垂径定理,圆周角与圆心角的关系.doc

学习资料收集于网络，仅供参考圆目 录一 圆的定义及相关概念二 垂经定理及其推论三 圆周角与圆心角四 圆心角、弧、弦、弦心距关系定理五 圆内接四边形六 会用切线 , 能证切线七 切线长定理八 三角形的内切圆九 了解弦切角与圆幂定理（选学）十 圆与圆的位置关系十一 圆的有关计算十二 圆的基础综合测试十三 圆的终极综合测试一圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； 不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。考点5点和圆的位置关系 设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。 点在圆外dr；点在圆上d=r；点在圆内 dr；【典型例题】例1 在ABC 中，ACB=90,AC=2,BC=4，CM是AB边上的中线，以点C为圆心，以为半径作圆，试确定A,B,M三点分别与C有怎样的位置关系，并说明你的理由。MABC例2已知，如图，CD是直径，AE交O于B，且AB=OC，求A的度数。DOEBAC例3 O平面内一点P和O上一点的距离最小为3cm，最大为8cm，则这圆的半径是_cm。例4 在半径为5cm的圆中，弦ABCD，AB=6cm，CD=8cm，则AB和CD的距离是多少？例5 如图,O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm,，ABDCOE求CD的长例6.已知：O的半径0A=1，弦AB、AC的长分别为，求的度数【考点速练】1.下列命题中，正确的是（ ） A三点确定一个圆B任何一个三角形有且仅有一个外接圆 C任何一个四边形都有一个外接圆 D等腰三角形的外心一定在它的外部2如果一个三角形的外心在它的一边上，那么这个三角形一定是（ ） A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D钝角三角形3圆的内接三角形的个数为（ ） A1个 B2 C3个D无数个4三角形的外接圆的个数为（ ） A1个 B2 C3个D无数个5下列说法中，正确的个数为（ ） 任意一点可以确定一个圆；任意两点可以确定一个圆；任意三点可以确定一个圆；经过任一点可以作圆；经过任意两点一定有圆 A1个 B2个 C3个 D4个6.与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是( ) A.圆的外部(包括边界)； B.圆的内部(不包括边界)； C.圆； D.圆的内部(包括边界)7.已知O的半径为6cm,P为线段OA的中点,若点P在O上,则OA的长( ) A.等于6cm B.等于12cm； C.小于6cm D.大于12cm8.如图,O的直径为10cm,弦AB为8cm,P是弦AB上一点,若OP的长为整数, 则满足条件的点P有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个9.如图,A是半径为5的O内一点,且OA=3,过点A且长小于8的弦有( ) A.0条 B.1条 C.2条 D.4条 第8题 第9题10.要浇铸一个和残破轮片同样大小的圆形轮片，需要知道它的半径，用圆规和直尺在图中作出它的一条半径（要求保留作图痕迹）BDA11.如图，已知在中，AB=3cm，AC=4cm，以点A为圆心，AC长为半径画弧交CB的延长线于点D，求CD的长C12、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB16cm，拱高CD4cm，那么拱形的半径是m。13、 ABC中，AB=AC=10，BC=12，则它的外接圆半径是。14、如图，点P是半径为5的O内一点，且OP3，在过点P的所有的O的弦中，弦长为整数的弦的条数为。15.思考题ABDCEPFO如图所示,已知O的半径为10cm，P是直径AB上一点,弦CD过点P,CD=16cm,过点A和B分别向CD引垂线AE和BF,求AE-BF的值.【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1、在半径为2的圆中，弦长等于2的弦的弦心距为 _ 2. ABC的三个顶点在O上,且AB=AC=2,BAC=120,则O的半径= _, BC= _.3 P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_4. 如图,A,B,C三点在O上,且AB是O的直径,半径ODAC,垂足为F,若A=30,OF=3,则OA=_ , AC=_ , BC= _ .5.如图5,为直径是52cm圆柱形油槽,装入油后,油深CD为16cm,那么油面宽度AB= _ 6.如图6, O中弦ABAC,D,E分别是AB,AC的中点. 若AB=AC,则四边形OEAD是 形;若OD=3,半径,则AB= _cm, AC= _ _ cm 7.