一元一次不等式组的解法.doc

第二章一元一次不等式与一元一次不等式组6一元一次不等式组1.通过具体问题抽象出不等式组.2.理解一元一次不等式组及其解集的意义,会用数轴表示不等式组的解集.3.体会利用不等式组解决简单实际问题的方法.4.培养学生的抽象概括能力.5.体会数形结合思想的魅力.教学时通过具体的实例启发学生建立不等式组模型,让学生通过观察、交流得到不等式组的概念,通过学生自己的独立探索得出不等式组的解集.通过运用不等式组解决简单的实际问题,提高学生分析问题、解决问题的能力,体会数学与生活的密切联系.【重点】掌握一元一次不等式组的有关概念.【难点】求一元一次不等式组的解集.第课时1.理解一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集、解不等式组等概念.2.会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.通过操作、观察、归纳,运用类比的思想方法总结出一元一次不等式组、一元一次不等式组的解集、解不等式组这些概念,发展学生的类比推理能力.培养学生独立思考的习惯与合作交流意识.【重点】1.理解有关一元一次不等式组的概念.2.会解一元一次不等式组,并会用数轴确定其解集.【难点】在数轴上确定不等式组的解集.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习一元一次不等式的解法.导入一:解下列不等式,并把解集在数轴上表示出来:(1)2x-1x+1;(2)x+84x-1;(3)2x+3x+11;(4)-15;(2)6x-51.探索:用每分钟可抽30吨水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水在1200吨到1500吨之间,那么大约需要多长时间才能将污水抽完?分析:设需要x分钟才能将污水抽完,那么总的抽水量为30x吨.由积存的污水在1200吨到1500吨之间,可得120030x1500.设计意图通过一个具体的问题引入一元一次不等式组的概念,学生在研究这一具体问题时,自然感知到要解决的问题同时满足两个约束条件,而这两个约束条件都是不等式,这样引入不等式组的概念比较自然.一、一元一次不等式组的有关概念过渡语 同学们,我们来看下面的问题,看看大家能不能解决.某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月.如果每月比计划多烧5吨煤,那么取暖用煤总量将超过100吨;如果每月比计划少烧5吨煤,那么取暖用煤总量不足68吨.若该校计划每月烧煤x吨,则x满足怎样的关系式?师:这是一个实际问题,请大家先理解题意,弄清已知条件和未知元素,从而确定用哪一个知识点来解决问题,即先把实际问题转化为数学问题,再求解.生:已知条件有:取暖时间为4个月,未知量是计划每月烧煤的吨数x,当每月比原计划多烧5吨煤时,每月实际烧煤(x+5)吨,这时总量4(x+5)100;当每月比原计划少烧5吨煤时,实际每月烧(x-5)吨煤,这时总量4(x-5)100,且4(x-5)20,x,解不等式,得x6,在同一条数轴上表示不等式的解集,如图所示:因此,原不等式组的解集为xb):(1)当不等号的方向一致时(称同向不等式),即或对这类不等式组可按“同大取大,同小取小”的法则,即取公共部分作为它的解集(如图所示).(2)当未知数的取值小于大数且大于小数时,即则不等式组的解集在两数之间,取公共部分(如图所示).(3)若未知数的取值比大数还大,比小数还小,即则不等式组无解,即没有公共部分(如图所示).1.一元一次不等式组的有关概念.2.一元一次不等式组的解法.1.下列不等式组中,解集是2x3的是()A.B.C.D.答案:C2.在数轴上从左至右的三个数为a,1+a,-a,则a的取值范围是()A.aB.a0D.a0与y-20,则y的取值范围是.答案:-1y1B.x2C.1x2D.1x2答案:D6.不等式组的解集是.答案:-x47.解下列不等式组:(1)(2)解:(1)x.(2)无解.8.解不等式组并把解集表示在数轴上,求出不等式组的整数解.解:解集为-x3,在数轴上表示略.整数解为2,1,0,-1.第1课时一、一元一次不等式组的有关概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第55页随堂练习的1,2题.【选做题】教材第55页习题2.8的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.