第三章++++点、直线、平面的投影.ppt

第三章点 线 面的投影 3 2点的投影 3 3线的投影 3 1投影法及三视图的形成 3 4平面的投影 3 1投影法及三视图的形成 投影法 就是投射线通过物体 向选定的面透射 并在该面上得到图形的方法 透射中心就是所有透射线的起源点 投射线就是发自透射中心且通过被表示物体上各点的直线 投影面就是投影法中得到投影的面 投影 投影图 就是根据投影所得到的图形 3 1 1概述 一 中心投影法投射线都从透射中心出发的投影称为中心投影 3 1 2投影法的分类 中心投影法 投射线 投射中心 投影面 投影 物体位置改变 投影大小也改变 1 正投影法投射线与投影面相互垂直的平行投影法 机械图样主要用正投影因为这种投影图能正确地表达物体的真实形状和大小 作图比较方便 二 平行投影法投射线相互平行的投影法 也称为平行投影法 平行投影法又分为 投射线与投影面相倾斜的平行投影法 斜投影法常用于绘制械零件的立体图 特点是直观性强 但作图比较麻烦 2 斜投影法 平行投影法 斜投影法 正投影的基本特性 1 真实性平行于投影面的直线或平面图形 在该投影面上的投影反映线段的实长或平面图形的真形 即真实性 2 积聚性垂直于投影面的直线或平面图形 在投影面上积聚成一点或一直线 即积聚性 3 类似性直线或平面图形倾斜于投影面 它们在投影面上的投影长度缩短或是一个比是实形小 但形状相似 边数相等的图形 即类似性 多面正投影 物体在互相垂直的两个或多个投影面所得到的正投影称为多面正投影 当投影面和投影方向确定时 空间点A在投影面上只有唯一的投影a 但只凭点B的一个投影b 不能确定点B的空间位置 物体的一个投影往往不能维一地确定物体的形状 因此 通常将物体向两个或两个以上互相垂直的投影面进行正投影 如下图所示 当物体在互相垂直的两个或多个投影面得到正投影后将这些投影面旋转展开到同一图面上 使该物体的各正投影图有规则地配置 并相互之间形成对应关系 1 投影面 正面投影面 简称正面或V面 水平投影面 简称水平面或H面 侧面投影面 简称侧面或W面 2 投影轴 OX轴V面与H面的交线 OZ轴V面与W面的交线 OY轴H面与W面的交线 三个投影面互相垂直 3 1 3三视图的形成 1 三面投影体系 Y X Z O 规定 V面保持不动 H面向下向后绕OX轴旋转900 W面向右向后绕OZ轴旋转900 2 三视图的形成 用正投影法在一个投影面上绘制的物体的图形只能反映物体的一个方向的形状因此 常用三视图来表达 主视图 将物体由前向后向正投影面投影得到的视图 俯视图 将物体由上向下向水平投影面投影得到的视图左视图 将物体由左向右向侧投影面投影得到的视图 3 三视图投影关系物体有长 宽 高三个方向尺寸 主视图反映物体的长 高尺寸 俯视图反映物体的长 宽尺寸 左视图反映物体的宽 高尺寸 根据三视图之间的投影关系 归纳以下三条投影规律 主 俯视图长对正 主 左视图高平齐 俯 左视图宽相等 2 三视图之间的方位对应关系 主 俯视图长对正 即长度相等 并互相对正 主 左视图高平齐 即高度相等并相互平齐 俯 左视图宽相等 宽相等 表现为俯视图的竖直方向与左视图的水平方向相对应 即 竖对横 长对正 高平齐 宽相等 是三视图之间的投影规律 是画图和读图的重要依据 三视图的投影规律 过空间点A的投射线与投影面P的交点即为点A在P面上的投影 一 点在一个投影面上的投影 a 3 2点 线 面的投影 3 2 1点的三面投影 点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置 二 点在两投影面体系中的投影 如图 设立两个相互垂直的的正投影面V面和水平投影平面H面 组成了两投影面体系 V面和H面的交线称X轴 两投影面将空间划分为四个分角 这里只介绍第一分角中的投影 1 两投影面体系的引入 2 点在两投影面体系中的投影规律 点的正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴 点的正面投影到OX轴的距离 反映该点到H面的距离 点的水平投影到OX轴的距离 反映该点到V面的距离 点的水平投影在OX轴下方 上方 表示空间该点在V面的前方 或后方 点的正面投影在OX轴的上方 或下方 表示空间该点在H面的上方或 下方 1 空间点A在三个投影面上的投影 空间点用大写字母表示 点的投影用小写字母表示 三 点在三投影面体系中的投影 三 点在三投影面体系中的投影 点的三面投影体系是在两投影面体系的基础上 再增加一个侧立投影面W构成的 过空间任一点A向三个投影面做垂线 求得点A三个投影面上的投影 利用三个投影面上投影 可以唯一确定点A在空间的位置 点的三面投影动画演示 点的三面投影和坐标的关系为 水平投影a反映A点X和Y的坐标 正面投影a 反映A点X和Z的坐标 侧面投影a 反映A点Y和Z的坐标 aax a az y A到V面的距离 a ax a ay z A到H面的距离 aay a az x A到W面的距离 X Y Z O V H W A a a a 向右翻 向下翻 不动 2 投影面展开 X Y Z O V H W A a a a 3 2 2 点的投影规律 a a OX轴 aax a az y A到V面的距离 a ax a ay z A到H面的距离 aay a az x A到W面的距离 a a OZ轴 例 已知点的两个投影 