如图7，O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=8cm，EB=4cm，CEA=30，则CD的长为_(5) (6) (7)二垂径定理及其推论【考点速览】考点1垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤推论1：平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤平分弦所对的一条孤的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤推论2圆的两条平行弦所夹的孤相等垂径定理及推论1中的三条可概括为： 经过圆心；垂直于弦；平分弦(不是直径)；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点【典型例题】ABDCONM例1 如图AB、CD是O的弦，M、N分别是AB、CD的中点，且求证：AB=CD例2已知，不过圆心的直线交O于C、D两点，AB是O的直径，AE于E，BF于F。求证：CE=DF 例3 如图所示，O的直径AB15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CECD交AB于E，DFCD交AB于F。（1）求证：AEBFOABCDEFm（2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。例4 ABCDPO。.如图，在O内，弦CD与直径AB交成角，若弦CD交直径AB于点P，且O半径为1，试问： 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【考点速练】1.已知O的半径为2cm，弦AB长，则这条弦的中点到弦所对劣孤的中点的距离为（ ）. A1cm B.2cm C. D.cm3如图1，O的半径为6cm，AB、CD为两弦，且ABCD，垂足为点E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB的长为（ ） A10cm B.8cm C. D.4.有下列判断：直径是圆的对称轴；圆的对称轴是一条直径；直径平分弦与弦所对的孤；圆的对称轴有无数条.其中正确的判断有（ ） A0个 B.1个 C.2个 D.3个5如图2，同心圆中，大圆的弦交AB于C、D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比为（ ） A3:2 B.:2 C.: D.5:46.等腰三角形腰长为4cm,底角为,则外接圆直径为（ ）ADECBO图1 A2cm B.4cm C.6cm D.8cm AOCDB图27.如图,O的直径为10,弦AB=8,P是弦AB上的一个动点,那么OP长的取值范围是 .8.如图,已知有一圆弧形拱桥,拱的跨度AB=16cm,拱高CD=4cm,那么拱形的半径是_ _m.ABDCO8009.如图，直径为1000mm的圆柱形水管有积水（阴影部分），水面的宽度AB为800mm，求水的最大深度CDABCD图10.如图，已知ABC中，ACB=90，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，CA为半径作圆交斜边AB于D，则AD的长为 。11.已知:如图,在O中,弦AB的长是半径OA的倍,C为弧AB的中点,AB、OC相交于点M.试判断四边形OACB的形状,并说明理由.OABDCEFMN12.如图所示，在O中，弦ABAC，弦BDBA，AC、BD交直径MN于E、F.求证：ME=NF.ABMNCP13.（思考题）如图，与交于点A，B，过A的直线分别交，于M,N，C为MN的中点，P为的中点，求证：PA=PC.【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1.已知O的直径AB=10cm，弦CDAB，垂足为M。且OM=3cm，则CD= .2D是半径为5cm的O内的一点，且D0=3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB= cm.3.若圆的半径为2cm，圆中一条弦长为cm，则此弦所对应弓形的弓高是 .4.已知O的弦AB=2cm,圆心到AB的距离为n,则O的半径R= ，O的周长为 . O的面积为 .5在O中，弦AB=10cm，C为劣孤的中点，OC交AB于D，CD=1cm，则O的半径是 .6O中，AB、CD是弦，且ABCD，且AB=8cm，CD=6cm，O的半径为5cm，连接AD、BC，则梯形ABCD的面积等于 .AEFBCDO7如图，O的半径为4cm，弦AB、CD交于E点，AC=BC，OFCD于F，OF=2cm，则BED= .8已知O的半径为10cm，弦MNEF，且MN=12cm，EF=16cm，则弦MN和EF之间的距离为 .三圆周角与圆心角【考点速览】考点1圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由考点2定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半Eg: 如下三图，请证明。 考点34. 推论：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形经典例题例1：下图中是圆周角的有 .是圆心角的有 。 