单摆周期公式的推导与应用.doc

单摆周期公式的推导与特殊应用新课程考试大纲与2003年理科综合考试说明（物理部分）相比，有了很大的调整。知识点由原来的92个增加到了131个，并删去了许多限制性的内容。如在振动和波这一章，删去了“不要求推导单摆的周期公式”这一限制性的内容。这就说明，新课程考试大纲要求学生会推导单摆的周期公式。而查看全日制普通高级中学教科书（试验修订本）物理第一册（必修），在关于单摆周期公式的推导中也仅仅讲到单摆受到的回复力与其位移大小成正比，方向与位移的方向相反为止。最后还是通过物理学家的研究才得出了单摆的周期公式。这样一来，前面的推导似乎只是为了想证明单摆的运动是简谐运动。一 简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力与物体相对于平衡位置的位移成正比，方向与位移相反，用公式表示可以写成，其中是比例系数。对于质量为的小球，假设时刻（位移是）的加速度为，根据牛顿第二运动定律有：，即ABGG1G2GP图 1因此小球的加速度与它相对平衡位置的位移成正比，方向与位移相反。因为（或）是变量，所以也是变量，小球作变加速运动。把加速度写成，并把常数写成得到。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为。这说明小球的位移是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为，从而得到作简谐运动物体的周期为。二单摆周期公式的推导 单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。 当摆球静止在点时，摆球受到的重力和摆线的拉力平衡，如图1所示，这个点就是单摆的平衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力和摆线的拉力就不再平衡。在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置附近来回往复运动。当摆球运动到任一点时，重力沿着圆弧切线方向的分力提供给摆球作为来回振动的回复力，当偏角很小如时，所以单摆受到的回复力，式中的为摆长，是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力与位移的方向相反，由于m、g、L都是确定的常数，所以可以用常数来表示，于是上式可写成。因此，在偏角很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把代入到简谐运动物体的周期公式，即可得到单摆的周期公式是。图 2三单摆周期公式在特定条件下的应用讨论1：单摆周期公式中的指的是单摆的摆长，但在特定情况下可以理解为是等效摆长。例1如图2所示，为一双线摆，它是在水平天花板上用两根等长的细线悬挂一个小球而构成的。已知摆长为，摆线与天花板之间的夹角为。求小球在垂直于纸面方向作简谐运动时的周期。解析 小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为，所以此双线摆的周期。讨论2：单摆周期公式中的指的是重力加速度，而在很多特定条件下可以理解为摆球在平衡位置保持相对静止时，摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力与摆球质量的比值，即，（在加速运动系统中，还应包括惯性力，惯性力的大小，方向与系统的加速度的方向相反）此时，单摆的周期公式就变成了。例2在电场中带电摆球的摆动周期如图3所示，长为的绝缘细线下端系一带电量为、质量为的小球，整个装置处于场强为方向竖直向下的匀强电场中，在摆角小于时，求它的摆动周期。EqFG图 4解析 摆球所受到的力如图3所示即细线的拉力、重力图 3EqE和电场力。当摆球在平衡位置保持相对静止时， 摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力，则，摆动的周期是。 若整个装置处于如图4所示的电场中，同样可以求得单摆的摆动周期为。图 5例3 如图5所示，求在匀加速上升的升降机内单摆的周期。解析 设升降机匀加速上升的加速度为，单摆的摆长为，摆球的质量为。当摆球在平衡位置保持相对静止时，摆球受到的力如图5所示即摆线的拉力和重力以及惯性力，方向与系统的加速度方向相反。摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力，图 6因此，所以单摆的周期。 如图6所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内，单摆的摆长为，系统水平向右的加速度为，摆球的质量为，求这一单摆的周期。图 7 1+q, m解析 摆球受到摆线的拉力和重力以及惯性力，惯性力的方向与系统的加速度方向相反。摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力，因此， ，单摆的周期。例4如图7所示为一单摆，摆绳长为，摆球的质量为，摆球带有正电荷的电量为，在单摆的悬点处放有一带电量为的正电荷，试求这一单摆的周期。图 8解析 摆球受到摆绳的拉力、重力和电场力。其中电场力始终沿着摆绳的方向，当摆球在平衡位置保持相对静止时，摆球受到的外力中除去所有的始终沿着摆绳方向的力，剩余的各力沿着摆绳方向的合力，。因此，单摆的周期是。例5如图8所示，单摆处在方向垂直纸面向里的磁场中，已知摆球的带电量为，磁感应强度为，求该单摆的周期。解析 摆球在平衡位置周围往复运动时，除了重力和拉力外，还将受到洛伦兹力的作用，而洛伦兹力的方向总是沿着摆线的方向， 摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力，。因此，单摆的周期是。参考文献：1、 顾建中力学教