求第三投影 a a ax az az 解法一 通过作45 线使a az aax 解法二 用分规直接量取a az aax d d e e f f e f d z x YW YH 0 例 已知点的两投影 求其第三投影 d a a a 5 特殊位置点 6 各种位置点的投影空间点点的X Y Z三个坐标均不为零 其三个投影都不在投影轴上 投影面上的点点的某一个坐标为零 其一个投影与投影面重合 另外两个投影分别在投影轴上 投影轴上的点点的两个坐标为零 其两个投影与所在投影轴重合 另一个投影在原点上 与原点重合的点点的三个坐标为零 三个投影都与原点重合 两点的正面投影反映两点的上下 左右位置关系 两点的水平投影反映两点的左右 前后位置关系 两点的侧面投影反映两点的上下 前后位置关系 空间两点的相对位置 由它们的坐标差所确定 3 2 4两点相对位置的判别 两点的相对位置指两点在空间的上下 前后 左右位置关系 判断方法 x坐标大的在左 y坐标大的在前 z坐标大的在上 B点在A点之前 之右 之下 例已知A点在B点之前5毫米 之上9毫米 之右8毫米 求A点的投影 小结两点的相对位置两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近 或坐标大小 来确定的 X坐标值大的点在左 Y坐标值大的点在前 Z坐标值大的点在上 根据一个点相对于另一点上下 左右 前后坐标差 可以确定该点的空间位置并作出其三面投影 8 重影点及投影可见性 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时 则称此两点为该投影面的重影点 A C为H面的重影点 被挡住的投影加 重影点投影动画演示 3 3直线的投影 两点确定一条直线 将两点的同名投影用直线连接 就得到直线的同名投影 直线对一个投影面的投影特性 一 直线的投影 直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性 直线平行于投影面投影反映线段实长ab AB 直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab ABcos 二 直线在三个投影面中的投影特性 投影面平行线 投影面垂直线 正平线 平行于 面 侧平线 平行于 面 水平线 平行于 面 正垂线 垂直于 面 侧垂线 垂直于 面 铅垂线 垂直于 面 一般位置直线 统称特殊位置直线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长 并反映直线与另两投影面倾角的实大 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴 水平线 侧平线 正平线 投影特性 与H面的夹角 与V面的角 与W面的夹角 实长 实长 实长 1 投影面平行线投影 正平线 水平线 侧平线 通过观察图中三种直线的投影情况 归纳总结投影面平行线的投影特性 正平线投影特性动画演示 水平线投影特性动画演示 侧平线投影特性动画演示 反映线段实长 且垂直于相应的投影轴 铅垂线 正垂线 侧垂线 另外两个投影 在其垂直的投影面上 投影有积聚性 投影特性 2 投影面垂直线投影 正垂线投影特性动画演示 铅垂线投影特性动画演示 侧垂线投影特性动画演示 总结 投影面垂直线的投影特性 在所垂直的投影面上积聚为一点 其它两投影垂直于相应的投影轴 3 一般位置直线的投影特性 直线的各投影均对投影轴倾斜 1 直线的各投影与投影轴的夹角并不反映空间直线与相应投影面的倾角 2 当直线AB倾斜于投影面时 它在该投影面上的投影ab长度小于实长 缩短多少 根据对投影面夹角大小确定 一般位置直线投影特性动画演示 讨论 如何判断直线与投影面关系 投影面平行线 有一个平行于投影轴的投影投影面垂直线 有两个垂直于投影轴的投影有一个投影积聚成一点一般位置直线 有两个不平行于投影轴的投影 例求直线的实长及对水平投影面的夹角 角 zA zB 例求直线的实长及对正面投影面的夹角 角 YA YB YA YB 例求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角 一般位置直线 对 面的倾角 NEW 一般位置直线 对 面的倾角 NEW 一般位置直线 对 面的倾角 NEW 例 求一般位置直线 对 面的倾角 AB实长 若点在直线上 则点的投影必在直线的同名投影上 并将线段的同名投影分割成与空间相同的比例 即 若点的投影有一个不在直线的同名投影上 则该点必不在此直线上 点在直线上的判别方法 AC CB ac cb a c c b A B C V H b c c b a a 定比定理 3 3 3 直线与点 1 点在直线上 直线上的点具有两个特性 1 从属性若点在直线上 则点的各个投影必在直线的各同面投影上 利用这一特性可以在直线上找点 或判断已知点是否在直线上 2 定比性属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比 即AC CB ac cb a c c b a c c b 点C不在直线AB上 例判断点C是否在线段AB上 点C在直线AB上 例已知点C在线段AB上 求点C的正面投影 例已知线段AB的投影 试定出属于线段AB的点C的投影 使BC的实长等于已知长度L AB zA