OABC 例2：如图，A是O的圆周角，且A35,则OBC=_.BOCA例3：如图，圆心角AOB=100，则ACB=EFCDGO例（例）例：如图，是O的直径，点都在O上，若，则 例5：如图2，O的直径过弦的中点，则 例6：已知：如图，AD是O的直径，ABC=30，则CAD=_._D_C_B_A_O 例7：已知O中，则O的半径为AOBDCGF1E例8 已知：如图所示，是O的内接三角形，O的直径BD交AC于E，AFBD于F，延长AF交BC于G求证：考点练习1.如图，已知是O的圆周角，则圆心角是（）A B. C. D. 2.已知：如图，四边形ABCD是O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则BPC的度数是（ ）A45 B60 C75 D903.ABC中，A30，B60，AC6，则ABC外接圆的半径为（） A B C D34.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（ ） A30 B150 C30或150 D60BEDACO5.如图所示，AB是O的直径，ADDE，AE与BD交于点C，则图中与BCE相等的角有（ ）A2个 B3个 C4个 D5 个 6.下列命题中，正确的是（ ）顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；的圆周角所对的弦是直径；不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同弧所对的圆周角相等ABCOABCD7.如图，O是等边三角形的外接圆，O的半径为2，则等边三角形的边长为（ ）ABCD（第9题）A8.如图，ABC内接于O，BAC=120，AB=AC，BD为 O的直径，AD=6，则BC 。9.如图9，有一圆形展厅，在其圆形边缘上的点处安装了一台监视器，它的监控角度是为了监控整个展厅，最少需在圆形边缘上共安装这样的监视器 台。ABOCxPO10.如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则1的度数为 。11.如图, AB是O的直径，点C在O上，BAC=30，点P在线段OB上运动.设ACP=x，则x的取值范围是 .12.如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为的方向折向行走。按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时AOE56，则的度数是 . 13.如图，已知A、B、C、D是O上的四个点，ABBC，BD交AC于点E，连接CD、AD（1）求证：DB平分ADC；（2）若BE3，ED6，求AB的长14.如图所示，已知AB为O的直径，CD是弦，且ABCD于点E连接AC、OC、BCEDBAOC（1）求证：ACO=BCD （2）若EB=，CD=，求O的直径15.如图，在RtABC中，ACB90，AC5，CB12，AD是ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE。（1）求证：ACAE；ACBDE（2）求ACD外接圆的半径。16.已知：如图等边内接于O，点是劣弧上的一点（端点除外），延长至，使，连结（1）若过圆心，如图，请你判断是什么三角形？并说明理由AOCDPB图AOCDPB图（2）若不过圆心，如图，又是什么三角形？为什么？四圆心角、弧、弦、弦心距关系定理【考点速览】圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等推论：在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.（务必注意前提为：在同圆或等圆中）ABEFOOPOCO1O2ODO例1如图所示，点O是EPF的平分线上一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于A、B和C、D，求证：AB=CD例2、已知：如图，EF为O的直径，过EF上一点P作弦AB、CD，且APF=CPF。求证：PA=PC。OABC例3如图所示，在中，A=，O截的三条边长所得的三条弦等长，求BOC.OCAEBD例4如图，O的弦CB、ED的延长线交于点A，且BC=DE求证：AC=AE 例5如图所示，已知在O中，弦AB=CB，ABC=，ODAB于D，OEBC于EOADEBC求证：是等边三角形综合练习一、选择题 1下列说法中正确的是（ ）A、相等的圆心角所对的弧相等 B、相等的弧所对的圆心角相等 C、相等的弦所对的弦心距相等 D、弦心距相等，则弦相等 2如图，在O中，AB的度数是，OBC=，那么OAC等于（ ）O图ABCA、 B、 C、 D、 3P为O内一点，已知OP=1cm，O的半径r=2cm，则过P点弦中，最短的弦长为（ ）A、1cm B、cm C、cm D、4cm 4在O中，AB与CD为两平行弦，ABCD，AB、CD所对圆心角分别为，若O的半径为6，则AB、CD两弦相距（ ）A、3 B、6 C、 D、5.如图所示，已知ABC是等边三角形，以BC为直径的O分别交AB、AC于点D、E。（1）试说明ODE的形状；（2）如图2，若A=60，ABAC，则的结论是否仍然成立，说明你的理由。AOBEDCGF6 如图，ABC是等边三角形，O过点B，C，且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DFAC，EF的延长线交BC的延长线于点G.