机械能守恒定律　(ppt 60页).ppt

1 笫五章机械能守恒 一 功动能定理 二 保守力做功与势能 三 机械能和机械能守恒定律 四 两体碰撞与两体问题 目录 2 一 功 一 功动能定律 定义 力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积 元功 第五章机械能守恒 3 说明 1 在直角坐标系中 第五章机械能守恒 2 几个力同时作用在物体上时 所作的功 4 合力对质点所作的功 等于每个分力所作的功的代数和 4 功率 单位 焦耳 秒 瓦特 量纲 ML2T 3 力在单位时间内所做的功 第五章机械能守恒 3 功是标量 没有方向 但有正负 5 例题5 1如图所示 一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质量为1 0kg的物体上 起初物体静止在无摩擦的水平面上 若用5 0N的恒力作用在绳索的另一端 使物体向右作加速运动 当系在物体上的绳索从与水平成变为时 力对物体作功为多少 己知滑轮与水平面间的距离为1m 第五章机械能守恒 6 解 建立坐标系 如图 第五章机械能守恒 7 二 质点动能定理 元功 质点由A到B这一过程中 力作总功为 质点的动能 第五章机械能守恒 质点动能定理 令 则 8 例题5 2如图 初始时 绳子垂在桌外的长度为b 设绳子总长度为L 求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率 解 方法一 利用动能定理 建立作坐标系 重力所作元功为 由动能定理得 第五章机械能守恒 9 方法二 利用牛顿定律 由牛顿定律得 两种方法结果相同 第五章机械能守恒 10 例题5 3假定地球的密度是均匀的 并沿地球的直径钻一个洞 质点从很高的位置h落入洞中 求质点通过地心的速度 由动能定理 解 矢径方向如图所示 设通过地心的速度为 第五章机械能守恒 11 又质点在地球内 外受力不同 第五章机械能守恒 12 三 质点系动能定理 质点系动能定理 对所有质点求和 设一个系统内有n个质点 作用于笫i个质点的力所作的功为 由质点动能定理 第五章机械能守恒 13 2 是每个质点所受外力 内力 作功之和 而不是合力功之和 说明 1 质点系所受的力分外力和内力 则 内力作的总功一般不为零 第五章机械能守恒 14 例题5 4如图 质量为M的卡车载一质量为m的木箱 以速率v沿平直路面行驶 因故突然紧急刹车 车轮立即停止转动 卡车滑行一定距离后静止 木箱在卡车上相对于卡车滑行了l距离 卡车滑行了L距离 求L和l 巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 卡车轮与地面的滑动摩擦系数为 第五章机械能守恒 15 卡车和木箱受力如图 只有二者间摩擦力和地面对车的摩擦力F做功 三力之受力质点位移各为 根据质点动能定理得 解得 解 解法一 用质点动能定理求解 第五章机械能守恒 卡车 1 木箱 2 16 解法二 用质点系动能定理求解 视卡车与木箱为一质点系 外力F做功 内力做功等于力与相对位移的标积 即 根据质点系动能定理 有 又视木箱为质点 得上面 2 式 2 3 联立得与上法相同结果 第五章机械能守恒 3 17 二 保守力做功与势能 一 几种常见的力作功 1 重力作功 重力作功只与质点的起始和终止位置有关 而与所经过的路径无关 第五章机械能守恒 18 由图知 于是 2 万有引力作功 如图 M不动 m由a经任一路径到b 第五章机械能守恒 19 在弹性限度内 弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置决定 而与形变的过程无关 3 弹性力作功 如图 O点为平衡位置 拉长到P点时 伸长量为x 万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置 与所经过的路径无关 第五章机械能守恒 20 保守力 作功只与物体的始末位置有关 而与路径无关的力 二 保守力与非保守力 反映保守力作功特点的数学表达式 物体沿不同路径从a到b 保守力作功 第五章机械能守恒 该类力产生的力场为保守力场 21 保守力沿任意闭合路径作功为零 沿闭合路径运动一周 