不等式组的整数解有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.在平面直角坐标系内,点P(2x-6,x-5)在第四象限,则x的取值范围为()A.3x5B.-3x5C.-5x3D.-5x1;x4;x-1.从这四个不等式中取两个,构成正整数解是2的不等式组的组合是()A.与B.与C.与D.与4.方程组的解x,y满足xy,则m的取值范围是()A.mB.mC.mD.m【能力提升】5.若不等式组无解,则m的取值范围是.6.(2015珠海中考改编)不等式组的解集是.7.不等式组的解集为x2,则a的取值范围是.8.若不等式组的解集为-1x1,则(a+1)(b-1)的值等于.9.若不等式组无解,则a的取值范围是.【拓展探究】10.解下列不等式组:(1)2x1-xx+5;(2)11.求同时满足不等式6x-23x-4和-1的整数x的值.12.求不等式组的非负整数解.【答案与解析】1.C(解析:分别求出不等式组中两个不等式的解集,找出解集的公共部分,确定出不等式组的解集,找出解集中的整数解的个数即可.故选C.)2.A(解析:根据第四象限内点的坐标的特征得解得3x4;B.与无解;C.与的解集是x2;D.与的解集是1xy可得到,解得m.故选D.)5.m2(解析:不等式组无解,m+12m-1,解得m2.故填m2.)6.2x37.a28.-3(解析:解不等式组可得解集为2b+3xa+1.因为不等式组的解集为-1x1,所以2b+3=-1,a+1=1,解得b=-2,a=0,所以(a+1)(b-1)=1(-3)=-3.故填-3.)9.a1(解析:不等式组可化为因为不等式组无解,所以4a-15-2a,解得a1.故填a1.)10.解:(1)-2x-3.11.解:解不等式6x-23x-4,得x-;解不等式-1,得x.所以同时满足两不等式的x的值满足-x,所以整数x的值为0.12.解:解不等式组可得其解集为x, 所以不等式组的非负整数解为0,1,2,3,4,5.充分利用数形结合思想来求各个不等式解集的公共部分,即求一元一次不等式组的解集,从而突破了本课的难点,这是本课最突出的亮点.在对整节课的时间把握上有所欠缺,致使拖堂,当然这也存在着经验不足,没有预先设计的问题.还应更注重细节,讲究规范,强调反思.在对本节课系统的回顾、梳理过程中,教师要适时给予恰当引导,发展学生分析问题和解决问题的能力,并给学困生提供更多发言的机会.随堂练习(教材第55页)1.提示:(1)x3.(2)1x.习题2.8(教材第56页)1.提示:(1)x4.(3)2x1.2.提示:不等式组的解集是组成该不等式组的每一个不等式的解集的公共部分,所以,每一个不等式的解集不一定是其组成的不等式组的解集.3.提示:a3.4.解:设大约要用x小时才能将这堆石料装完,根据题意,得180050x2200,解得36x44.答:大约要用36至44小时才能将这堆石料装完.在本章前面几节课的学习中,学生已经学习了一元一次不等式的概念,掌握了解一元一次不等式的基本技能.在相关知识的学习过程中,学生会利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题,感受到了不等式在生活中的广泛应用,同时在以前的数学学习中,学生已经经历了很多合作学习的过程,具有了一定的合作学习的经验,具备了一定的合作与交流的能力,学生已初步掌握了类比思想、化归思想和数形结合思想,认识到类比、化归和数形结合思想在思考、解决数学问题中的优越性,这对本课的学习是有益的,但还要注意加强学生学习的主动性和探究性.一元一次不等式组是从已有的知识构建出发,遵从情境引入的理念,灵活地、创设性地处理教材的一节课.我们知道求未知数取值范围的问题是普遍存在的,在涉及两个以上数量间的大小关系的问题中,不等式组是解决这些问题的有力工具,因此必须学会求解一元一次不等式组,可见本节课在这一章中具有举足轻重的地位.本课时教学应为学生提供个性化的学习时间和空间,鼓励学生利用类比思想和数形结合思想自主探究,合作交流,大胆表述,满足学生多样化的学习要求.此外,二元一次方程组与一元一次不等式组两者之间既有联系又有差异,因此,在教学中一要注重类比,做好从方程组到不等式组的迁移;二要重视化归、数形结合等数学思想方法的渗透.第课时1.会解由两个或两个以上一元一次不等式组成的不等式组,并能用数轴求得解集;2.总结解一元一次不等式组的步骤及情形.