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三角形中的三角函数 三角形中的有关公式 1 内角和定理 三角形三内角之和为 即A B C 注任意两角和与第三个角总互补 任意两半角和与第三个角的半角总互余 锐角三角形 三内角都是锐角 任两角和都是钝角 设 ABC中 角A B C的对边为a b c 任意两边的平方和大于第三边的平方 三内角的余弦值为正值 注正弦定理的一些变式 1 a b c sinA sinB sinC 3 a 2RsinA b 2RsinB c 2RsinC 已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时 务必注意可能有两解 4 射影定理 a bcosC ccosB 应用一 解三角形 例1设 ABC的三内角A B C成等差数列 三边长a b c的倒数也成等差数列 求三内角 例3在 ABC中 若面积为S 且2S a b 2 c2 求tanC的值 A B C 60 提示 令A C 2 可得 4cos2 3cos 1 0 得 cos 1 得 A C A 60 B 30 C 90 应用举例 应用二 判断三角形的形状 例1 ABC中 若sin2Acos2B cos2Asin2B sin2C 判断 ABC的形状 直角三角形 例4在 ABC中 已知 a2 b2 sin A B a2 b2 sinC 试判断三角形的形状 例5在 ABC中 若a2sin2B b2sin2A 2abcosAcosB 1 试判断三角形的形状 2 若cosB 4 1 cosA 求 ABC三边a b c的比 直角三角形或等腰三角形 正三角形 直角三角形或等腰三角形 直角三角形 8 15 17 应用三 三角形的证明 提示 1 法一 边换角 法二 角换边 2 法一 边换角 法二 角换边 法三 构造图形 3 作差换c2即可 差为 2 a2 b2 4absin C 30 2 a2 b2 4ab 2 a b 2 0 正三角形时取等号 证 由余弦定理知 cosA cosB cosC为有理数 cos5 即 cosC为有理数 而cos cos A B cosAcosB sinAsinB 证明sinAsinB为有理数即可 由正弦定理可证 或由cos cos5 cos 3 2 cos 3 2 cos23 cos22 sin23 sin22 cos23 cos22 1 cos23 1 cos22 cos2Acos2B 1 cos2A 1 cos2B 为有理数 且cos 0 cos5 为有理数知 cos 为有理数 例2已知 ABC的三边均为有理数 A 3 B 2 试证cos5 与cos 均为有理数 C 2 在 ABC中 A B是sinA sinB成立的 条件 充要 课后练习 3 在 ABC中 1 tanA 1 tanB 2 则log2sinC 4 ABC中 a b c分别是角A B C所对的边 若 a b c sinA sinB sinC 3asinB 则 C 60 30 8 在 ABC中 AB 1 BC 2 则角C的取值范围是 45 60 B 90 0 A 45 或135 A 180 A B 180 0 A 45 cosC cos A B sinAsinB cosAcosB 解 1 a c a c b b c b2 c2 a2 bc 12 已知 ABC的三个内角A B C成等差数列 求cosAcosC的取值范围 解 ABC的三个内角A B C成等差数列 2B A C且A B C 180 B 60 C 120 A cosAcosC cosAcos 120 A cosAcos120 cosA cosAsin120 sinA 0 A