2019-2020学年黄山市高二上学期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年安徽省黄山市高二上学期期末数学（理）试题一、单选题1若命题p是真命题，命题q是假命题，则下列命题一定是真命题的是()ApqBpqCpqDp【答案】D【解析】根据命题q是假命题，命题p是真命题，结合复合命题真假判断的真值表，可判断出复合命题的真假，进而得到答案【详解】命题q是假命题，命题p是真命题，“pq”是假命题，即A错误；“pq”是假命题，即B误；“pq”是假命题，即C错误；“ ”是真命题，故D正确错；故选D【点睛】本题考查的知识点是复合命题的真假，熟练掌握复合命题真假判断的真值表，是解答的关键2在直角坐标系中，直线的倾斜角是（ ）A30B60C120D150【答案】D【解析】根据直线方程得到直线的斜率后可得直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，则，因，故，故选D.【点睛】直线的斜率与倾斜角的关系是：，当时，直线的斜率不存在，注意倾斜角的范围.3直线过点，且与轴正半轴围成的三角形的面积等于的直线方程是（ ）ABCD【答案】A【解析】设ykxb，由题意得k0，b0，且解得【考点】点斜式方程及三角形的面积.4已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则【答案】A【解析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果.【详解】选项：由线面垂直的性质定理可知正确；选项：由线面垂直判定定理知，需垂直于内两条相交直线才能说明，错误；选项：若，则平行关系不成立，错误；选项：的位置关系可能是平行或异面，错误.故选：【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.5在正四面体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】D【解析】取中点，由三角形中位线性质可知，由此可得所求角为；在中，利用余弦定理求得结果.【详解】取中点，连接，设正四面体棱长为为中点 且异面直线与所成角即为与所成角，即又 即异面直线与所成角的余弦值为故选：【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行移动，将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题.6双曲线的离心率是（ ）AB2CD【答案】C【解析】由双曲线方程得到，进而求得离心率.【详解】由双曲线方程知：， 故选：【点睛】本题考查根据双曲线标准方程求解离心率的问题，属于基础题.7已知某运动员每次投篮命中的概率低于，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）A0.35B0.25C0.20D0.15【答案】B【解析】根据随机数组中的两次命中的组数，根据古典概型概率公式可求得结果.【详解】组随机数中恰有两次命中的组数为组该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为故选：【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，属于基础题.8点与圆的位置关系为（ ）A点在圆外B点在圆内C点在圆上D与的值有关【答案】A【解析】将点的坐标代入圆的方程即可判断得到结果.【详解】 在圆外故选：【点睛】本题考查点与圆的位置关系的判定，属于基础题.9已知直三棱柱的6个顶点都在球的表面上，若，则球的体积为（ ）ABCD【答案】C【解析】将直三棱柱的外接球转化为长方体外接球的问题，通过求解长方体外接球半径，进而得到球的体积.【详解】可将直三棱柱补成如下图所示的长方体，则长方体的外接球即为直三棱柱的外接球球的半径 球的体积故选：【点睛】本题考查直棱柱外接球的体积的求解问题，涉及到球的体积公式的应用；关键是能够通过补全几何体的方式，将问题转化为长方体外接球的求解问题；同时明确长方体外接球半径为其体对角线长度的一半.10椭圆mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是（ ）A B C D 【答案】A【解析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由直线方程与椭圆方程联立，消去y，得x的一元二次方程，由韦达定理得，从而可表示出MN的中点的坐标，由已知斜率可求得【详解】由得(mn)x22nxn10.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2，所以y1y2，所以线段MN的中点为P，.由题意知，kOP，所以故选：A.【点睛】本题考查椭圆弦中点的性质掌握此性质本题易解：椭圆的弦的中点为，则11已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则等于（ ）A4BCD3【答案】D【解析】由可得，结合抛物线的定义可得到，利用焦半径公式和横坐标关系表示出，求得点横坐标，利用焦半径公式得到结果.【详解】作，轴，垂足分别为 由抛物线定义知： 即设，则，解得： 故选：【点睛】本题考查抛物线焦半径的求解，关键是能够通过向量共线的特点得到线段长度之间的比例关系.12如图所示正方体中，设是底面正方形所在平面内的一个动点，且满足直线与直线所成的角等于，则以下说法正确的是（ ）A点的轨迹是圆B点的轨迹是椭圆C点的轨迹是双曲线D点的轨迹是抛物线【答案】B【解析】以为原点建立空间直角坐标系，可利用异面直线夹角的向量求法构造等量关系，整理可得点的轨迹方程，从而确定轨迹图形.【详解】以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系设正方体棱长为，则，左右平方整理可得：，即点轨迹为点轨迹为椭圆故选：【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.二、填空题13分别写有数字1，2，3，4的4张卡片，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是_【答案】【解析】试题分析：从这4张卡片中随机抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）6种抽法，其中取出的2张卡片上的数字之和为偶数为（1，3），（2，4）共2种，故取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率是【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率14双曲线的渐近线方程为_.