zB c ab 例点 在直线上 上 点 的投影在直线的同面投影上 并符合点的投影规律 C点在直线 上 2 点不在直线 上 NEW 例 判断点 是否在直线 上 解法 点 的投影不符合点在直线上的投影规律 故 点不在直线 上 NEW d0 解法 例 判断点 是否在直线 上 O 点 的投影不符合直线上点定比性 故 点不在直线 上 3 直线的迹点 直线的正面迹点 直线的水平迹点 A NEW 3 3 4两直线的相对位置 空间两直线的相对位置 同面直线 异面直线 平行 相交 交叉 1 两直线平行 投影特性 空间两直线平行 则其各同名投影必相互平行 反之亦然 a b c d c a b d 例判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直线 只要有两个同名投影互相平行 空间两直线就平行 AB CD b d c a c b a d d b a c 对于特殊位置直线 只有两个同名投影互相平行 空间直线不一定平行 求出侧面投影后可知 AB与CD不平行 例判断图中两条直线是否平行 2 两直线相交 判别方法 若空间两直线相交 则其同名投影必相交 且交点的投影必符合空间一点的投影规律 交点是两直线的共有点 例 过C点作水平线CD与AB相交 先作正面投影 1 2 3 4 3 两直线交叉 投影特性 同名投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上的一对重影点的投影 用其可帮助判断两直线的空间位置 是 面的重影点 是H面的重影点 判断交叉两直线重影点的可见性 判断重影点的可见性时 需要看重影点在另一投影面上的投影 坐标值大的点投影可见 反之不可见 不可见点的投影加括号表示 例判断两直线的相对位置 1 d 1 c 两直线交叉 例判别可见性 正面投影重影点 水平投影重影点 例判断两直线重影点的可见性 3 3 5两直线垂直相交 或垂直交叉 直角的投影特性 若直角有一边平行于投影面 则它在该投影面上的投影仍为直角 设直角边BC H面因BC AB 同时BC Bb所以BC ABba平面 即 abc为直角 因此bc ab 故bc ABba平面 又因BC bc 证明 直线在H面上的投影互相垂直 a b c a b c 例过C点作直线与AB垂直相交 AB为正平线 正面投影反映直角 例过点E作线段AB CD的公垂线EF 3 4平面的投影 一 平面的表示法 不在同一直线上的三个点 直线及线外一点 两平行直线 两相交直线 平面图形 1 用几何元素表示平面 2 平面的迹线表示法 平面对一个投影面的投影特性 3 4 2 平面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类 投影面垂直面 投影面平行面 一般位置平面 垂直于某一投影面 倾斜于另两个投影面 平行于某一投影面 垂直于另两个投影面 与三个投影面都倾斜 铅垂面 投影特性 abc积聚为一条线a b c a b c 为 ABC的类似形abc与OX OY的夹角反映 角的真实大小 1 投影面垂直面 铅垂面的投影特性 铅垂面投影特性动画演示 正垂面 投影特性 a b c 积聚为一条线abc a b c ABC的类似形a b c 与OX OZ的夹角反映 角的真实大小 正垂面投影特性动画演示 侧垂面 侧垂面投影特性动画演示 侧垂面 投影特性 a b c 积聚为一条线abc a b c 为 ABC的类似形a b c 与OZ OY的夹角反映 角的真实大小 a b c a c b c b a 投影特性 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线 该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小 另外两个投影面上的投影有类似性 类似性 类似性 积聚性 2 投影面平行面 如图所示 投影面平行面包括水平面 正平面和侧平面 水平面 投影特性 a b c a b c 积聚为一条线积聚为一条线 具有积聚性水平投影abc反映 ABC实形 水平面的投影 水平面投影特性动画演示 正平面 投影特性 abc a b c 积聚为一条线 具有积聚性正平面投影a b c 反映 ABC实形 正平面的投影 正平面投影特性动画演示 投影特性 abc a b c 积聚为一条线 具有积聚性侧平面投影a b c 反映 ABC实形 侧平面 侧平面的投影 R r r r 侧平面投影特性动画演示 投影特性 在它所平行的投影面上的投影反映实形 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线 积聚性 积聚性 实形性 A C B new 3 一般位置平面 投影特性abc a b c a b c 均为 ABC的类似形不反映 的真实角度 平面上取任意直线 3 5 平面上的直线和点 a b c b c a d n m 例1 已知平面由直线AB AC所确定 试在平面内任作一条直线 解法一 解法二 有无数解 根据定理一 根据定理二 例2 在平面ABC内作一条水平线 使其到H面的距离为10mm n m n m 唯一解 平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线 然后再在该直线上确定点的位置 例1 已知K点在平面ABC上 