（专题密卷）河北省衡水中学高考数学 万卷检测 计数原理.doc

计数原理本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。第i卷一、 选择题1.如图,用四种不同颜色给图中的a.b.c.d.e.f六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( ). a.288种 b.264种 c.240种 d.168种2.如图,四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品,有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共项点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的,现打算用编号为.的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( ) a.96 b. 48 c.24 d.03.用6种不同的颜色把图中a.b.c.d四块区域分开，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的途法共有（）a.400种b.460种c.480种d.496种4.红蓝两色车.马.炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中每对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（ ）(a) 36种 (b) 60种 (c) 90种 (d)120种5.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则的最小值为（ ）（a）6 （b）7 （c）8 （d）96.现安排甲.乙.丙.丁.戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译.导游.礼仪.司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲.乙不会开车但能从事其他三项工作，丙.丁.戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）a.152 b.126 c.90 d.547.在集合1，2，3，4，5中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量a(a,b).从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形。记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过的平行四边形的个数为m,则等于（）. b. c. d.8.已知的展开式中的系数为，则（a） （b） （c） （d）第卷二、填空题9. 的二项展开式中的常数项为 .10.用n种不同的颜色为下列两块广告牌着色，要求abcd四个区域中相邻的区域不用同一颜色.（1）若n=6,则为图着色的不同方法共有 种;(2)若为图着色时共有120种不同的方法,则n= . 11.某工程队有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是 .(用数字作答)12.36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为，所以36的所有正约数之和为参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为 三、解答题13.已知集合a=,b是a的子集，且b中元素满足下列条件：数字两两不相等，任意两数字之和不等于9.试求：（）b中有多少个两位数？有多少个三位数？（）b中是否有五位数？是否有六位数？（）将b中的元素从小到大排列，第1081个元素是多少？14.某乒乓球培训班共有n位学员，在班内双打训练赛期间，每两名学员都作为搭档恰好参加过一场双打比赛。试确定的所有可能值并分别给出对应的一种安排比赛的方案。15.已知函数，其中a是非零实数，。（1）求的单调区间；（2）若，设证明：；（3）若有极小值，且，证明：。16.规定，其中x=r,m是正整数，且，这是组合数（n.m是正整数，且mn）的一种推广。（1）求的值；（2）组合数的两个性质：；是否都能推广到（xr,m是正整数）中？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由；（3）已知组合数是正整数，证明：当xz,m是正整数时，z.计数原理单项选择题1.b2.b 解析:由题意分析,如图, 先把标号为1.2.3.4的化工产品分别放入.