人教A版选修44圆锥曲线的参数方程 学案.docx

二圆锥曲线的参数方程学习目标1.掌握椭圆的参数方程及应用.2.了解双曲线、抛物线的参数方程.3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.知识链接1.椭圆的参数方程中，参数是om的旋转角吗？提示椭圆的参数方程(为参数)中的参数不是动点m(x，y)的旋转角，它是点m所对应的圆的半径oa(或ob)的旋转角，称为离心角，不是om的旋转角.2.双曲线的参数方程中，参数的三角函数sec 的意义是什么？提示sec ，其中0，2)且，.3.类比y22px(p0)，你能得到x22py(p0)的参数方程吗？提示(p0，t为参数，tr.)预习导引1.椭圆的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参数)1(ab0)(为参数)2.双曲线的参数方程普通方程参数方程1(ab0)(为参数)3.抛物线的参数方程(1)抛物线y22px的参数方程是(tr，t为参数).(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.要点一椭圆参数方程的应用例1已知a、b分别是椭圆1的右顶点和上顶点，动点c在该椭圆上运动，求abc重心g的轨迹的普通方程.解由题意知a(6，0)，b(0，3).由于动点c在椭圆上运动，故可设动点c的坐标为(6cos ，3sin )，点g的坐标为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得(为参数)，即故重心g的轨迹的参数方程为(为参数).规律方法本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.跟踪演练1已知曲线c1：(t为参数)，曲线c2：1.(1)化c1为普通方程，c2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？(2)若c1上的点p对应的参数为t，q为c2上的动点，求pq中点m到直线c3：x2y70距离的最小值.解(1)由得曲线c1：(x4)2(y3)21，c1表示圆心是(4，3)，半径是1的圆.曲线c2：1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.其参数方程为(为参数)(2)依题设，当t时，p(4，4)；且q(8cos ，3sin )，故m.又c3为直线x2y70，m到c3的距离d|4cos 3sin 13|5cos()13|，从而当cos ，sin 时，cos()1，d取得最小值.要点二双曲线参数方程的应用例2求证：双曲线1(a0，b0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.证明由双曲线1，得两条渐近线的方程是：bxay0，bxay0，设双曲线上任一点的坐标为(asec ，btan )，它到两渐近线的距离分别是d1和d2，则d1d2(定值).规律方法在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2tan21的应用.跟踪演练2如图，设p为等轴双曲线x2y21上的一点，f1、f2是两个焦点，证明：|pf1|pf2|op|2.证明设p(sec ，tan )，f1(，0)，f2(，0)，|pf1|，|pf2|，|pf1|pf2|2sec21.|op|2sec2tan22sec21，|pf1|pf2|op|2.要点三抛物线参数方程的应用例3设抛物线y22px的准线为l，焦点为f，顶点为o，p为抛物线上任一点，pql于q，求qf与op的交点m的轨迹方程.解设p点的坐标为(2pt2，2pt)(t为参数)，当t0时，直线op的方程为yx，qf的方程为y2t，它们的交点m(x，y)由方程组确定，两式相乘，消去t，得y22x，点m的轨迹方程为2x2pxy20(x0).当t0时，m(0，0)满足题意，且适合方程2x2pxy20.故所求的轨迹方程为2x2pxy20.规律方法1.抛物线y22px(p0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.跟踪演练3已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为f，准线为l.过抛物线上一点m作l的垂线，垂足为e，若|ef|mf|，点m的横坐标是3，则p_.解析根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y22px，所以y6p，所以e，f，所以3，所以p24p120，解得p2(负值舍去).答案21.圆的参数方程中的参数是半径om的旋转角，椭圆参数方程中的参数是椭圆上点m的离心角.2.椭圆1(ab0)的参数方程为(为参数).3.双曲线的参数方程中，参数的三角函数cot 、sec 、csc 的意义分别为cot ，sec ，csc .4.抛物线y22px的参数方程(t为参数)，由于，因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.1.