（1）求证：BEF是等边三角形；（2）BA=4，CG=2，求BF的长.7 已知：如图，AOB=90，C、D是弧AB的三等分点，AB分别交OC、OD于点E、F。求证：AE=BF=CD。【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1.如图1，内接于，则的半径为（ ）. AB4CD52.如图2，在中，点C是AB的中点，则等于（ ）. ABCD如图1如图2 3.如图3，A、B、C、D是上四点，且D是AB的中点，CD交OB于E，= 度.4.如图4，已知AB是的直径，C、D是上的两点，则的度数是 .如图3如图4如图55.如图5，AB是半圆的直径，E是BC的中点，OE交弦BC于点D，已知BC=8cm,DE=2cm，则AD的长为 cm.6如图所示，在O中，AB是直径，COAB，D 是CO的中点，DEAB求证:EC=2EAABODEC五圆内接四边形【考点速览】圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。圆内接梯形为等腰梯形，圆内接平行四边形为矩形。判断四点共圆的方法之一：四边形对角互补即可。【典型例题】例1 （1）已知圆内接四边形ABCD中，A:B:C=2:3:4，求D的度数ABCDO（2）已知圆内接四边形ABCD中，如图所示，AB、BC、CD、AD的度数之比为1:2:3:4,求A、B、C、D的度数例2 四边形ABCD内接于O，点P在CD的延长线上，且APBD求证：ADCBOPABCDO例3 如图所示，是等边三角形，D是BC上任一点求证：DB+DC=DA例4 AB是O的直径，弦DEAB，弦AF和DE的延长线交于C，连结DF、EF，求证：ABCDEO例5 如图所示，在中，AB=AC，过A点的直线与的外接圆交于E，与BC的延长线交于D求证：【考点速练】1圆内接四边形的对角 ，并且任何一个外角都 它的内对角2已知四边形ABCD内接于O，则A:B:C:D=3:2: :7，且最大的内角为 ABCEDO3如右图，已知四边形ABCD内接于O，AECD于E，若ABC=，则DAE= 4已知圆内接四边形ABCD的A、B、C的外角度数比为2:3:4，则A= ，B= 5圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 6若E是圆内接四边形ABCD的边BA的延长线上一点，BD=CD，EAD=，则BDC= 7四边形ABCD内接于圆，A、C的度数之比是5:4，B比D大，则A= 。D= 8圆内接四边形ABCD中，A、B、C的度数比是2：3：6,则D的度数是（ ） A、B、C、D、9如图1所示，圆的内接四边形ABCD，DA、CB延长线交于P，AC和BD交于Q，则图中相似三角形有（ ） A、1对B、2对C、3对D、4对10如果圆的半径是15，那么它的内接正方形的边长等于（ ） A、B、C、D、11下列四边形中，有外接圆的四边形是（ ） A、有一个角为的平行四边形B、菱形 C、矩形D、直角梯形12如图2，四边形ABCD是圆的内接四边形，如果BCD的度数为，那么C等于（ ） A、B、C、D、13若四边形ABCD内接于圆，且A:B:C:D=5:m:4:n，则（ ）ADBCO图2 A、5m=4nB、4m=5nC、m+n=9D、m=n=ADCBPQ图114如图，已知O的半径为2，弦AB的长为，点C与点D分别是劣弧AB与优弧ADB上任一点（点C、D均不与A、B重合）.(1)求；ABCOD(2)求三角形ABD的最大面积15如图所示，已知ABC内接于O，AB=AC，点D为劣弧BC上一动点（不与B、A、C重合），直线AD与BC交于E点，连结BD、DC. （1）求证:BDDC=DEDA； （2）若将D改为优弧BAC上一动点（不与B、A、C重合），其他条件均不改变，则（1）中的结论还成立吗？请画图并证明你的结论.ABCOAEDCB【作业】日期 姓名 完成时间 成绩 1过四边形ABCD顶点A、B、C作一个圆，若B+D，则D点在（ ） A、圆上B、圆内C、圆外D、不能确定2如图1，若AC=AD，那么圆中相等的圆周角所有的对数共有（ ） A、5对B、6对C、7对D、8对 3如图2，已知的外角BCD的平分线CE交的外接圆于E，则是（ ） A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形4如图3，四边形ABCD是O的内接四边形，AE是O的弦，且AECD，若B=，则DAE为（ ）ABCDEO图3ABCD图1 A、B、C、D、ABCDE图2ABDCO5已知：如图所示，四边形ABCD内接于O，BD是O直径，若DAC=，BC=，AD=5求AC的长六会用切线，能证切线考点速览：考点1直线与圆的位置关系图形公共点个数d与r的关系直线与圆的位置关系0dr相离1d=r相切2dr相交考点2切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。符号语言 OA l 于A， OA为半径 l 为O的切线考点3判断直线是圆的切线的方法：与圆只有一个交点的直线是圆的切线。圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径）考点4切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）经典例题：例1.