人教A版必修2 4.1.2 圆的一般方程 课件（21张）.ppt

4 1 2圆的一般方程 1 正确理解圆的一般方程及其特点 2 能进行圆的一般方程和标准方程的互化 3 会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程 1 2 3 用 待定系数法 求圆的方程的大致步骤 根据题意 选择标准方程或一般方程 根据条件列出关于a b r或d e f的方程组 解出a b r或d e f 代入标准方程或一般方程 1 2 归纳总结1 圆的一般方程的特点 1 x2 y2项的系数相等且不为零 如果x2 y2项的系数为不是1的非零常数 只需在方程两边同时除以这个数 系数就可变为1 2 没有xy项 3 d2 e2 4f 0 2 关于x y的二元二次方程ax2 by2 cxy dx ey f 0表示圆的条件是 1 a b 0 2 c 0 3 d2 e2 4af 0 1 2 做一做1 1 圆x2 y2 2x 4y 0的圆心坐标是 a 1 2 b 1 2 c 1 2 d 1 2 1 2 做一做1 2 圆x2 y2 6x 8y 0的半径等于 a 3b 4c 5d 25 1 2 2 轨迹方程点m的坐标 x y 满足的关系式称为点m的轨迹方程 知识拓展当动点m的变化是由点p的变化引起的 并且点p在某一曲线c上运动时 常用中间量法 又称为相关点法 来求动点m的轨迹方程 其步骤是 1 设动点m x y 2 用点m的坐标来表示点p的坐标 3 将所得点p的坐标代入曲线c的方程 即得动点m的轨迹方程 1 2 做一做2 已知点p x0 y0 是圆x2 y2 4上的动点 点m是op o是原点 的中点 则动点m的轨迹方程是 答案 x2 y2 1 1 2 1 圆的标准方程和一般方程的对比剖析 1 由圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 r 0 可以直接看出圆心坐标 a b 和半径r 圆的几何特征明显 2 由圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程 圆的代数特征明显 3 相互转化 如图所示 1 2 2 由圆的一般方程判断点与圆的位置关系剖析 已知点m x0 y0 和圆的方程x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 则其位置关系如下表 题型一 题型二 题型三 例1 判断关于x y的方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0能否表示圆 若能表示圆 求出圆心坐标和半径 解法一 由方程x2 y2 4mx 2my 20m 20 0 可知d 4m e 2m f 20m 20 则d2 e2 4f 16m2 4m2 80m 80 20 m 2 2 当m 2时 d2 e2 4f 0 原方程表示一个点 当m 2时 d2 e2 4f 0 原方程表示圆的方程 此时 圆的圆心坐标为 2m m 半径为r 题型一 题型二 题型三 解法二 原方程可化为 x 2m 2 y m 2 5 m 2 2 当m 2时 原方程表示一个点 当m 2时 原方程表示圆的方程 此时 圆的圆心坐标为 2m m 半径为 反思形如x2 y2 dx ey f 0的二元二次方程 判定其是否表示圆时有如下两种方法 1 由圆的一般方程的定义判断d2 e2 4f是否为正 若d2 e2 4f 0 则方程表示圆 否则不表示圆 2 将方程配方变形成 标准 形式后 根据圆的标准方程的特征 观察是否可以表示圆 题型一 题型二 题型三 变式训练1 若关于x y的方程x2 y2 2mx 2y m2 5m 0表示圆 求 1 实数m的取值范围 2 圆心坐标和半径 解 1 根据题意知d2 e2 4f 2m 2 2 2 4 m2 5m 0 即4m2 4 4m2 20m 0 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思当给出的条件与圆心坐标 半径有关 或者由已知条件容易求得圆心坐标和半径时 一般用圆的标准方程比较方便 否则 用圆的一般方程较好 特别是当给出圆上的三点坐标时 用一般方程可以得到关于d e f的三元一次方程组 这比用圆的标准方程简便得多 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例3 等腰三角形的顶点是a 4 2 底边一个端点是b 3 5 求另一个端点c的轨迹方程 并说明它的轨迹是什么 解 设另一端点c的坐标为 x y 依题意 得 ac ab 由两点间的距离公式 得 这是以点a 4 2 为圆心如图所示 又因为a b c为三角形的三个顶点 所以a b c三点不共线 即点b c不能重合且b c不能为圆a的一条直径的两个端点 题型一 题型二 题型三 因为点b c不能重合 所以点c不能为 3 5 又因为点b c不能为一条直径的两个端点 题型一 题型二 题型三 反思1 求轨迹方程的三种常用方法 1 直接法 根据题目条件 建立平面直角坐标系 设出动点坐标 找出动点满足的条件 然后化简 证明 2 定义法 动点的运动轨迹符合圆的定义时 可利用圆的定义写出动点的轨迹方程 3 代入法 若动点p x y 依赖于某圆上的一个动点q x1 y1 而运动 先把x1 y1用x y表示 再将点q的坐标代入到已知圆的方程中 得出点p的轨迹方程 题型一 题型二 题型三 2 求曲线的轨迹方程要注意以下三点 1 根据题目条件 选用适当的求轨迹方程的方法 2 看准是求轨迹 还是求轨迹方程 轨迹是轨迹方程所表示的曲线 图形 3 检