no.910 第二章 静电场泊松方程和拉普拉斯方程讲解学习.ppt

静电场计算中的两类问题 已知场空间分布 求源电荷分布 利用高斯定理的微分形式 已知源电荷分布 求空间场分布 边值问题 利用高斯定理的积分形式 当电场分布具有某种空间对称性 直接法 间接法 2 5泊松方程和拉普拉斯方程 微分形式 积分形式 2 5 1静电场的基本方程 本构关系 线形 各向同性媒质 静电场 无旋有散场 2 5 2泊松方程和拉普拉斯方程 电位满足的泊松方程 当场中无电荷分布 即 的区域 拉普拉斯方程 拉普拉斯算子 拉普拉斯算子在不同坐标系中的计算公式 直角坐标系中 圆柱坐标系中 球坐标系中 四 一维泊松方程的求解 P 66例2 9例2 10 例1设有一个半径为a的球体 其中均匀充满体电荷密度为 v C m3 的电荷 球内外的介电常数均为 0 试用电位微分方程 求解球内 外的电位和电场强度 解 设球内 外的电位分别为 1和 2 1满足泊松方程 2满足拉普拉斯方程 由于电荷均匀分布 场球对称 所以 1 2均是球坐标r的函数 1 分别列出球内 外的电位方程 当r a时 当r a时 将上述两个方程分别积分两次可得 1 2的通解 2 根据边界条件 求出积分常数A B C D 边界条件是 r a 1 2 r a r 2 0 以无限远处为参考点 r 0 因为电荷分布球对称 球心处场强E1 0 即Er 0 由上述条件 确定通解中的常数 例2如图所示三个区域 它们的介电常数均为 0 区域2中的厚度为d m 其中充满体电荷密度为 v C m3 的均匀体电荷 分界面为无限大 试分别求解 区域的位函数与电场强度 平板形体电荷的几何关系 解 设 区域的电位函数分别为 1 y 2 y 3 y 1 分别列出三个区域的电位方程 在 两个区域内电位满足拉普拉斯方程 而第 区域的电位满足泊松方程 将上面三个方程分别分两次可得 由场分布的y 0平面对称性 可知 3 y 1 y 所以我们只需求解 1和 2 也就是只要根据边界条件确定常数C1 C2 C3 C4 2 由边界条件确定常数 边界条件为 时 1 2 交界面上无自由面电荷 y 0 2 0因体电荷板无限大 不能选择无限远处为参考点 这里选择y 0处为参考点 由场分布的对称性 2 y 2 y 由条件 可得 由条件 可得 根据公式 可求得三个区域的电场分布 场量在不同媒质分界面上各自满足的关系将场量在分界面上分解成 法向normal分量 以下标n表示 垂直于分界面切向tangency分量 以下标t表示 平行于分界面 由静电场基本方程的积分形式 2 6分界面上的边界条件 两种不同媒质分界面的边界条件 两种不同媒质分界面的边界条件 法向边界条件 切向边界条件 法向边界条件 一 D满足的边界条件 若界面上无自由电荷分布 即在 S 0时 结论 若两种媒质交界面上有自由电荷 则D的法向分量不连续 高斯通量定理 1 第一媒质是电介质 第二媒质是导体 静电场中导体内部电场为零 故 两种特殊情况 2 两种介质都是电介质 且分界面上没有自由电荷 即 s 0 则 即 结论 当 1 2时 E的法向分量不连续 其原因是交界面上有束缚面电荷密度 结论 在介质交界面上 电场强度的切向分量始终连续 或 静电场的无旋性 二 E满足的边界条件 三 电位 满足的边界条件 1 第一媒质是电介质 第二媒质是导体 2 两种介质都是电介质 且分界面上没有自由电荷 即 s 0 则 电场方向在交界面上的曲折 两式相除 改写 四 介质分界面上电场方向的关系 边界条件 当两种介质分界面上没有自由电荷 即 s 0 则 静电场的折射定理 边界条件 构成边值问题必不可少的条件 判断不同媒质界面两侧场量的大小 方向及连续 突变 例1同心球电容器的内导体半径为a 外导体的内半径为b 其间填充两种介质 上半部分的介电常数为 1 下半部分的介电常数为 2 如图所示 设内 外导体带电分别为q和 q 求内外导体之间空间的电位移矢量和电场强度 Er1 Er2 Er2 Er1 解 在半径为r的球面上作电位移矢量的面积分 有 例3 11如图所示 两个无限长同轴圆柱 内 外导体半径分别为a和b 两导体间部分填充介电常数为 的电介质 内外导体间的电压为U0 图 a 中电介质与空气分界面的半径为c 图 b 中0 1间部分填充电介质 试对该二同轴线分别求出 1 内 外导体间的电场强度E及电通量密度D 2 导体表面上单位长度的带电量 l 解 因为同轴圆柱是轴对称结构 故只有沿半径 方向的电场 图 a 结构中 电场垂直于介质与空气的交界面 根据两介质交界面上法向分量电通量密度相等的边界条件 可知道不同介质内D的表示式相同 而在图 b 结构中 电场平行于介质与空气交界面 由交界面上电场强度切向分量连续的边界条件 得知不同介质内E的表示式相同 1 图 a 结构 当 c时 令内 外导体表面上单位长度电量分别为 l l C m 根据高斯定理可得 a c时 c b时