如图，ABC内接于O， AB是 O的直径，CAD ABC，判断直线AD与O的位置关系，并说明理由。例2.如图,OA=OB=13cm，AB=24cm，O的半径为5cm，AB与O相切吗？为什么?例3.如图,PA、PB是O的切线，切点为A、B，C是O上一点，若P40。，求C的度数。ABCEOD例4如图所示，中，以AC为直径作O交AB于D，E为BC中点。求证：DE是O的切线例5如图10，以点M（1,0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y x 与M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F （1）请直接写出OE、M的半径r、CH的长；（3分）（2）如图11，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH3:2，求cosQHC的值；（3分）（3）如图12，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交M于点T，弦AT交x轴于点N是否存在一个常数a，始终满足MNMKa，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由（3分） xDABHCEMOF图10xyDABHCEMO图11PQxyDABHCEMOF图12NKy中考链接1.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB.试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由。2. 如图，在RtABC中，C=90。 ，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E，且CBD= A，判断BD与O的位置关系，并证明你的结论。3.如图，AB是O的直径，AB=10，DC切O于点C，ADDC，垂足为D，AD交O于点E。（1）求证：AC平分BAD；（2）若sinBEC=，求DC的长。4如图，点D是O的直径CA延长线上一点，点B在O上，且ABADAO（1）求证：BD是O的切线（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且BEF的面积为8，cosBFA，求ACF的面积课堂速练（1）1 判断垂直于半径的直线是圆的切线。（ ）过半径外端的直线是圆的切线。（ ）与圆有公共点的直线是圆的切线。（ ）圆的切线垂直于半径。（ ）2 如图，AC切O于点A，BAC37。，则AOB的度数为（ ）A. 64。 B. 74。 C. 83。 D. 84。 3. 如图，AB与O相切于B，AO的延长线交O于点C，连接BC，若A36。则C_4 如图，AB是O的直径，C是O上一点，ABC=30。过点A作O的切线交BC的延长线于点D，则CAD_5如图，AB是O的直径，直线CD与O相切于点C，BAC50。，ACD=_6如图，AB为O的直径，BC切O于B，CO交O于点D，AD的延长线交BC于E，若C=25。求A的度数7如图10-1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， 交轴于 两点，交轴于两点，且为弧AE的中点，交轴于点，若点的坐标为（2，0），(1)求点的坐标. (2)连结，求证：(3)如图10-2，过点作的切线，交轴于点.动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. 七切线长定理考点速览：考点1切线长概念： 经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长 切线长和切线的区别AAOACADABAPA 切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量考点2 切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角要注意：此定理包含两个结论，如图，PA、PB切O于A、B两点，PA=PB PO平分考点3 两个结论： 圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长经典例题：例1 已知PA、PB、DE分别切O于A、B、C三点，若PO=13，的周长为24，AEPDBCO求：O的半径；若，的度数例2 如图，O分别切的三边AB、BC、CA于点D、E、F，若EFDCOAB（1）求AD、BE、CF的长；（2）当，求内切圆半径rEFDCOAB例3如图，一圆内切四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？例4 如图甲，直线与轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C是第二象限内任意一点，以点C为圆心与圆与轴相切于点E，与直线AB相切于点F.（1）当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；（2）如图乙，若C与轴相切于点D，求C的半径r；（3）求m与n之间的函数关系式；（4）在C的移动过程中，能否使是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？