2019-2020学年烟台市高二上学期期末数学试题（解析版）

2019-2020学年山东省烟台市高二上学期期末数学试题一、单选题1设 R，则“1”是“1”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：由可得成立，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件【考点】充分条件与必要条件2设命题p：梯形的对角线相等，则为（ ）A梯形的对角线不相等B有的梯形对角线相等C有的梯形对角线不相等D不是梯形的四边形对角线不相等【答案】C【解析】“梯形的对角线相等”是一个全称命题，其否定为一个特称命题，据此判断出的结果.【详解】因为“梯形的对角线相等”可以改写为“所有的梯形的对角线都相等”，所以为：“存在对角线不相等的梯形”即为“有的梯形的对角线不相等”.故选：C.【点睛】本题考查全称命题的否定，难度较易.注意修改量词并否定结论.3下列命题中假命题为（ ）ABCD【答案】B【解析】A.根据对数式的值恒大于零进行判断；B.取特殊值进行判断；C.根据的值域进行判断；D.取进行判断.【详解】A因为中恒成立，所以为真命题；B当时，所以原命题为假命题；C因为的值域为，所以原命题为真命题；D取，此时，所以原命题为真命题.故选：B.【点睛】本题考查全称命题、特称命题的真假判断，难度较易.对于命题的真假判断，可通过定义、举例、取特殊值等方法进行判断.4已知空间向量，若，则（ ）A3B-3C5D-5【答案】C【解析】根据，得到坐标之间的等量关系，通过等量关系计算出的值，即可求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以.故选：C.【点睛】本题考查根据空间向量的平行关系求解参数值，难度较易.若空间向量满足，则有.5已知椭圆，过M的右焦点作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为，则椭圆M的方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】设出以及中点坐标，利用“点差法”得到之间的关系，从而得到之间的关系，结合即可求解出椭圆的方程.【详解】设，的中点，所以，又因为，所以，所以，所以且，所以，所以椭圆方程为：.故选：D.【点睛】已知直线与椭圆相交于两点，线段的中点为点，则有；当椭圆改为双曲线时，则有.6在三棱锥P-ABC中，M为PA的中点，N在BC上，且，则（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意作出示意图，根据示意图以及空间向量的加、减法运算，计算出的的表示形式.【详解】如图所示，连接，因为，所以，又因为，所以.故选：A.【点睛】本题考查空间向量的加法、减法运算，难度较易.处理空间向量的加减法表示时，可以类比平面的加减法运算，利用三角形或者平行四边形法则完成转化求解.7如图，已知两条异面直线a，b所成的角为，点M，N分别在a，b上，且，P，Q分别为直线a，b上位于线段MN同侧的两点，则PQ的长为（ ）ABCD【答案】A【解析】过点作的平行线，过点作，再根据位置关系可知平面，再根据线段长度即可表示出的长.【详解】如图所示，过点作的平行线，过点作，连接，因为，所以四边形是矩形，所以，又因为，所以且，所以平面，所以平面，所以，所以，又因为，所以，所以，所以.故选：A.【点睛】本题考查异面直线所成角的概念理解以及空间线段长度的计算，难度一般.对于异面直线所成角，首先要考虑将直线平移至同一平面内，由此得到的直线所成角即为异面直线所成角或其补角.8设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据抛物线与圆的位置关系，利用抛物线的焦半径公式，将表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标的特点结合基本不等式求解出的最小值.【详解】如图所示：因为圆的方程为即为，所以圆心为即为抛物线的焦点且半径 因为，所以，又因为，所以，设，所以，所以，所以，所以，取等号时.综上可知：.故选：D.【点睛】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难.(1)已知抛物线上任意一点以及焦点，则有；(2)当过焦点的直线与抛物线相交于，则有.二、多选题9已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外的任一点，则“点M与点A，B，C共面”的充分条件的是（ ）ABCD【答案】BD【解析】根据“时，若则点与点共面”，分别判断各选项是否为充分条件.【详解】当时，可知点与点共面，所以，所以，所以，不妨令，且此时，因为，由上可知：BD满足要求. 故选：BD.【点睛】本题考查利用空间向量证明空间中的四点共面，难度一般.常见的证明空间中四点共面的方法有：(1)证明；(2)对于空间中任意一点，证明；(3) 对于空间中任意一点，证明.10在长方体中，E，F，P，Q分别为棱的中点，则下列结论正确的是（ ）AB平面EFPQC平面EFPQD直线和所成角的余弦值为【答案】ACD【解析】A.根据线面垂直作出判断；B.假设结论成立，然后通过条件验证假设；C.通过面面平行来证明线面平行；D.将直线平移至同一平面内，然后根据长度计算异面直线所成角的余弦值.