通过总结解一元一次不等式组的步骤,培养学生的类比推理能力和不完全归纳能力.1.培养学生独立思考的习惯,加强运算的熟练性与准确性.2.培养学生的合作交流意识与创新意识,为学生在今后的生活和学习中更好地运用数学做准备.【重点】巩固解一元一次不等式组.【难点】讨论求不等式组解集时出现的所有情况,并能清晰地阐述自己的观点.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习上一节一元一次不等式组的解法.导入一:现有两根木条a和b,a长7 cm,b长3 cm,如果要再找一根长为x cm的木条,用这三根木条钉成一个三角形木框,请动手试一试:(1)当x等于14时,能与a和b钉成三角形木框吗?(2)当x等于9时,能与a和b钉成三角形木框吗?(3)当x等于4时,能与a和b钉成三角形木框吗?(4)在什么条件下,长度为3 cm,7 cm,x cm的三条线段可以围成三角形?设计意图引导学生进行操作、观察、发现,激发学生的好奇心和求知欲,让学生亲自动手,亲身体验,使学生理解x并不是可以取任意值,要围成三角形,x的取值有一定的限制,让学生深深感受到数学与生活实际是密不可分的.导入二:上节课我们已经学习了如何解由两个一元一次不等式组成的不等式组,本节课我们将继续加强解法的熟练性和准确性,同时还要全面地对所有解的情况进行总结.设计意图直接引入课题,开门见山,引起学生的注意,有利于后面的教学.例题讲解过渡语同学们,下面我们来研究由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集的四种情形.(补充例题)解下列不等式组.(1)(2)(3)(4)师:在做这组练习题之前,我们先回忆一下求一元一次不等式的解集和一元一次不等式组的解集的步骤.生:解一元一次不等式的步骤大致为:去分母,去括号,移项、合并同类项,系数化成1.要注意的是在去分母和系数化成1这两步中,不等号的方向是否改变.解一元一次不等式组的步骤:分别求出组成不等式组的每个一元一次不等式的解集,在同一条数轴上确定它们的公共部分,从而得出不等式组的解集.师:很好.下面请同学们先自己独立完成这四个不等式组的求解.生1:(1)解:解不等式,得x1,解不等式,得x-4.在同一条数轴上表示不等式的解集如图所示:所以,原不等式组的解集是x1.生2:(2)解:解不等式,得x,解不等式,得x.在同一条数轴上表示不等式的解集如图所示:所以,原不等式组的解集是x.解不等式,得x4.在同一条数轴上表示不等式的解集如图所示:所以,原不等式组的解集是x4.解不等式,得x1;(2)由得x;(3)由得x4;(4)由得无解.生1:由(1)得,两个不等式的解集中不等号都是大于号,在不等式组的解集中,数值取1和-4中比较大的数1,不等号取大于号.生2:由(2)得,两个不等式的解集中不等号都是小于号,在不等式组的解集中不等号取小于号,而数值取和中比较小的数.生3:由(3)得,两个不等式的解集中不等号有大于号也有小于号,数值,x4,不等式组的解集中x取大于小数且小于大数的数,即x4,x3,即x应取大于4且小于3的数,而这样的数根本不存在,所以原不等式组无解.师:大家分析得非常精彩,基本上说明了情况,下面我再系统地给大家做一下总结:由两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集有以下四种情形,设ab;(2)不等式组的解集是xa;(3)不等式组的解集是axb;(4)不等式组无解.这是用式子表示,也可以用语言简单表述为:同大取大;同小取小;大小小大取中间;大大小小是无解.一元一次不等式组解集的表示方法及记忆规律:不等式组(ab同大取大xa同小取小axb大小小大取中间无解大大小小是无解1.下列不等式组中,是一元一次不等式组的是()A.B.C.D.解析:B中含有两个未知数x,y;C中化简后x的最高次数是2;D中不等式23没有未知数x.故选A.2.下列说法正确的是()A.不等式组的解集是5x3B.不等式组的解集是-3x5;B,D中不等式组无解.故选C.3.不等式组的最小整数解为()A.-1B.0C.1D.4解析:不等式组的解集为-x4,所以最小整数解为0.故选B.4.(2015汕尾中考)使不等式x-12与3x-78同时成立的x的整数值是()A.3,4B.4,5C.3,4,5D.不存在解析:解不等式组得3x5,使不等式x-12与3x-78同时成立的x的整数值是3,4.故选A.5.若不等式组有解,则m的取值范围是.答案:m2B.x3C.2x3D.无解2.