高三年级质量调研数学试卷 标准答案1104B.doc

2010学年度第二学期普陀区高三质量调研数学试卷参考答案 201104一、填空题（满分56分）：1. ； 2. 理：3； 文：； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. 32； 8. 理：-6；文：5； 9. 或； 10. 理：；11. ；12. 理：；文：； 13. 理：（2，2012）；文：； 14. 1028.二、选择题（满分20分）： 题号15161718答案CCDA三、解答题： 19.（本题满分12分）解法一：因为 ，得 ，所以 . 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根， 因为，故所求的一个一元二次方程可以是.解法二：设，则 ， ，以下解法同解法一.20.（本题满分14分）解：争议的原因是收费标准中对于“每小时按加价50%收费”的含义出现了歧义。以下给出三种不同的理解：解释一：第一小时为10元，以后每小时都为15元.14小时总收费为：元；解释二：第一小时为10元，以后每小时都比前一小时增加5元.可以理解为等差数列求和，则14小时总收费为元.解释三：第一小时为10元，以后每小时都增加50%.可以理解为等比数列求和，则14个小时的收费为元.【说明】以上三种解释中能任意给出两种即可得满分.21. （本题满分14分）（理科）解：（1）以点为坐标原点，射线分别为的正半轴建立空间直角坐标系如图示，点、，则，.设异面直线与所成角为第21题图xyz,所以异面直线与所成角大小为.（2）假设在线段上存在一点满足条件，设点，平面的法向量为，则有 得到，取，所以，则，又，解得，所以点即，则.所以在线段上存在一点满足条件，且长度为.（文科）解：(1)由题意，当时，此时，都为单位向量.故，所以.(2) 由条件因为向量和向量共线，所以，因为，所以.于是，设向量和的夹角为则，即向量和的夹角为.22.（本题满分16分）（理科，同文科23题）解：（1）由得，则，任取，都有，则该函数为奇函数.（2）任取，则有，.又，所以，即，故函数在区间上单调递减.（3）由程序框图知，公差不为零的等差数列要满足条件，则必有。由（1）知函数是奇函数，而奇函数的图像关于原点对称，所以要构造满足条件的等差数列，可利用等差数列的性质，只需等差数列满足：且即可.我们可以先确定使得，因为公差不为零的等差数列必是单调的数列，只要它的最大项和最小项在中，即可满足要求. 所以只要对应的点尽可能的接近原点.如取，存在满足条件的一个等差数列可以是. 【说明】本问题结论开放. 我们可以将问题解决的方法一般化.设，若，可得.而由题意，需（）.同理，若，则需.（文科） （1）证法一：由题意，原点必定在圆内，即点代入方程的左边后的值小于0，于是有，即证.证法二：由题意，不难发现、两点分别在轴正负半轴上. 设两点坐标分别为， ，则有. 对于圆方程，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有.因为，故.（2）不难发现，对角线互相垂直的四边形面积，因为，可得.又因为，所以为直角，而因为四边形是圆的内接四边形，故. 对于方程所表示的圆，可知，所以.（3）证：设四边形四个顶点的坐标分别为，. 则可得点的坐标为，即.又，且，故要使、三点共线，只需证即可.而，且对于圆的一般方程，当时可得，其中方程的两根分别为点和点的横坐标，于是有.同理，当时，可得，其中方程的两根分别为点和点的纵坐标，于是有.所以，即. 故、必定三点共线.23. （本题满分18分）（理科）解：（1）因为对角线互相垂直的四边形面积，而由于为定长，则当最大时，四边形面积取得最大值. 由圆的性质，垂直于的弦中，直径最长，故当且仅当过圆心时，四边形面积取得最大值，最大值为.（2）解法一：由题意，不难发现，当点运动到与圆心重合时，对角线和的长同时取得最大值，所以此时四边形面积取得最大值，最大值为.解法二：设圆心到弦的距离为，到弦的距离为，的距离为.则，且.可得又，当且仅当时等号成立.所以，当且仅当时等号成立.又因为点在圆内运动，所以当点和圆心重合时，此时，故此时四边形的面积最大，最大值为.不难发现，此时该四边形是圆内接正方形，对角线交点与圆心重合.（3）类比猜想1：若对角线互相垂直的椭圆内接四边形中的一条对角线长确定时，当且仅当另一条对角线通过椭圆中心时，该椭圆内接四边形面积最大.类比猜想2：当点在椭圆中心时，对角线互相垂直的椭圆内接四边形的面积最大.以上两个均为正确的猜想，要证明以上两个猜想，都需先证：椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大.证：设椭圆的方程为（），平行弦的方程为，联立可得不妨设、，则 由于平行弦的斜率保持不变，故可知当且仅当时，即当直线经过原点时，取得最大值（*）.特别地，当斜率不存在时，此结论也成立.由以上结论可知，类比猜想一正确。又对于椭圆内任意一点构造的对角线互相垂直的椭圆内接四边形，我们都可以将对角线平移到交点与椭圆中心重合的椭圆内接四边形,而其中,所以必有.即证明了猜想二也是正确的.n 类比猜想3：当点在椭圆中心，且椭圆内接四边形的两条互相垂直的对角线恰为椭圆长轴和短轴时，四边形面积取得最大值.要证明此猜想，也需先证“椭圆内的平行弦中，过椭圆中心的弦长最大.”在此基础上，可参考以下两种续证方法.证法一：当点在椭圆中心时，不妨设对角线所在直线的斜率为.（i）当时，即为椭圆长轴，又，故是椭圆的短轴. 所以此时椭圆内接四边形的面积为.（ii）当时，对角线的斜率为.由此前证明过程中的（*）可知，,若将代换式中的，则可得弦的长度，.所以，由，则，综上（i）和（ii），故可证明猜想三正确.证法二：如图，四边形对角线交点与椭圆中心重合.y由对