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第1章现代光学的数学物理基础ScalarAngle SpectrumTheoryofDiffraction 光场随时间的变化关系 由频率n表征 单色光场中某点P x y z 在时刻t的光振动可表为 u P t a P cos 2pnt j P 可见光 n 1014Hz严格单色光 n为常数 光场随空间的变化关系体现在 1 空间各点的振幅可能不同 2 空间各点的初位相可能不同 由传播引起 光场变化的空间周期为l 光场变化的时间周期为1 n 由于u P t 必须满足波动方程 可以导出a P n j P 必须满足的关系 1 1光波场的复振幅描述1 光振动的复振幅和亥姆霍兹方程 1 1光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示 光场随时间的变化e j2pnt不重要 u P t a P cos 2pnt j P e a P e j 2pnt j P n 1014Hz 无法探测n为常数 线性运算后亦不变 对于携带信息的光波 感兴趣的是其空间变化部分 故引入复振幅U P 为了导出a P n j P 必须满足的关系 将光场用复数表示 以利于简化运算 e a P ejj P e j2pnt 复数表示有利于将时空变量分开 U P a P ejj P 则u P t e U P e j2pnt 1 1光波场的复振幅描述亥姆霍兹 Helmholtz 方程 可导出复振幅满足的方程为 将U P exp j2pnt 代入波动方程 即亥姆霍兹 Helmholtz 方程 不含时间的波动方程 称为波数或传播常数 表示单位长度上产生的相位变化 在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足亥姆霍兹方程 也就是说 可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场 1 1光波场的复振幅描述光振动的复振幅表示 说明 U P 是空间点的复函数 描写光场的空间分布 与时间无关 U P a P ejj P U P 同时表征了空间各点的振幅 U P a P 和相对位相arg U j P 方便运算 满足叠加原理 实际物理量是实量 要恢复为真实光振动 u P t e U P exp j2pnt 即可 1 1光波场的复振幅描述2 球面波的复振幅表示 点光源或会聚中心 球面波 等相面为球面 且所有等相面有共同中心的波 k k 2p l 为波数 表示由于波传播 在单位长度上引起的位相变化 也表明了光场变化的 空间频率 则P点处的复振幅 j P k rk 传播矢量球面波 k r a0 单位距离处的光振幅 1 1光波场的复振幅描述会聚球面波 会聚球面波 1 1光波场的复振幅描述球面波 空间分布 距离r的表达 若球面波中心在原点 若球面波中心在S x0 y0 z0 光波场的复振幅描述球面波 在给定平面的分布 以系统的光轴为z轴 光沿z轴正方向传播 所考察的平面垂直于z轴 令点光源位于z 0的平面上坐标 x0 y0 处 考察与其距离为z的x y平面上的光分布 需要作近轴近似 光波场的复振幅描述球面波 近轴近似 只考虑x y平面上对源点S张角不大的范围 即 可以作泰勒展开 1 D 1 2 1 D 2 1 1光波场的复振幅描述二 球面波 近轴近似 已将球面波中心取在z 0的平面 且光波沿z轴正方向传播 如果z 0 上式代表从S发散的球面波 如果z 0 上式代表向S会聚的球面波 球面波中心在原点 x y平面上等位相线方程为 光波场的复振幅描述3 平面波的复振幅表示 等相面为平面 且这些平面垂直于光波传播矢量k 等相平面的法线方向k kcosa kcosb kcosg k的方向余弦均为常量 光波场的复振幅描述3 平面波的复振幅表示 等相面为平面 且这些平面垂直于光波传播矢量k 以k表示的等相平面方程为k r const 故平面波复振幅表达式为 光波场的复振幅描述3 平面波 在给定平面的分布 在x y平面上的等位相线xcosa ycosb const为平行直线族 在与原点相距为z的平面上考察平面波的复振幅 光波场的复振幅描述4 平面波的空间频率 在与原点相距为z的平面上考察平面波的位相分布 等位相线是平行直线族 为简单计 先看k在x z平面内 cosb 0 等位相面是平行于y轴的一系列平面 间隔为l 等位相面与x y平面相交形成平行于y轴的直线 复振幅分布 光波场的复振幅描述四 平面波的空间频率 复振幅分布 定义复振幅分布在x方向的空间频率 光波场的复振幅描述平面波的空间频率 一般情形 定义 复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率 若波矢在x z平面或y z平面中 a b 又常用它们的余角qx qy 表示 故 光波场的复振幅描述平面波的空间频率 信息光学中最基本的概念 单位振幅的单色平面波 波矢量k与x轴夹角为30 与y轴夹角为60 1 画出z z1平面上间隔为2p的等相线族 并求出Tx Ty T和fx fy和f 2 画出y y1平面上间隔为2p的等相线族 并求出Tx Tz和fx fz 练习1 光波场的复振幅描述平面波的空间频率 信息光学中最基本的概念 如果平面波传播方向在xz平面 或yz平面 与z轴夹角为q 则此平面波复振幅沿x方向 或y方向 的空间频率为 光波场的复振幅描述平面波的空间频率 信息光学中最基本的概念 光波场的复振幅描述平面波的空间频率 信息光学中最基本的概念 空间频率的单位 cm 1 mm 1 周 mm 条数 mm等 空间频率的正负 表示传播方向与x 或y 轴的夹角小于或大于90 在给定的座标系 任意单色平面波有一组对应的fx和fy 它仅决定于光波的波长和传播方向 反之 给定一组fx和fy 对于给定波长的单色平面波就能确定其传播方向cosa l fx cosb l fy 要与光的时间频率严格区分开 空间比时间更具体 更直观 是有形的 光波场的复振幅描述平面波的空间频率 信息光学中最基本的概念 这样平面波的复振幅即平面波方程可以写为 三个空间频率不能相互独立 因此 在任一距离