【详解】A如图所示，因为，所以四边形是正方形，所以，又因为几何体为长方体，所以平面，所以，又因为，所以平面，又因为平面，所以，故结论正确；B如图所示，假设平面，因为平面，所以，显然不成立，故假设错误，所以结论错误；C如图所示，连接，由条件可知，所以，又因为，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故结论正确；D如图所示， 连接，因为，所以和所成角即为或其补角，由条件可知：，所以，故结论正确.故选：ABD.【点睛】本题考查空间中的平行垂直关系的证明以及异面直线所成角的余弦值的计算，属于立体几何的综合小题，难度一般.其解异面直线所成角的三角函数值时，可先通过将直线平移至同一平面内，此时两条直线所形成的夹角即为异面直线所成角或其补角.11已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）AB为等腰直角三角形C直线AB的斜率为D的面积为4【答案】AC【解析】A根据抛物线性质，结合角度之间的关系，求解出的度数；B利用抛物线的焦半径结合，判断为等腰直角三角形的可能性；C根据，设出直线方程完成直线斜率的求解；D取直线的方程，联立抛物线方程求解出的值，根据求解出三角形面积.【详解】过点向准线作垂线，垂足为，设，如下图所示：A因为，所以，又因为，所以，所以平分，同理可知平分，所以，故结论正确；B假设为等腰直角三角形，所以，所以四点共圆且圆的半径为，又因为，所以，所以，所以，所以，显然不成立，故结论错误；C设直线的方程为，所以，所以，所以， 又因为，所以，所以，所以，所以，所以直线的斜率为，故结论正确；D取，由上可知，所以，所以，故结论错误.故选：AC.【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质的综合应用，对于图形分析和计算能力要求较高，难度较难.抛物线焦点弦的性质的另一种表示形式：过抛物线焦点的直线的倾斜角为，焦点弦与抛物线的交点为(在轴的上方，在轴的下方)，此时，.12已知分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若且的最小内角为，则（ ）A双曲线的离心率B双曲线的渐近线方程为CD直线与双曲线有两个公共点【答案】ABD【解析】A根据以及对应的余弦定理计算出离心率的值；B根据离心率的值，计算出的值，即可求解出双曲线的渐近线方程；C根据的大小关系判断出三角形的形状，再根据长度关系判断是否成立；D联立直线与双曲线，利用一元二次方程的，判断出直线与双曲线的交点个数.【详解】A因为，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，故结论正确；B，所以，所以，所以渐近线方程为，故结论正确；C因为，所以，所以，又因为，所以，所以，所以结论不成立；D因为，所以，所以，所以，所以直线与双曲线有两个公共点，所以结论正确.故选：ABD.【点睛】本题考查双曲线性质的综合运用，对分析与计算能力要求较高，难度较难.(1)双曲线渐近线的斜率与离心率之间的关系：；(2)平行于双曲线渐近线的直线(不重合)与双曲线仅有一个交点，斜率绝对值小于渐近线斜率的绝对值的直线，其与双曲线有两个交点.三、填空题13若“”是“”的充分非必要条件，则实数的取值范围是_【答案】【解析】“” “”,但是“”“”，即可求解.【详解】“”是“”的充分非必要条件，故前者是后者的真子集，即可求得。【点睛】本题考查充分必要条件，是基础题14若“”为真命题，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】将问题转化为“在能成立”，根据函数的单调性以及最值，计算出实数的取值范围.【详解】因为，所以在能成立，所以且，又因为在上是增函数，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查已知特称命题的真假求解参数范围，难度较易.区间上恒成立的问题可转化为；区间上能成立的问题可转化为.15过椭圆的左焦点F作斜率为的直线l与C交于A，B两点，若，则椭圆C的离心率为_.【答案】【解析】作出示意图，记右焦点，根据长度和位置关系计算出的长度，再根据的形状列出对应的等式，即可求解出离心率的值.【详解】如图所示，的中点为，右焦点为，连接，所以，因为，所以，所以，又因为，所以且，所以，又因为，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16如图所示的平行六面体中，已知，N为上一点，且.若，则的值为_；若M为棱的中点，平面，则的值为_.【答案】 【解析】取空间中一组基底：，将转化为向量的垂直关系，从而计算出的值；根据线面平行的性质得到平行关系，从而可知对应线段成比例，由此计算出的值.【详解】(1)取空间中一组基底：，因为，所以，因为，所以，所以，所以；(2)在上取一点使得，连接，因为且，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为平面，且，所以平面平面，所以平面，又因为平面平面，且平面，所以，所以，所以，所以.【点睛】本题考查空间向量的数量积运算以及根据线面平行求解参数，难度较难.(1)空间向量进行数量积运算时，注意采用基底形式表示，可简化计算；(2)已知直线与平面的位置关系求解参数时，注意利用性质定理推导条件成立的充要条件.