求K点的水平投影 面上取点的方法 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解 例题2已知 ABC给定一平面 试判断点D是否属于该平面 e e 不属于 k b 例3 已知AC为正平线 补全平行四边形ABCD的水平投影 解法一 解法二 3 平面上的投影面平行线 一般位置平面上存在一般位置直线和投影面平行线 不存在投影面垂直线 平面上的正平线 平面上的水平线 平面上的侧平线 例题已知 ABC给定一平面 试过点C作属于该平面的正平线 过点A作属于该平面的水平线 m n n m 四 直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行 相交和垂直 一 平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行 直线与平面平行 定理 若一直线平行于平面上的某一直线 则该直线与此平面必相互平行 a c b m a b c m 例1 过M点作直线MN平行于平面ABC 有无数解 例2 过M点作直线MN平行于V面和平面ABC c b a m a b c m 正平线 唯一解 例题3试判断直线AB是否平行于定平面 结论 直线AB不平行于定平面 两平面平行 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线 则这两平面相互平行 若两投影面垂直面相互平行 则它们具有积聚性的那组投影必相互平行 例题1试判断两平面是否平行 结论 两平面平行 例题2已知定平面由平行两直线AB和CD给定 试过点K作一平面平行于已知平面 二 相交问题 直线与平面相交 直线与平面相交 其交点是直线与平面的共有点 要讨论的问题 求直线与平面的交点 判别两者之间的相互遮挡关系 即判别可见性 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况 直线与平面相交 平面与平面相交 a b c m n c n b a m 平面为特殊位置 例 求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性 空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面 其水平投影积聚成一条直线 该直线与mn的交点即为K点的水平投影 求交点 判别可见性 由水平投影可知 KN段在平面前 故正面投影上k n 为可见 还可通过重影点判别可见性 1 2 作图 平面为特殊位置 k m n b m n c b a a c 直线为特殊位置 空间及投影分析 直线MN为铅垂线 其水平投影积聚成一个点 故交点K的水平投影也积聚在该点上 求交点 判别可见性 点 位于平面上 在前 点 位于MN上 在后 故k 2 为不可见 1 2 作图 用面上取点法 直线为特殊位置 两平面相交 两平面相交其交线为直线 交线是两平面的共有线 同时交线上的点都是两平面的共有点 要讨论的问题 求两平面的交线 方法 确定两平面的两个共有点 确定一个共有点及交线的方向 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况 判别两平面之间的相互遮挡关系 即 判别可见性 可通过正面投影直观地进行判别 a b c d e f c f d b e a m n 空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正垂面 它们的正面投影都积聚成直线 交线必为一条正垂线 只要求得交线上的一个点便可作出交线的投影 求交线 判别可见性 作图 从正面投影上可看出 在交线左侧 平面ABC在上 其水平投影可见 例 求两平面的交线MN并判别可见性 b c f h a e a b c e f h 1 2 空间及投影分析 平面EFH是一水平面 它的正面投影有积聚性 a b 与e f 的交点m b c 与f h 的交点n 即为两个共有点的正面投影 故m n 即MN的正面投影 求交线 判别可见性 点 在FH上 点 在BC上 点 在上 点 在下 故fh可见 n2不可见 作图 c d e f a b a b c d e f 投影分析 N点的水平投影n位于 def的外面 说明点N位于 DEF所确定的平面内 但不位于 DEF这个图形内 所以 ABC和 DEF的交线应为MK 两铅垂面相交 一般位置平面与特殊位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题 由于特殊位置平面的某些投影有积聚性 交线可直接求出 判断平面的可见性 例 找出投影图中所标的 平面 平面及 直线的三投影 并判断它们的空间位置 平面为一般位置平面 平面为正平面 直线为正平线 直线为水平线 实形 PV PW PH 平面内的水平线 平面内的正平线 平面内的侧平线 平面内的投影面平行线 3 1概述 问题的提出 如何能够表达空间一般位置的直线和平面 3 1概述 问题的提出 如何能够表达空间一般位置的直线和平面 启示 如果能把几何元素由一般位置变换为特殊位置 就可以使问题的解决变得简单 换面法 用更换投影变来改变空间几何元素或空间形体与投影面的相对位置的方法 称为换面法 3 1概述 问题的提出 如何能够表达空间一般位置的直线和平面 启