(2015恩施中考)关于x的不等式组的解集为x3C.m3D.m33.小宝和爸爸,妈妈三人在操场上玩跷跷板,爸爸体重为69千克,坐在跷跷板的一端,体重只有妈妈一半的小宝和妈妈一同坐在跷跷板的另一端,这时爸爸的一端仍然着地.后来小宝借来一副质量为6千克的哑铃加在他和妈妈坐的一端,结果爸爸被跷起,那么小宝的体重可能是()A.23.2千克B.23千克C.21.1千克D.19.9千克【能力提升】4.若不等式组的解集是-1xa2a3,请将x1,x2,x3按从大到小的顺序排列起来.【拓展探究】7.为节约用电,某学校于本学期初制定了详细的用电计划.如果实际每天比计划多用2度电,那么本学期用电量将会超过2530度;如果实际每天比计划少用2度电,那么本学期用电量将不会超过2200度.若本学期的在校时间为110天,则学校每天计划用电量在什么范围内?8.某宾馆底层客房比二楼少5间,某旅游团有48人,若全安排在底层,每间住4人,则房间不够;每间住5人,则有房间没有住满5人;若全安排在二楼,每间住3人,则房间不够;每间住4人,则有房间没有住满4人.求该宾馆底层有客房多少间.【答案与解析】1.C2.D(解析:解不等式组,可得又不等式组的解集为x3,所以m3.故选D.)3.C(解析:设小宝的体重为x千克,根据题意,得解这个不等式组得21x23.故选C.)4.1(解析:先解不等式组,得a+2x,然后根据不等式组的解集为-1x1可得a+2=-1,=1,求出a,b的值,然后把它们代入要求的代数式中进行计算即可.故填1.)5.-4x2(x-1)得x-4,解不等式x+84x-1得x3,所以不等式组的解集为-4x3.故填-4xa2a3,所以x1-x2=(a1+a3-a2)-(a1+a2-a3)=a3-a20,所以x1x3,所以x3x1x2.7.解:设学校每天计划用电量为x度,依题意,得解得21x22,即学校每天计划用电量在21度(不包括21度)到22度(包括22度)范围内.8.解:设该宾馆底层有客房x间,则二楼有客房(x+5)间,根据题意得解得x3.2.提示:该校计划每月烧煤2022 t(不含20 t和22 t).习题2.9(教材第59页)1.提示:(1)x-10.(2)-1x3.(3)x-10.(4)-x.2.解:由题意得31-a1-2a,解得a-2.3.解:(答案不唯一)其解集为0x8.4.解:由得因为其解集为-1x0a02.提示:(1)x-1.(3)x6.(7)x-.(数轴表示略)3.解:(1)x+10.(2)x20.(3)2x-(-3)0.(4)105a-320.4.提示:(1)-3x.(2)2x15.(3)x-.(2)x=-.(3)x-.6.提示:正整数解为1,2,3,12.7.提示:(1)-1x(2)(3)(5)(6)10.B11.(1)(3)12.解:设甲旅行社收费y1元,乙旅行社收费y2元,根据题意,得y1=5002+500x,即y1=350x+1000;y2=500(x+2),即y2=400x+800.当y1y2时,解得x4;当y1=y2时,解得x=4;当y14.故当两位家长带领少于4名学生去旅游时,选择乙旅行社;当带领4名学生去旅游时,选择两家旅行社都可以;当带领超过4名学生去旅游时,选择甲旅行社.13.解:设超市购进这批水果的总质量为p千克,每千克进价为q元.(1)最终销售额为p(1-5%)q(1+5%)=pq1-(5%)2(元).因为pq1-(5%)20,则a-7.15.解:设招聘A工种的工人x人,则招聘B工种的工人(150-x)人,根据题意,得150-x2x,解得x50.所付工资总额为1500x+3000(150-x)=450000-1500x,因为-1500=(2)任意两个数的平方和大于或等于这两个数乘积的2倍,当且仅当这两个数相等时取等号,即a2+b22ab(当且仅当a=b时取等号).(3)因为(a-b)20,即a2-2ab+b20,所以a2+b22ab.某县响应“建设环保节约型社会”的号召,决定资助部分村镇修建一批沼气池,使农民用到经济、环保的沼气能源.幸福村共有264户村民,政府补助村里34万元,不足部分由村民集资.修建A型、B型沼气池共20个.两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表所示:沼气池修建费用(万元/个)可供使用户数(户/个)占地面积(m2/个)A型32048B型236政府相关部门批给该村沼气池修建用地708 m2.设修建A型沼气池x个,修建两种型号沼气池共需费用y万元.(1)用含有x的代数式表示y;(2)不超过政