2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案.docx

乐考无忧，为您的考研之路保驾护航！2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题参考答案一、选择题(1)【答案】 (B).【解析】因为有间断点,又因为,其中,所以为跳跃间断点.显然,所以为连续点.而,所以为无穷间断点,故答案选择B.(2)【答案】 (A)【解析】因是的解,故,所以,而由已知 ,所以 , 又由于一阶次微分方程是非齐的,由此可知,所以由于是非齐次微分方程的解,所以,整理得 ,即 ,由可知, 由求解得,故应选(A)(3)【答案】 (C).【解析】因为曲线与曲线相切,所以在切点处两个曲线的斜率相同,所以,即.又因为两个曲线在切点的坐标是相同的,所以在上,当时；在上,时, .所以.从而解得.故答案选择(C).(4)【答案】 (D).【解析】与都是瑕点.应分成,用比较判别法的极限形式,对于,由于.显然,当,则该反常积分收敛.当,存在,此时实际上不是反常积分,故收敛.故不论是什么正整数,总收敛.对于,取,不论是什么正整数,所以收敛,故选(D). (5) 【答案】 (B).【解析】, (6) 【答案】 (D).【解析】. (7) 【答案】 (A)【解析】由于向量组能由向量组线性表示,所以,即若向量组线性无关,则,所以,即,选(A).(8) 【答案】 (D).【解析】：设为的特征值,由于,所以,即,这样的特征值只能为-1或0. 由于为实对称矩阵,故可相似对角化,即, ,因此,即.二、填空题(9)【答案】.【解析】该常系数线性齐次微分方程的特征方程为 ,因式分解得,解得特征根为,所以通解为.(10) 【答案】.【解析】因为,所以函数存在斜渐近线,又因为,所以斜渐近线方程为.(11)【答案】.【解析】由高阶导数公式可知,所以 ,即.(12)【答案】.【解析】因为 ,所以对数螺线的极坐标弧长公式为=.(13)【答案】3.【解析】设,由题意知,在时刻,且 ,设该对角线长为,则 ,所以.所以 .(14)【答案】3.【解析】由于,所以因为,所以,因此.三、解答题【解析】因为,所以,令,则.又,则,所以是极大值.而,所以为极小值.又因为当时,；时,；时,；时,所以的单调递减区间为,的单调递增区间为.(16) 【解析】 (I)当时,故,所以,则 .(II) ,故由,根据夹逼定理得,所以. (17)【解析】根据题意得即,整理有,解,令,即.所以,.因为,所以,故,即,故又由,所以,故.(18)【解析】油罐放平,截面如图建立坐标系之后,边界椭圆的方程为：阴影部分的面积令时时.所以油的质量.(19)【解析】由复合函数链式法则得, 故所以,则或,或.又因为当为时方程(3)不满足,所以当为,满足题意.(20)【解析】 .(21)【解析】令,对于在上利用拉格朗日中值定理,得存在 使得对于在上利用拉格朗日中值定理,得存在使得,两式相加得.所以存在,使.(22) 【解析】因为方程组有两个不同的解,所以可以判断方程组增广矩阵的秩小于3,进而可以通过秩的关系求解方程组中未知参数,有以下两种方法.方法1：( I )已知有2个不同的解,故,对增广矩阵进行初等行变换,得当时,此时,故无解(舍去)当时,由于,所以,故 ,. 方法2：已知有2个不同的解,故,因此,即,知或-1. 当时,此时,无解,因此.由,得. ( II ) 对增广矩阵做初等行变换可知原方程组等价为,写成向量的形式,即.因此的通解为 ,其中为任意常数. (23)【解析】由于,存在正交矩阵,使得为对角阵,且的第一列为,故对应于的特征向量为.根据特征值和特征向量的定义,有,即,由此可得.故.由,可得的特征值为.由,即,可解得对应于的线性无关的特征向量为.由,即,可解得对应于的特征向量为.由于为实对称矩阵,为对