BGEF为菱形（2）当AB=a，n=3时，AD=2a，AE=， 根据勾股定理可以计算BE=，AF=AEEF=AEBF，在RtABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF=，EF=，菱形BGEF面积=BEFG=EFAB，计算可得FG=（3）设AB=x，则DE=，当=时，=，可得BG=，在RtABF中AB2+AF2=BF2，计算可得AF=，AE=AF+FE=AF+BG=，DE=ADAE=，n=6点评：牢记菱形的底乘高和对角线求面积的计算公式，熟练运用勾股定理才能解本题9（2014四川成都,第27题10分）如图，在O的内接ABC中，ACB=90，AC=2BC，过C作AB的垂线l交O于另一点D，垂足为E设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G（1）求证：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设=x，tanAFD=y，求y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）考点：圆的综合题分析：（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得DPF=APC，则结论易证（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路利用已知条件易得其他边长，则PD可求（3）因为题目涉及AFD与也在第一问所得相似的PDF中，进而考虑转化，AFD=PCA，连接PB得AFD=PCA=PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示PBG所对的这条高线但是“此线是否过PB与AC的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明HBG=PCA=AFD因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点根据等弧对等角，可得HBG=PCA，进而得解题思路解答：（1）证明：，DPF=180APD=180所对的圆周角=180所对的圆周角=所对的圆周角=APC在PAC和PDF中，PACPDF（2）解：如图1，连接PO，则由，有POAB，且PAB=45，APO、AEF都为等腰直角三角形在RtABC中，AC=2BC，AB2=BC2+AC2=5BC2，AB=5，BC=，AC=2，CE=ACsinBAC=AC=2=2， AE=ACcosBAC=AC=2=4，AEF为等腰直角三角形，EF=AE=4，FD=FC+CD=（EFCE）+2CE=EF+CE=4+2=6APO为等腰直角三角形，AO=AB=，AP=PDFPAC，PD=（3）解：如图2，过点G作GHAB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交O于Q，HCCB，GHGB，C、G都在以HB为直径的圆上，HBG=ACQ，C、D关于AB对称，G在AB上，Q、P关于AB对称，PCA=ACQ，HBG=PCAPACPDF，PCA=PFD=AFD，y=tanAFD=tanPCA=tanHBG=HG=tanHAGAG=tanBACAG=，y=x点评：本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路10（2014四川成都,第28题12分）如图，已知抛物线y=（x+2）（x4）（k为常数，且k0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与x轴交于点C，经过点B的直线y=x+b与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？考点：二次函数综合题分析：（1）首先求出点A、B坐标，然后求出直线BD的解析式，求得点D坐标，代入抛物线解析式，求得k的值；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCABP如答图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF如答图3，作辅助线，将AF+DF转化为AF+FG；再由垂线段最短，得到垂线段AH与直线BD的交点，即为所求的F点X k b 1 . c o m解答：解：（1）抛物线y=（x+2）（x4），令y=0，解得x=2或x=4，A（2，0），B（4，0）直线y=x+b经过点B（4，0），4+b=0，解得b=，直线BD解析式为：y=x+当x=5时，y=3，D（5，3）点D（5，3）在抛物线y=（x+2）（x4）上，（5+2）（54）=3，k=（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=k，C（0，k），OC=k因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCABP来源:学&科&网Z&X&X&K若ABCAPB，则有BAC=PAB，如答图21所示设P（x，y），过点P作PNx轴于点N，则ON=x，PN=ytanBAC=tanPAB，即：，y=x+kD（x，x+k），代入抛物线解析式y=（x+2）（x4），得（x+2）（x4）=x+k，整理得：x26x16=0，解得：x=8或x=2（与点A重合，舍去），P（8，5k）ABCAPB，即，解得：k=若ABCABP，则有ABC=PAB，如答图22所示与同理，可求得：k=综上所述，k=或k=（3）由（1）知：D（5，3），如答图22，过点D作DNx轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，tanDBA=，DBA=30过点D作DKx轴，则KDF=DBA=30过点F作FGDK于点G，则FG=DF由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，t=AF+FG，即运动时间等于折线AF+FG的长度由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段过点A作AHDK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点A点横坐标为2，直线BD解析式为：y=x+，y=（2）+=2，F（2，2）综上所述，当点F坐标为（2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少点评：本题是二次函数压轴题，难度很大第（2）问中需要分类讨论，避免漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数k，增加了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转化思想使得试题难度大大降低，需要认真体会11（2014四川广安,第26题10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（4，0），B（1，0）两点（1）求抛物线的解析式；（2）在第三象限的抛物线上有一动点D如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DFx轴于点H，交QC于点F请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）本问需结合菱形、平行四边形的性质来进行分析如答图21，作辅助线，求出点D的坐标，进而判断平行四边形ODAE是否为菱形；本问为存在型问题如答图22，作辅助线，构造相似三角形，利用比例式，列出一元二次方程，求得点D的坐标解答：解：（1）把点A（4，0）、B（1，0）代入解析式y=ax2+bx+3，得，解得，抛物线的解析式为：y=x2+x+3（2）如答图21，过点D作DHx轴于点HSODAE=6，OA=4，SAOD=OADH=3，DH=因为D在第三象限，所以D的纵坐标为负，且D在抛物线上，x2+x+3=，解得：x1=2，x2=3点D坐标为（2，）或（3，）当点D为（2，）时，DH垂直平分OA，平行四边形ODAE为菱形；当点D为（3，）时，ODAD，平行四边形ODAE不为菱形假