的4个仓库内,共有=24种放法;再把标事情为5.6.7.8的化工产品对应地按要求安全存放:7与1放一起,8与2放一起,5与3放一起,6与4放一起;或者6与1放一起,7与2放一起,8与3放一起,5与4放一起,有两种放法.综上所述:共有2=48种放法.故选b.3.c 4.c5.b6.b 解析:依题意得,这四项工作中必有一项工作有2人参与,就司机这项工作的实际参与人数进行分类:第一类,司机这项工作的实际参与人数恰 有1人,满足题意的方法有=108(种)(注: 表示从除甲.乙外的3人中任选1人从事司机工作的方法数; 表示从除司机工作外的其余3项工作中任选定1项,让该项工作有2人从事的方法;表示从余下的2人中选1人从事余下的两项工作之一的方法数);第二类,司机这项工作的实际参与人数恰有2人,满足题意的方法有=18(种)(注:表示从除甲.乙外的3人中任选2人从事司机工作的方法娄;表示余下的3人分别从事另外3项不同工作的方法数).因此,满足题意的方法有108+18=126(种),选b.7.解析：由题意知所有向量有=6个，故所有平行四边形个数有=15个.而由列举作图可知当4时，平行四边形个数有个.如(2,1)与(4,1),(2,1)与(2,3),(2,1)与(2,5),(2,3)与(2,5),(2,3)与(4,3)共5组.8.d 填空题9.1510.(1)480 (2)5 解析(1)对区域abcd按顺序着色,则由分步乘法计数原理得共有6544=480种方法.(2)与第(1)问的区别在于与d相邻的区域由2块变成了3块.同样利用分步乘法计数原理,得n(n-1)(n-2)(n-3)=120.所以(n2-3n)(n2-3n+2=120),即(n2-3n)+2(n2-3n)-1210=0,所以n2-3n-10=0, n2-3n+12=0(舍去),解得n=5,n=-2(舍去).11.20 解析:解法一:设6项工程自左至右占据16的6个不同位置.由于工程丙.丁必须相邻且工程丁在工程丙之后,工程丙.丁都在工程甲.乙之后,因此工程丙.丁的位置有以下3类:第一类:工程丙.丁占据3.4位置,则1.2位置分别由工程甲.乙占据,剩余5.6两个位置可由剩余的2项工程占据,共有(+1)=6种排法;第三类:工程丙.丁占据5.6位置,共有(+1)=12种排法.由分类加法计数原理,共有2+6+12=20种不同的排法.解法二:由题意,由于丁必须在丙完成后立即进行,故可把丙.丁视为一个大元素,选不管其他限制条件使其与其他四个元素排列共有种排法.在所有的这些排法中,考虑甲.乙.丙相对顺序共有种,故满足条件的排法种数为=20.12.4836 解答题13.我们将和为9的数字两两配对：。显然，b中的元素不能同时含有任意一对数字中的两个数字。（1）b中的两位数，十位数字有1.2.3.9，共9种选择；十位数字选定后，个位数字有8种选择。所以，b中的两位数共有=72个；b中的三位数，百位数字有1.2.3.9，共有9种选择；百位数字选定后，十位数字有8种选择；百十位选定后，个位数字还有6种选择.所以，b中的三位数字共有=432个。（2）b中存在五位数，比如12340既满足条件，为b中的一个元素。b中不存在六位数。因为。每对中的两个数字之和为9，所以b中元素在每对中最多只能去一个数字，即最多只能取五个数字。因此最多为五位数，不能为六位数。（3）b中二位数，三位数共有72+432=504.。b中的四位数，千位数字有1.2.3.9，共9种选择；千位数字选定后，百位数字有8种选择；千.百位数字选定后，十位数字有六种选择；千.百.十位数字选定后，个位数字还有四种选择。所以，b中的三位数字共有=1728个。所以b中元素从小到大排列，第1084个元素为四位数，且为四位数中第1084-504=577个。b中四位数，千位数字为1的共有=192个；千位数字为2的共有=192个；千位数字为3的共有=192个。而192+192+192=576，所以b中第1081各元素为千位数字是4的，满足题设条件的最小四位数，显然为4012.14.假设比赛了k场，那么由题目假设，一场比赛出现了2对队友，所以，也就是说4k=n(n-1)，那么得到n=4l或者4l+1,期中，下边证明，对于任意的n=4l，或者4l+1,其中,都可以构造出满足要求的比赛：n=4l+1,的时候，对于l使用数学归纳法：（1） 当l=1的时候，n=5，此时假设这5名选手为a,b,c,d,e,那么如下安排比赛即可，ab-cd,ac-be,bc-de,ae-bd,ad-ce.（2） 设当l=m时结论成立，则l=m+1时，设4m+5选手为a,b,c,d,e由归纳假设，可以安排e, 之间的比赛，使得他们之间每两位选手的作为队友恰好只参加过一次比赛，还剩下a,b,c,d，e,相互的比赛和a,b,c,d与之间的比赛，a,b,c，d与之间的比赛安排如下：a与b,a与b,c与d,c与d,满足要求。最后将这些比赛总计起来，就是满足要求的4m+5位选手之间的的比赛了。由数学归纳法得证，n=4l时，对l使用数学归纳法，可以类似方法证明（略）。综上所述，n的所有可能取值是n=4l或4l+1，其中.15.解答：（1）当a0时，为对勾函数。在单调递增