江苏省海安高级中学等三校2013届下学期高三联合考试(数学).doc

江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2013届高三联合考试注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共3页，包含填空题（共14题）、解答题（共6题），满分为160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。3 作答时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。数学开始输入nn4an n2NY输出an结束（第3题）an 2n 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合Ax|x0，Bx|x1，则AB 2已知x是实数，是纯虚数，则x的值是 3根据如图所示的流程图，当输入的正整数n的值为5时， 输出的an的值是 4若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线xy5下方的概率是 5如图所示的茎叶图记录了某运动员在某赛季一些场次的得分，0 91 0552 83 1（第5题）则该运动员的平均得分为 6不等式lg(x)x1的解集为 7底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为 m28在等比数列an中，a11，前n项和为Sn若数列Sn也是等比数列，则Sn等于 9已知函数f(x)kx33(k1)x2k21，若f(x)的单调减区间是(0，4)，则在曲线yf(x)的切线中，斜率最小的切线方程是 10若tana3tanb，且0ba，则ab的最大值为 （第12题）ABCDE11过双曲线1(a0，b0)的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C，若，则双曲线的离心率是 12ABC的面积为1，点D在AC上，DEAB，连结BD，设DCE、ABD、BDE中面积最大者的值为y，则y的最小值为 13在ABC中，若a2，bc1，ABC的面积为，则 14已知使函数f(x)x3ax21(0aM0)存在整数零点的实数a恰有3个，则M0的取值范围是 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知函数f(x)sincoscos2（1）若f(x)1，求cos(x)的值；（2）在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosCcb，求f(B)的取值范围FEOACBD16（本小题满分14分）如图，已知BC是半径为1的半圆O的直径，A是半圆周上不同于B，C的点，F为的中点梯形ACDE中，DEAC，且AC2DE，平面ACDE平面ABC求证：（1）平面ABE平面ACDE；（2）平面OFD平面BAE17（本小题满分14分）如图，将边长为3的正方形ABCD绕中心O顺时针旋转a (0a)得到正方形ABCD根据平面几何知识，有以下两个结论：AFEa；对任意a (0a)，EAL，EAF，GBF，GBH，ICH，ICJ，KDJ，KDL均是全等三角形（1）设AEx，将x表示为a的函数；（2）试确定a，使正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分面积最小，并求最小面积18（本小题满分16分）已知椭圆C：1(ab0)的离心率e，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2原点到直线A2B2的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.MxyTGPONA1A2B1B2F1F219（本小题满分16分）设数列an是一个公差不为零的等差数列，且a56（1）当a33时，请在数列an中找一项am(m5)，使a3，a5，am成等比数列；（2）当a31时，如果存在自然数m1，m2，mt，满足5m1m2mt，且a3，a5，am，am，am，构成一个等比数列，求a3的一切可能值；（3）在（2）中的a3取最小正整数值时，求证：20（本小题满分16分）设f(x)是定义在a，b上的函数，用分点T：ax0x1xi1xi xnb，将区间a，b任意划分成n个小区间，若存在常数M，使f(xi)f(xi1)|M恒成立，则称f(x)为a，b上的有界变差函数 （1）判断函数f(x)xcosx在p，p上是否为有界变差函数，并说明理由；（2）定义在a，b上的单调函数f(x)是否一定为有界变差函数？若是，请给出证明；若不是，请说明理由；（3）若定义在a，b上的函数f(x)满足：存在常数k，使得对于任意的x1，x2a，b，| f(x1)f(x2)|k|x1x2|证明：f(x)为a，b上的有界变差函数江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求4 本试卷共2页，均为非选择题（第2123题）。本卷满分为40分，考试时间为30分钟。考试结束后，请将答题卡交回。5 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B铅笔正确填涂考试号。6 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描 写清楚。 数学（附加题）21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤AEBCDO（第21A题）A选修41：几何证明选讲 如图，AB为半圆O的直径，点C在半圆O上方，连结AC交半圆O于点D，过点C作线段AB的垂线CE，垂足为E 求证：B，C，D，E四点共圆B选修42：矩阵与变换已知矩阵M，N（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标C选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，设O为极点，点为直线rcosq1与圆r2sinq的切点，求OP的长D选修45：不等式选讲已知：a，b，c都是正数，a2b3c9求证：【必做题】第22题、第23题，每题10分，共20分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，此时比赛结束设各局比赛相互之间没有影响令X为本场比赛的局数，求X的概率分布和数学期望23设P1，P2，Pj为集合P1，2，i的子集，其中i，j为正整数记aij为满足P1P2Pj的有序子集组(P1，P2，Pj)的个数（1）求a22的值； （2）求aij的表达式江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试数学参考答案及评分建议说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1x|0x1 21 3 32 4 518 6x|1x0 73 8912xy80 10 11 12 13 14，)二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角的正、余弦公式，正、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分14分解：（1）f(x)sincoscos2sincossin() 3分由f(x)1，可得sin()， 解法一：令q，则x2qcos(x)cos(p2q)cos2q2sin2q1 