参数方程(t为参数)的普通方程是()a.抛物线 b.一条直线c.椭圆 d.双曲线解析由参数方程平方相减可得4x2y216，即1，故答案为d.答案d2.椭圆(为参数)的焦点坐标为()a.(0，0)，(0，8) b.(0，0)，(8，0)c.(0，0)，(0，8) d.(0，0)，(8，0)解析利用平方关系化为普通方程：1.焦点(0，0)，(8，0).答案d3.参数方程(为参数)表示的普通方程是_.解析因x21sin ，y22sin ，所以y2x21，又因xsincossin，所以答案为y2x21(|x|且y1).答案y2x21(|x|且y1)4.点p(1，0)到曲线(参数tr)上的点的最短距离为()a.0 b.1 c. d.2解析d2(t21)24t2(t21)2.tr，d1，dmin1.答案b5.已知点p是椭圆y21上任意一点，求点p到直线l：x2y0的距离的最大值.解因为p为椭圆y21上任意一点，故可设p(2cos ，sin )，其中0，2).又直线l：x2y0.因此点p到直线l的距离d.又0，2)，dmax，即点p到直线e：x2y0的距离的最大值为.一、基础达标1.参数方程(为参数)化为普通方程为()a.x21 b.x21c.y21 d.y21解析易知cos x，sin ，x21，故选a.答案a2.方程(为参数，ab0)表示的曲线是()a.圆 b.椭圆c.双曲线 d.双曲线的一部分解析由xcos a，cos ，代入ybcos ，得xyab，又由ybcos 知，y|b|，|b|，曲线应为双曲线的一部分.答案d3.若点p(3，m)在以点f为焦点的抛物线(t为参数)上，则|pf|等于()a.2 b.3 c.4 d.5解析抛物线为y24x，准线为x1，|pf|为p(3，m)到准线x1的距离，即为4.答案c4.当取一切实数时，连接a(4sin ，6cos )和b(4cos ，6sin )两点的线段的中点的轨迹是()a.圆 b.椭圆 c.直线 d.线段解析设中点m(x，y)，由中点坐标公式，得x2sin 2cos ，y3cos 3sin ，即sin cos ，sin cos ，两式平方相加，得2，是椭圆.答案b5.实数x，y满足3x24y212，则2xy的最大值是_.解析因为实数x，y满足3x24y212，所以设x2cos ，ysin ，则2xy4cos 3sin 5sin()，其中sin ，cos .当sin()1时，2xy有最大值为5.答案56.抛物线yx2的顶点轨迹的普通方程为_.解析抛物线方程可化为y，其顶点为，记m(x，y)为所求轨迹上任意一点，则消去t得yx2(x0).答案yx2(x0)7.如图所示，连接原点o和抛物线yx2上的动点m，延长om到点p，使|om|mp|，求p点的轨迹方程，并说明是什么曲线？解抛物线标准方程为x22y，其参数方程为得m(2t，2t2).设p(x，y)，则m是op中点.(t为参数)，消去t得yx2，是以y轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.二、能力提升8.若曲线(为参数)与直线xm相交于不同两点，则m的取值范围是()a.r b.(0，)c.(0，1) d.0，1)解析将曲线化为普通方程得(y1)2(x1)(0x1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0m1.答案d9.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_.解析将参数方程化为普通方程为y24x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p4p2，则焦点坐标为(1，0).答案(1，0)10.设曲线c的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线c的极坐标方程为_.解析化为普通方程为yx2，由于cos x，sin y，所以化为极坐标方程为sin 2cos2，即cos2sin 0.答案cos2sin 011.在直角坐标系xoy中，曲线c1的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c2的极坐标方程为sin2.(1)写出c1的普通方程和c2的直角坐标方程；(2)设点p在c1上，点q在c2上，求|pq|的最小值及此时p的直角坐标.解(1)c1的普通方程为y21.c2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点p的直角坐标为(cos ，sin ).因为c2是直线，所以|pq|的最小值即为p到c2的距离d()的最小值.d().当且仅当2k(kz)时，d()取得最小值，最小值为，此时p的直角坐标为.三、探究与创新12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e，已知点p到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点p的距离等于的点的坐标.解设椭圆的参数方程是，其中，ab0，0