概率论与数理统计复习题(三).pdf

概率论与数理统计复习题 三 一 填空题 每空3分 共18分 得分 概率论与数理统计复习题 三 一 填空题 每空3分 共18分 得分 1 设 A B为二事件 则 A B相互独立的充要条件是 P ABP AP B 2 随机变量X的分布函数定义为 F x P Xx 3 设 2 个独立随机变量 12 XX均服从分布 2 N 记 12 max MXX 则 用标准正态分布函数 表示概率 P Mb 2 b 4 设 123 1 3 XXXN 且相互独立 则 3 1 1 1 3 i i DX 5 设总体 2 XN 2 X S分别是容量为n的样本均值与样本方差 则 2 1 n i i X 2 n 2 1 n i i XX 2 1 n 二 计算题 共72分 得分 二 计算题 共72分 得分 1 10 分 10 个球中有 2 个红球 从中任取 4 个 求恰好取得一个红球的概率 解 设事件A 恰好取得一个红球 则 13 28 4 10 8 15 C C P A C 10 分 2 14 分 某仓库有同样规格的产品 6 箱 其中有 3 箱 2 箱和 1 箱依次是由甲 乙和丙厂生产 且三厂的次品率依次为 1 10 1 15 和 1 20 现从6箱中任取1箱 再从所取得的箱中任取1件 求 1 取得的1件是次品的概率 8分 2 若已知所取的1件为次品 求其来自丙厂的概率 6分 解 1 设B 取得的是次品 1 A 所取得的箱是甲厂生产 2 A 所取得的箱是乙厂生产 3 A 所取得的箱是丙厂生产 则由全概率公式得 3 1 31211129 6 106 156 20360 ii i P BP AP B A 8 分 2 由贝叶斯公式得 33 3 33 1 11 3 6 20 29 29 360 ii i P AP B AP A B P A B P B P AP B A 14 分 3 10 分 游戏规则规定每个人独立向目标投4个球 若4次全不中得0分 中 1个得20分 中2个得30分 中3个得60分 中4个得100分 某人每次投 掷命中率为0 6 问他能期望得到多少分 解 设投中个数为X 得分为Y 显然X服从 4 0 6 B 故由题意 X01234 Y0203060100 P 04 4 0 4 C 131 4 0 4 0 6 C 222 4 0 4 0 6 C 313 4 0 4 0 6 C 44 4 0 6 C 6 分 32234 20 4 0 4 0 630 6 0 4 0 6 60 4 0 4 0 6 100 0 6 47 136E Y 10 分 4 设随机变量 0 00 x Aex Xf x x 求 1 01 PX 2 X的分布函数 F x 3 X的方差DX 解 先求A 0 1 x f x dxAe dxA 1 11 1 00 01 1 xx PXe dxee 4 分 2 0 10 00 x xx xe dxex F xf x dx x 8 分 3 000 1 xxx E Xxf x dxxe dxxee dx 2222 000 22 xxx E Xx f x dxx e dxx ee dx 故 22 1D XE XEX 12 分 5 设连续型随机变量 6 01 01 0 kxyxy X Yf x y 其它 求 1 参数k 2 X及Y的边缘概率密度 3 X与Y是否独立 为什么 4 01 0PXYX 解 1 11 00 1 1 6 5 5 f x y dx dykxy dx dykk 4 分 2 1 0 11 11 6 55 2 X fxf x y dyxy dyx 6 分 1 0 11 11 6 55 2 Y fyf x y dxxy dxy 8 分 3 XY f x yfxfy 所以X与Y不独立 12 分 4 11 2 000 1131 01 0 6 6 5522 x PXYXxy dy dxxxdx 16 分 6 10 分 设总体X服从分布 1 01 0 xx f x 问 2 是否为 2 的无偏估计量 说 明理由