18、数学试卷质量分析的数理统计方法浅议.pdf

数学试卷质量分析的数理统计方法浅议 方政蕊 南平师范高等专科学校 数学系 福建 武夷山354300 摘 要 本文主要应用数理统计方法 通过探讨试卷的难度 区分度 信度 效度和覆盖度等质量指标分析数学试卷的 质量 并用实例来说明对试卷质量分析的方法 关键词 试卷 质量 效度 难度 信度 中图分类号 O212 文献标识码 A 文章编号 1008 5963 2006 02 0012 04 Study on the Ways of Mathematical Statistics in the Quality Analysis on the Mathematics Test FANG Zhengrui The Mathematics Department of Nanping Teachers College Wuyishan Fujian 354300 Abstract This article mainly uses the ways of mathematical statistics to analyze the quality of the mathematics examination paper through exploring the degree of difficulty distinction reliability and validity of the examination paper and illustrates the ways of the quality analysis of the examination paper by means of concrete examples Key words the examination paper quality the degree of validity the degree of difficulty the degree of reliability 评价试卷的质量是教育科学中一个很重要的环节 试卷质量的高低直接影响着测试的成绩 而测试的 成绩又是检查教学质量的重要依据 对考试结果的分析与评价 有助于教师总结经验 发现问题 改进教 学方法 根据目前我校的实际情况 试卷多为任课教师凭自己的经验 并依据教学大纲要求及课堂教学的实际 情况 由不同题型 不同难易程度的试题组成的 因此它或多或少带有主观随意性 可能会造成对学生成绩 评价的主观性 因此 对学生考试的成绩及试卷的分析是课堂教学的继续 是每一位教师必须认真对待的 任务 通过分析 一方面可及时对试卷中反映出的带有普遍性的问题进行归纳和梳理 减少教师出试题的 盲目性和随意性 为以后进一步改进教学工作提供信息 另一方面通过试卷分析可以提高和改进试卷的质 量 使之真实地反映教学水平和学生的学习情况 1 考试成绩分析 通过对考试成绩的分析 可以了解平均成绩及标准差 最高分与最低分 及格率和不及格率等信息 1 1 考试成绩的分布 一份合理的试卷 学生考试成绩应服从正态分布 即有68 的学生分数位于一个均数标准差的范围 内 95 的学生分数都位于正负两个均数标准差范围内 检验成绩是否服从正态分布 通常可用皮尔逊 检验法 并不是所有的考试成绩都会服从正态分布 有时也出现偏态分布 在试题难度大 学生学习不努力 的情况下 出现正偏态分布 指大多数学生成绩偏低 在试题难度偏低 教学质量较好或评分较宽松的情况 下 出现负偏态分布 指大多数学生成绩偏高 2 试卷的质量指标 根据 教育测量学 评价试卷质量的指标主要有效度 难度 信度 区分度和覆盖度 一份好的试卷应 是难度适中 区分度较大 能分辨出学生的学习状况 并且具有较高的信度 效度和覆盖度 2 1 效度 效度是试卷质量中最基本的指标 是考试结果的正确性程度 是衡量试卷能否准确测出学生在某一学 科上真实水平的量 但往往被测对象在某一学科上的真实水平是无法通过一份试卷直接测量的 因此我 们就不在此多作解析 2 2 难度 难度是衡量试卷各题难易程度的质量指标 是反映试卷与学生知识水平适合度的一个量 即指一次 21 收稿日期 2006 01 30 作者简介 方政蕊 1978 女 汉族 助教 第25卷2期 南平师专学报 Vol 25 No 2 2006年4月 JOURNAL OF NANPING TEACHERS COLL EGE Apr 2006 考试中未答对某道试题的考生数在其总体中所占的比例 显然试卷各题的难度可以用该题的平均失分和 该题满分之比来度量 即如果用Hi表示第i题的难度 Wi表示第i题的满分值 xi表示被测对象第i题的 