AOCDBBBEF考点速练1：1如图，O是的内切圆，D、E、F为切点，则 AOCDBBBEFGB2直角三角形的两条直角边为5、12，则此直角三角形的外接圆半径为 ，内切圆半径为 3如图，直线AB、BC、CD分别与O相切于点E、F、G，且ABCD，若OB=6，OC=8，则 ，O的半径= ，BE+CG= AOPBBBM4如图，PA、PB是O的切线，AB交OP于点，若，则O的半径是 考点速练（2）1如图，在中，以BC边上一点O为圆心作O与AB相切于E，与AC相切于C，又O与BC的另一个交点D，则线段BD的长 2如图，内接于O，AB为O直径，过C点的切线交直径AB的延长线于P，则 AEDBOC题1APBOC题24、PA、PB是O切线，A、B切点，APB780，点C是O上异于A、B任一点，那么ACB。5、若直角三角形斜边长为10cm，其内切圆半径为2cm，则它的周长为_。6、如图，O是RtABC的内切圆，ACB900，且AB13，AC12，则图中阴影部分的面积是（）A、B、C、D、7连结圆的两条平行切线的切点的线段，是这个圆的 8.如图1，AB是O的直径，直线MN切半圆于C，AMMN，BNMN，若AM=，BN=，则AB= .9如图2，AB是O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切O于C，则D= ，ACD= ，若半径为，AC= ABDCO图2MCAOBN图110经过圆的直径两端点的切线必互相 11.如图，在，点P在AC上，AP=2，若的圆心在线段BP上，且与AB、AC都相切，则的半径是（ ）.A1 B C D12.如图，四边形ABCD是直角梯形，以垂直于底的腰AB为直径的O与腰CD相切于E，若此圆半径为6，梯形ABCD的周长为38，求梯形的上、下底AD、BC的长AODBBBCE八三角形内切圆考点速览考点1概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形考点2三角形外接圆与内切圆比较：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边中垂线的交点（1）OA=OB=OC；（2）外心不一定在三角形的内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条角平分线的交点（1）到三边的距离相等；（2）OA、OB、OC分别平分BAC、ABC、ACB；（3）内心在三角形内部考点3求三角形的内切圆的半径1、直角三角形ABC内切圆O的半径为.2、一般三角形已知三边，求ABC内切圆O的半径r. （海伦公式S ， 其中s=)经典例题：例1阅读材料：如图（1），ABC的周长为L，内切圆O的半径为r，连结OA，OB，ABC被划分为三个小三角形，用SABC表示ABC的面积 SABC =SOAB +SOBC +SOCA 又SOAB =ABr，SOBC =BCr，SOCA =ACr SABC =ABr+BCr+CAr =Lr（可作为三角形内切圆半径公式） （1）理解与应用：利用公式计算边长分为5，12，13的三角形内切圆半径； （2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆，如图（2）且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式；（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1，a2，a3，an，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）例2如图，ABC中，A=m （1）如图（1），当O是ABC的内心时，求BOC的度数； （2）如图（2），当O是ABC的外心时，求BOC的度数；（3）如图（3），当O是高线BD与CE的交点时，求BOC的度数例3如图，RtABC中，AC=8，BC=6，C=90，I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求RtABC的内心I与外心O之间的距离考点速练1：1如图1，O内切于ABC，切点为D，E，F已知B=50，C=60，连结OE，OF，DE，DF，那么EDF等于（ ）A40 B55 C65 D70 图1 图2 图32如图2，O是ABC的内切圆，D，E，F是切点，A=50，C=60，则DOE=（ ） A70 B110 C120 D1303如图3，ABC中，A=45，I是内心，则BIC=（ ） A112.5 B112 C125 D554下列命题正确的是（ ） A三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等 B三角形的内心不一定在三角形的内部 C等边三角形的内心，外心重合 D一个圆一定有唯一一个外切三角形5在RtABC中，C=90，AC=3，AB=5，则它的内切圆与外接圆半径分别为（ ） A1.5，2.5 B2，5 C1，2.5 D2，2.56如图，在ABC中，AB=AC，内切圆O与边BC，AC，AB分别切于D，E，F （1）求证：BF=CE