四、解答题17给出以下条件：，方程表示焦点在y轴上的椭圆，函数无极值点.从中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题的详细解答.已知p：实数a满足，q：实数a满足_，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.【答案】见解析【解析】先求解出命题对应的的取值范围，然后考虑命题对应的的取值范围，根据充分不必要条件列出对应的不等式即可求解出参数的范围.【详解】解：因为，所以若选：当时，符合题意；当时，得，所以，由已知得：，所以，得若选：，由已知得：所以，得若选：，则由已知得：，所以，得.【点睛】本题考查根据充分不必要条件求解参数范围，难度一般.已知命题成立的对象所构成的集合为，命题成立的对象所构成的集合为，若是的充分条件，则有，若是的必要条件，则有.18求满足下列条件的圆锥曲线的标准方程：（1）短轴长等于，离心率等于的椭圆；（2）与椭圆共焦点，且过点的双曲线.【答案】（1） （2）【解析】(1)根据以及离心率的表达式计算出的值，判断焦点位置，求解出椭圆方程；(2)根据椭圆的焦点设出双曲线方程，代入点即可求解出双曲线的方程.【详解】解：（1）由题意可知，因为，可得，若焦点在x轴上，椭圆的方程为，若焦点在y轴上，椭圆的标准方程为，（2）椭圆的焦点为，可设双曲线方程为，将点代入可得整理可得，解得或（不合题意），所以双曲线的标准方程为.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程的求解，难度一般.和椭圆共焦点的双曲线的方程可设为：.19如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，平面ABCD，且.（1）求直线AD和平面AEF所成角的大小；（2）求二面角E-AF-D的平面角的大小.【答案】（1） （2）【解析】(1)根据线段的垂直关系，建立空间直角坐标系，计算直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值，即可计算出线面角的大小；(2)计算两个平面的法向量，通过平面法向量的夹角的余弦值，计算出二面角的大小.【详解】解：（1）因为，所以B，E，F，D四点共面，因为四边形ABCD是菱形，所以，设AC与BD的交点为O，以O为坐标原点，OA，OB以及垂直于平面ABC的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz如图所示，则，设为平面AEF的一个法向量，则有：，即，令可得，设直线AD和平面AEF所成角为，则，所以直线AD和平面AEF所成角为.（2）由（1）可知，平面AEF的一个法向量为设为平面ADF的一个法向量，则有：，即，令可得，所以二面角E-AF-D的平面角为.【点睛】本题考查利用空间向量求解线面角和二面角的大小，难度一般.(1)利用向量法求解线面角时，注意直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值；(2)利用向量法求解二面角时，除了计算平面法向量夹角的余弦值，还需考虑几何体中面面所成角的实际情况.20如图，在三棱锥P-ABC中，平面平面ABC，.（1）若，求证：平面平面PBC；（2）若PA与平面ABC所成的角为，求二面角C-PB-A的余弦值.【答案】（1）见解析 （2）【解析】(1)利用面面垂直的性质定理证明平面，由此即可证明平面平面；(2)根据条件建立空间直角坐标系，求解出平面、平面的法向量，利用法向量夹角的余弦值求解出二面角的余弦值.【详解】解：（1）证明：因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，所以平面PAC，由平面PAC，所以，又因为，所以平面PBC，因为平面PAB，所以平面平面PBC；（2）过P作，因为平面平面ABC，所以平面ABC，所以，不妨设，所以，以C为原点，分别以CA，CB所在的直线为x，y轴，以过C点且平行于PH的直线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，设为面PAB的一个法向量，则有，即，令，可得，设为面PBC的一个法向量，则有，即，令，可得，所以，所以二面角C-PB-A的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角的余弦值，难度一般.(1)证明线面垂直可通过判定定理也可以通过面面垂直的性质定理证明；(2)求解二面角的余弦值时，可通过平面法向量夹角的余弦值结合实际图形完成求解.21已知F为抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，.（1）求抛物线的方程：（2）已知为抛物线上一点，M，N为抛物线上异于P的两点，且满足，试探究直线MN是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.【答案】（1） （2）过定点，【解析】(1)设出直线的方程，联立抛物线的方程，根据韦达定理即可求解出的值，即可求解出抛物线的方程；(2)求解出点坐标，设出直线的方程，根据求解出之间的关系，从而确定出直线所过的定点.【详解】解：（1）由已知，直线AB的方程为联立直线与抛物线，消y可