平均得分 则用公式Hi 1 xi Wi来表示试卷的难度 难度最大为 1 最小为0 试卷的命题过难过偏 会造 成考生成绩过低 命题过易 没有达到教学大纲所规定的目标 会使考生很容易得高分 不但不能区别学生 学习的优劣 而且也不能暴露出教学上的问题所在 因此合理的难度分配是一套高质量试题的重要方面 全套平均难度应控制在0 5附近 一般难 中 易的比例应为20 60 20 把握适当的试题难度很重要 试题的难度直接影响考试成绩的分布形态和离散度 如试题过难优秀 生和差生均不会回答 考试成绩偏低 呈正偏态分布 反之 试题过易优秀生和差生均会回答 考试成绩偏 高 呈负偏态分布 下面是本人对南平师专2005级机电一体化专业高等数学期末考试试卷难度作的分析 表1 高等数学期末考成绩难度分析一览表 题号一二三四五六七八九 分值151548810151213 平均分10 14510 41983 31304 38934 84735 97719 00767 51916 8397 难度值0 32370 30530 17180 45130 39410 52000 39950 37340 4739 对于本次试卷难度的分析表可以看出难度 0 5的偏难 题为第六题 这一题是考导数的应用 几乎覆盖整个章节的内容 大部分学生只答对一部分 得分较低 本 试卷总体平均难度为0 3754 难题和较难题仅占11 1 说明试题总体偏容易 2 3 信度 信度是试卷质量中的重要指标 信度指的是测量结果的稳定性或可靠性的程度 亦即测量的结果是否 真实 客观地反映了考生的实际水平 我们把一份试卷对同一对象前后测试结果的相关程度称为试卷的信 度 信度可以用前后测试结果的相关系数来度量 信度按其估计方法分为 再测信度 等价形式 信度 分半信度 系数法 分半法虽然是求试卷信度的 常用方法 但由于分半法的分法多种多样 因此所得的信度的估计值常有差异 在此我们利用系数法来来 求解试卷的信度 用克朗巴赫系数计算公式 a n n 1 1 i2 2 其中 i2为第i题的测试方差 2为试卷测试的方差 n为试卷题目的个数 试卷的信度最大值为1 最小 值为 1 显然一份质量好的试卷 应具有较高的信度 对高等数学试卷的信度作分析如下 标准差 1 n n i 1 x ij xj x i表示被测对象第i题的平均得分 xj表示第j题的得分 n表示学生人 数 表2 高等数学期末考各题标准差一览表 题号一二三四五六七八九 标准差2 73682 68990 81727 81462 48392 23304 02293 16683 5042 i2 2 73682 2 68992 0 81722 7 81462 2 48392 2 23302 4 02292 3 16682 3 50422 126 1093 a n n 1 1 i2 2 9 8 1 126 1093 290 4298 0 6365 有许多种因素可影响考试的信度 首先是试卷的难度和题量 题目的难度过高或过低 都会造成考试 31 方政蕊 数学试卷质量分析的数理统计方法浅议 分数的分布变窄 降低试卷的信度 而加大题量可提高试卷的信度 其次是考场的纪律松紧 学生对待考试 的态度 考试本身的重要程度等可影响考生的紧张度和发挥的因素及考前是否有老师复习或答疑 上述因 素均可影响试卷的信度 考试的信度要求校内自行考试一般不低于0 60 有人提出 O 50 标准化考试 要求 0 90 本次试卷的信度系数为0 6365 对于自编试题 此信度系数能较好地反映学生掌握知识的 程度 2 4 区分度 区分度是衡量试卷各题在区别测试对象不同水平程度上的指标 它反映试题对考生水平的鉴别能力 该值可用于衡量每一试题在多大程度上能测出整个考试所要衡量的知识 技术或能力 如果每道题学习 好的同学得分高 学习差的同学得分低 说明该试题的区分度高 反之 如果每道题学习好的同学和学习差 的同学得分差不多 则区分度低 如果难题学习好的不会做 而学习差的会做 则为偏题 怪题 这时区分 度为负值 我们用E表示数学期望 为试卷得分的标准差 i为第i题得分的标准差 Di为第i题的区 分度 则有计算区分度公式Di E xi Exi x Ex i Di值越大 区分度越高 区分度指数的范围在 1至 1之间 根据艾伯尔提出的评价标准 Di 0 4 质量非常好 0 3 Di 0 39 质量良好 0 20 Di 0 29 质量尚可 但仍需修改 Di 0 20 质量差 必须淘汰 对试卷的区分度作分析得出下表中所列结果 表3 高等数学期末考成绩区分度一览表 17 0420 题号一二三四五六七八九 标准差2 73682 68990 