【答案】【解析】由双曲线方程可得，由此可得渐近线方程.【详解】由双曲线方程知：， 渐近线方程为：故答案为：【点睛】本题考查由双曲线方程求解渐近线方程的问题，属于基础题.15过点(3，1)作圆的弦，其中最短的弦长为_.【答案】【解析】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成，所以最短弦长为【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系，考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到，本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.16已知一个圆锥的底面半径为1，高为2，在其中有一个高为的内接圆柱，当高变化时，圆柱侧面积的最大值为_.【答案】【解析】根据轴截面中的平行关系可得到圆柱底面半径与高之间的关系，根据圆柱侧面积公式可得到关于高的函数关系式，根据二次函数性质可得所求最值.【详解】圆锥和圆柱的轴截面如下图所示：则， ，则 圆柱侧面积当时，故答案为：【点睛】本题考查圆柱侧面积最值的求解问题，关键是能够得到底面半径与高之间的比例关系，从而将侧面积表示为关于高的函数的形式；解决圆柱和圆锥相关问题时，常采用轴截面的形式来进行研究和求解.三、解答题17已知：，：，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】【解析】解一元二次不等式可得解集，由推出关系可知，从而得到不等式组求得结果.【详解】由得：，由得：，是的充分不必要条件 且等号不同时取得，解得：即实数的取值范围为【点睛】本题考查根据充分条件与必要条件求解参数范围的问题，关键是能够根据充分与必要条件得到两个集合之间的包含关系.18已知点，圆：.（1）若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值；（2）求过点的圆的切线方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）由圆的方程得到圆心和半径，根据垂径定理可得圆心到直线距离，利用点到之间距离公式可构造方程求得；（2）当过的直线斜率不存在时，方程为，满足题意；当切线斜率存在时，可假设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径构造方程求得斜率，从而得到切线方程.【详解】（1）由圆方程知：圆心，半径到直线的距离 ，即，解得：（2）当直线斜率不存在时，其方程为：，为圆的切线当切线斜率存在时，设其方程为：，即到它的距离，解得：，即切线方程为：过点的圆的切线方程为或.【点睛】本题考查直线被圆截得弦长问题、过圆外一点圆的切线方程的求解；关键是明确直线被圆截得弦长为；易错点是在求解过圆外一点圆的切线时，忽略切线斜率不存在的情况，造成求解错误.19如图，长方体中，为的中点，分别为棱，的中点.（1）求证：平面平面；（2）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据中位线和平行四边形的性质，以及线面平行判定定理可分别证得平行于平面，根据面面平行判定定理证得结论；（2）作，通过线面垂直的判定可证得平面，由此可知所求角为，利用三角形相似可求得，从而可求得.【详解】（1）分别为的中点 平面，平面 平面 四边形为平行四边形 平面，平面 平面，平面 平面平面（2）作于，连平面，平面 ，平面 平面则为直线和平面所成的角由与相似可得：，又即直线和平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查立体几何中面面平行关系的证明、直线与平面所成角的求解问题，涉及到线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、线面垂直的判定与性质定理的应用等知识；求解直线与平面所成角的关键是能够通过线面垂直关系将所成角放入直角三角形中来进行求解.20已知平面内一动点（）到点的距离与点到轴的距离的差等于1，（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于不同于坐标原点的两点，求面积的最小值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据平面内一动点到点的距离与点到y轴的距离的差等于1，可得当时，点到的距离等于点到直线的距离，所以动点的轨迹为抛物线；（2）过点的直线的方程为，代入，可得，利用韦达定理，结合面积，即可求面积的最小值试题解析：（1）平面内一动点到点的距离与点到轴的距离的差等于1，当时，点到的距离等于点到直线的距离，动点的轨迹为抛物线，方程为（）；动点的轨迹C的方程为（）；（2）设点坐标为，点坐标为，过点的直线的方程为，代入，可得，面积，时，面积的最小值为2【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题21如图，四棱锥的底面为直角梯形，且，平面底面，为的中点，为等边三角形，是棱上的一点，设（与不重合）.（1）若平面，求的值；（2）当时，求二面角的大小.【答案】（1）1；（2）.【解析】（1）连接，交于点，连接，根据已知的平行和长度关系可证得为中点；根据线面平行的性质可知，由此可得为中点，从而求得结果；（2）作，由垂直关系可知所求二面角的平面角为，根据比例关系可求得，进而得到所求二面角的大小.【详解】（1）为中点 四边形为平行四边形 ，则 为等边三角形且 ，且，连接，交于点，连接 为中点平面，平面，平面平面 为中点 （2）为的中点，为等边三角形 平面底面，平面底面，平面底面连接，作交于点，则底面 作交于点，则，连接平面， 平面 为二面角的平面角， ， 即二面角的大小为【点睛】本题考查立体几何中利用线面平行性质求解参数值、二面角的求解问题，涉及到线面平行的性质定理、线面垂直的判定与性质定理的应用；求解二面角问题的关键是能够通过垂直关系得到二面角的平面角，进而利用三角形的知识来进行求解.22椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于点，的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若.当时，求直线的方程；证明是定值，并求出此定值.【答案】（1）；（2）或；证明见解析，.【解析】（1）根据周长和焦点坐标可得到关于的方程组，解方程组求得，进而得到椭圆方程；（2）设直线，代入椭圆方程可得与；由可得，代入与中，消去即可得到关于的方程，解方程