6分解法二：2kp，或2kp，kZ所以x4kp，或x4kp，kZ当x4kp，kZ时，cos(x)cos；当x4kp，kZ时，cos(x)cos()；所以cos(x) 6分（2）解法一：由acosCcb，得acb, 即b2c2a2bc，所以cosA 因为A(0，p)，所以A，BC 10分所以0B，所以，所以f(x)sin()(1，) 14分解法二：由acosCcb，得sinAcosCsinCsinB因为在ABC中，sinBsin(AC)，所以sinAcosCsinCsin(AC)，sinAcosCsinCsinAcosCcosAsinC，所以sinCcosAsinC，又因为sinC0，所以cosA因为A(0，p)，所以A，BC 10分所以0B，所以，所以f(x)sin()(1，) 14分16本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间 想象能力和推理论证能力满分14分证明：（1）因为平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ABCAC，AB平面ABC，又在半圆O中，ABAC 所以AB平面ACDE因为AB平面ABE，所以平面ABE平面ACDE 6分（2）设线段AC与OF交于点M，连结MDFEOACBDM因为F为的中点，所以OFAC，M为AC的中点 因为ABAC，OFAC，所以OFAB 又OF平面BAE，AB平面ABE，所以OF平面BAE 8分因为M为AC的中点，且DEAC，AC2DE，所以DEAM，且DEAM所以四边形AMDE为平行四边形，所以DMAE又DM平面BAE，AE平面ABE，所以DM平面BAE 11分又OF平面BAE，MDOFM，MD平面OFD，OF平面OFD，所以平面OFD平面BAE 14分17本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力满分14分解：（1）在RtEAF中，因为AFEa，AEx，所以EF，AF 由题意AEAEx，BFAF，所以ABAEEFBFx3所以x，a(0，) 6分 （2）SAEFAEAFx()2 9分 令tsinacosa，则sinacosa 因为a(0，)，所以a(，)，所以tsin(a)(1， SAEF(1)(1) 正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分面积 SS正方形ABCD4SAEF99 (1)18(1) 当t，即a时等号成立 14分答：当a时，正方形ABCD与正方形ABCD重叠部分面积最小，最小值为18(1)MxyTGPONA1A2B1B2F1F218本题主要考查椭圆的标准方程及简单性质、平面向量的坐标运算及直线和圆等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力满分16分（1）因为椭圆C的离心率e，故设a2m，cm，则bm直线A2B2方程为 bxayab0，即mx2my2m20所以 ，解得m1所以 a2，b1，椭圆方程为y21 5分（2）由得E(，)，F(，) 又F2(，0)，所以(，)，(，)， 所以()()()0 所以EF2F是锐角 10分（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0，1),设P(x0，y0), 直线PA1：y1x，令y0,得xN； 直线PA2：y1x，令y0,得xM；解法一:设圆G的圆心为()，h),则r2()2h2()2h2OG2()2h2OT2OG2r2()2h2()2h2而y021，所以x024(1y02)，所以OT24，所以OT2,即线段OT的长度为定值2. 16分解法二:OMON|()|,而y021，所以x024(1y02)，所以OMON4由切割线定理得OT2OMON4所以OT2,即线段OT的长度为定值2. 16分19本题主要考查等差，等比数列的概念、通项公式与求和公式等基础知识，考查运算求解、分析探究的能力，综合思维能力满分16分（1）因为a52a3am，所以am12 设数列an的公差为d 则ama3(m3)d3(m3)12， 所以m9 5分（2）因为数列an是一个公差不为零的等差数列，且a56， 所以ama3(mt3)( mt5，mtN*) 又 ama3()t1， 故 a3()t1a3(mt3)，即 (mt3)，故 (mt3)由a3a5，所以a36mt52()t()t1()，tN*当t1时，m1525由m1N*，且a31，则1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 当t2时，m252()2，所以为奇数时，m2不为整数，不符合所以，2，4，6，8，10从而a36，3，2，又因为数列an是一个公差不为零的等差数列，且a36所以a33，2，经检验均满足题意 12分（3）由（2）以及a3取最小整数，可得a32，mt52(3t3t13)523t12()，()() 16分20本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查阅读理解能力，灵活运用化归 与转化思想进行分析、探究及推理论证的能力满分16分（1）易得f(x)1sinx0，xp，p， 所以f(x)xcosx为区间p，p上的单调增函数， 故当xi1xi时，总有f(xi1)f(xi)， 此时，f(xi)f(xi1)|f(xi)f(xi1)f(xn)f(x0)f(p)f(p)2p 所以函数f(x)xcosx在上为有界变差函数； 5分 （2）因为函数f(x)为区间p，p上的单调函数， 所以当xi1xi时，总有f(xi1)f(xi)（或f(xi1)f(xi)）， 7分 故f(xi)f(xi1)|f(xi)f(xi1)|f(xn)f(x0)| f(b)f(a)| 故存在常数M|f(b)f(a)|，使得f(xi)f(xi1)|M恒成立， 所以定义在a，b上的单调函数f(x)为有界变差函数； 10分 （3）因为存在常数k，使得对于任意的x1，x2a，b，| f(x1)f(x2)|k|x1x2| 所以f(xi)f(xi1)|xixi1|k(ba) 14分 故存在常数Mk(ba)，使得f(xi)f(xi1)|M恒成立，所以f(x)为a，b上的有界变差函数 16分江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2012届高三联合考试 数学参考答案及评分建议21A选修41：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力满分10分AEBCDO（第21A题） 证明：如图，连结BD， 因为AB为半圆O的直径， 所以ADB为直角，即有CDB为直角， 4分 又CE为线段AB的垂线， 所以CEB为直角，所以CDBCEB 8分 故B，C，D，E四点共圆 10分B选修42：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的乘法及变换，考查运算求解能力满分10分（1）MN ； 5分 （2）设P(x，y)，则解法一： ，即 解得即P(，1) 10分 解法二： 因为所以 即P(，1) 10分C选修44：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程与普通方程的互化等基础知识，考查运算求解能力满分10分解：将直线rcosq1化为直角坐标方程得x1， 3分将圆r2sinq化为直角坐标方程得x2(y1)21， 7分易得切点P的坐标为 (1，1)，所以OP 10分D选修44：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分10分证明：因为a，b，c都是正数，所以(a2b3c)()()21 8分因为a2b3c