81727 81462 48392 23304 02293 16683 5042 协方差19 6537 20 25504 027785 0139 20 0844 21 3217 47 5301 31 5353 37 8148 区分度0 42140 44170 28920 63840 47450 56030 69330 58430 6332 区分度是试题质量的另一重要方面 由上表可见区分度是以测试对象在该题上的得分与试卷总得分 的相关系数来度量的 我们可以看出它的值介于0 1之间 没有出现负值 虽然在同一份试卷内其各题 的区分度有明显的差距 但总体上还是比较合理的 基本能区分学生的实际水平 总体看来本套试卷的质 量属于良好 2 5 覆盖度 试卷的覆盖度 是基于试卷的覆盖面程度 根据教育学的观点 学生能力的差异主要反映在知识面和 知识的积累上 试题质量的四个指标与试题的覆盖面有密切关系 覆盖面大 指标的性能较好 覆盖面小 指标的性能较差 通常用各题目之间的相关系数矩阵rij表示覆盖面的大小 其中 rij 1 n N k 1 x ki xi x kj xi si sj xki表示第k个学生第i题的得分 si表示第i题的得分的均方差 xi表示考生在第i题上所得的分数平均 值 N表示考生数 试卷的覆盖面越广 则各题之间的交叉相关性就越小 反之 则越大 相关系数矩阵 的实质就是反映试题的覆盖面大小的 通常以rij 0 2为覆盖面大 覆盖面大试卷有效性就高 一份好的试卷其试题的选择一定要有覆盖面 对课程的主要内容一定要覆盖到 这样的抽样才具有代 表性 3 几个指标之间的关系 3 1 信度 难度与区分度的关系 测验的信度是反映测验稳定性和可靠性的指标 如果试题的难度值小 试题过难 则造成考生答题时 猜测的可能性大 这就引起测验的不稳定性 因此 一份试卷中过难的题目越多 考生猜测答题的可能性越 大 试卷的信度越低 而如果一份试卷中过易的题目占较大比例 又会造成考生得分容易 从而使得分数的 离差偏小 也使信度偏低 因此 一份试卷中难度适中的题应占比较大的比例 适当搭配较难 过难 较易 过易的题目 将取得好的信度 区分度是指测验对考生实际水平的区分程度 区分度越高 越能反映考生 41 南平师专学报 2006年第2期 之间的水平差异 使优等生 差等生越能真实地体现自己的水平 因此 区分度高的试卷的信度大 3 2 难度与区分度的关系 试卷的难度和区分度是两个不同的概念 但两者存在着一定的联系 难度的高低直接影响考生的得 分 难度过高或过低的试题 或试卷 考生的得分都比较集中 从而使区分度降低 难度适中的试题 或试 卷 不同水平的考生将有较大差异的得分反应 从而有较高的区分度 4 结论 由上面的几个表的分析我们得出以下几个结论以供参考 1 对于学生方面我们可以看出学生可能对于所学的课程的学习方法 学习动机不明确 对本课程的 基础知识不牢固 报有一种 六十分万岁 多一分浪费 的思想 2 对于老师方面在教学工作中应更多采用启发式教学方法 使学生掌握正确的学习方法 适当增加试 题难度 进一步提高试题质量 尝试建立高等数学考试题库 不断将区分度差的试题淘汰出局 将新的好试 题补充进来 从而建立科学规范的试题库 3 从对试卷的难度和学生的考试成绩也可反应出学校的学习风气和学生的素质 综上所述 对试卷进行科学化的评价和量化分析 是提高试卷质量 试题科学性与客观性的重要途径 之一 其根本目的是为了提高命题的质量和科学性 因此作为教师都必须加强有关考试理论和方法的学 习 掌握命题的技巧 学习有关试卷评价的方法 为逐渐形成考试的标准化体系作好试题的筛选和积累工 作 总之 我们应当不断的总结经验 找出差距 改进工作 充分发挥考试这一指挥捧在保证教学效果 提 高教学质量方面的调控作用 参考文献 1 骆振华 概率统计简明教程 M 厦门大学出版社 1990 2 萧树铁 数学实验 M 高等教育出版社 1999 3 崔怡 MATLAB5 3实例详解 M 工业出版社 1999 4 缪铨生 概率与数理统计 M 华东师范大学出版社 2000 5 郭述平 王景英 教育测量 M 长春 东北师范大学出版社 1987 下接第46页 过错 参考文献 1 大哉 言数 马志明院士 访谈录 2004 2 5 元宵节 中央电视台 科教频道 CCTV 10 2 叶球孙 n位变进数的研究与应用 M 第三届中南模糊数学与系统科学学术大会论文集 中国气象 出版社 1995 10 Research Research Application On the Variable Carrying Numbers IEEE Internati