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计数原理与排列组合题型解题方法总结计数原理一、知识精讲 1、分类计数原理: 2、分步计数原理: 特别注意:两个原理的共同点:把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。 不同点:如果完成一件事情共有n类办法,这n类办法彼此之间相互独立的,无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情,求完成这件事情的方法种数,就用分类计数原理。分类时应不重不漏(即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类)如果完成一件事情需要分成n个步骤,各个步骤都是不可缺少的,需要依次完成所有的步骤,才能完成这件事,而完成 每一个步骤各有若干种不同的方法,求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后,相互依存,缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4. 组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3) 组合数的性质二、.典例解析 题型1:计数原理例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有 种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, 每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有 ; 每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有 ; 每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有 。例2(1)如图为一电路图,从A到B共有 条不同的线路可通电。 A B 例3: 把一个圆分成3块扇形,现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色,要求相邻扇形的颜色互不相同,问有多少钟不同的涂法?若分割成4块扇形呢? 例4、某城在中心广场造一个花圃,花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有 _ 种.(以数字作答) 例5、 四面体的顶点和各棱的中点共10个,在其中取4个不共面的点,问共有多少种不同的取法? 例6、(1)电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果?(2) 三边均为整数,且最大边长为11的三角形的个数是 题型2:排列、组合问题处理策略一.元素个数较少的排列组合问题枚举法:1、设有编号为1,2,3,4,5的五个球和编号为1,2,3,4,5的盒子现将这5个球投入5个盒子要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同,问有多少种不同的方法?2、学号为1、2、3、4的学生坐到编号为1、2、3、4的四张凳子上,要求学生的学号与其所坐的凳子编号不同,问有多少种不同的坐法?二、特殊元素和特殊位置优先策略3、.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.4、 五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有 ( )A120种 B96种 C78种 D72种 三、相邻捆绑、不相邻插空5、(1)7人站成一排照相, 若要求甲、乙、丙不相邻,则有多少种不同的排法? (2)7人站成一排照相,甲、乙、丙三人相邻,有多少种不同排法?6、马路上有8只路灯,为节约用电又不影响正常的照明,可把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,也不能关掉两端的灯,那么满足条件的关灯方法共有多少种?7、某人射击8枪,命中4枪,4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为8、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种?4、 不尽相异元素、定序问题倍缩法9、(1)7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 (2)10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法? (3)由4个A和3个B可以组成多少个7位字符信息?5、 分排问题“直排法”10、7个人坐两排座位,第一排3个人,第二排坐4个人,则不同的坐法有多少种?11、8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法六、重排问题方幂策略(住店、投邮、影射)12、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法13、某8层大楼从一楼电梯上来8名乘客人,他们 到各自的一层下电梯,则他们下电梯的方法有多少种?七.构造模型的策略14、10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个有多少装法?15、 方程a+b+c+d=12有多少组正整数解?八、排列组合混合问题先选后排策略16、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.17、一个班有6名战士,其中正副班长各1人,现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有_ 种九、.正难则反总体淘汰策略18、我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十、无编号平均分组问题除法策略19、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?20、10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 21、某校高二年级共有六个班级,现从外地转 入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 十一 化归策略 22、 25人排成55方队,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?23、某城市的街区由45条街道组成,从西南A走到东北B的最短路径有多少种?三、练习题组:1、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法?2、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法3.(1)在 这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为奇数的共有( ) (A)36个 (B)24个 (C)18个 (D)6个(2)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( ) (A)108种 (B)186种 (C)216种 (D)270种 (3)在数字1,2,3与符号+,-五个元素的所有全排列中,任意两个数字都不相邻的全排列个数是( ) A.6 B. 12 C. 18 D. 24 (4)高三(一)班学要安排毕业晚会的4各音乐节目,2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是( ) (A)1800 (B)3600 (C)4320 (D)50404.(1)用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答); (2)电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有 种不同的播放方式(结果用数值表示). 5.(1)将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习,每班至少1名,最多2名,则不同的分配方案有( ) (A)30种 (B)90种 (C)180种 (D)270种 (2)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) A.10种 B.20种 C.36种 D.52种 6.(1)某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有 种; (2)5名志愿者分到3所学校支教,每个学校至少去一名志愿者,则不同的分派方法共有 (A)150种 (B)180种 (C)200种 (D)280种 7、.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合-3,-2,-1,0,1,2,3中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数8、甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程,甲公司承包3项工程,乙公司承包1项,丙、丁各承包2项,问共有 种承包方式? 9、 停车场划出一排12个停车位置,今有8辆车需要停放,要求空位置连在一起,不同的停车方法有多少种?10、x+y+z+w=100求这个方程组的正整数解的组数11、.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,.有多少投法12、.正方体的8个顶点可连成多少对异面直线13、3个人坐在一排8个椅子上,若每个人左右两边都有空位,则坐法的种类有多少种?14(2008陕西,16)某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成。如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案

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