保守力作功 保守力的一些判据 1 对于一维运动 凡是位置x单值函数的力都是保守力 如弹性力f f x k x x0 是x的单值函数 故它是保守力 2 对于一维以上的运动 大小和方向都与位置无关的力 如重力f mg 是保守力 3 有心力是保守力 例如万有引力 库仑力都是保守力 第五章机械能守恒 22 称为耗散力 如滑动摩擦力 将机械能转化为热能 非保守力 如爆炸力 将其他形态的能 如化学能 电磁能 转化为机械能 所作的功不仅与始 末位置有关 而且与具体路径有关 或沿任一闭合路径一周作功不为零的力 非保守力可分两类 第五章机械能守恒 23 三 势能 证 在保守力场中 选择一个标量函数 如图 先任取一点rC 令 对空间任意点 定义 第五章机械能守恒 定理对于保守力场 可以定义一个标量函数 使保守力做的功为其中 表示质点从空间点运动到点时保守力所做的功 称为势能 或势函数 位能 24 由于是保守力场 故唯一确定 与运动的路径无关 于是对于空间中的任意点 我们定义的的值确定并且唯一 下面证明就是势能 对于空间中任意两点和 按照我们对的定义 有 由定义 第五章机械能守恒 25 将上面 1 与 2 两式相减 注意到保守力作功与路径无关 可得 故就是势能 证毕 反之 存在势能的力一定是保守力 注 由证明可见 势能具有一个任意常数 一般我们规定 点 无穷远处 的势能为零 第五章机械能守恒 26 2 势能是相对性的 为确定质点系在任一给定位置的势能值 必须选定某一位置为参考位置 势能零点 规定该点的势能为零 而势能零点可根据问题的需要任意选择 3 势能是属于系统的 实质上势能是相互作用能 说明 1 势能是状态 位置坐标 的函数 即 4 自然界中的大部分能量是以引力势能的形式存在 1 势能的计算 由定理可得 即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到势能零点的积分值 第五章机械能守恒 27 即 保守力对物体作的功等于物体势能增量负值 重力势能 2三种势能 保守力作功可用势能差表示 引力势能 弹性势能 第五章机械能守恒 28 3势能曲线 当坐标系和势能零点一经确定 势能仅是坐标的函数 势能随坐标变化的曲线称为势能曲线 如图 第五章机械能守恒 29 势能曲线的用途 保守力与势能的关系 1 由势能曲线求保守力 第五章机械能守恒 30 第五章机械能守恒 重力及其势能 万有引力及其势能 弹性力及其势能 双原子分子及其势能 31 平衡位置 就是物体所受作用力为零的位置 2 求平衡位置及判断平衡的稳定性 平衡的稳定性 取决于偏离平衡位置时 物体所受力方向 第五章机械能守恒 a 稳定平衡 力始终指向平衡位置 b 不稳定平衡 离开平衡位置 力背离平衡位置方向 c 亚稳平衡 d 随遇平衡 x1 x2 32 第五章机械能守恒 利用势能曲线求平衡位置 例如 弹性势能 二维三维情况 特例马鞍形势能曲面中心O处的质点在x方向不稳定平衡 y方向为稳定平衡 3 决定质点的运动范围 双原子分子势能曲线 33 一 质点系的功能原理 三 机械能守恒定律 根据质点系动能定理 功能原理 质点系机械能的增量 等于外力与非保守内力对质点系作功之和 机械能 E Ek V 第五章机械能守恒 与质点系动能定理的关系 34 二 机械能守恒定律 当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时 系统机械能守恒 当 根据功能原理 第五章机械能守恒 35 第五章机械能守恒 说明 1 功能原理和机械能守恒定律只在惯性系中成立 非惯性系中要引入惯性力 2 在不同的参考系中 力所做的功 体系的动能和体系的机械能可能不同 3 一个体系在一个参考系中机械能守恒 但在另一个参考系中并不一定成立 i 功与参考系有关 内力做功与参考系无关 外力做功与参考系有关 ii 体系的动能与参考系有关 iii 体系的势能与参考系无关 4 功是一个过程量 能量是一个状态量 36 三 柯尼希 Konig 定理 相对一定惯性参照系 质点系的动能为所有质点的动能之和 设为质点系的质心速度 为笫i个质点相对质心系的速度 则有 代入上式得 第五章机械能守恒 37 于是 柯尼希定理 体系动能等于质心动能和体系相对质心系的动能之和 第五章机械能守恒 其中笫三项中 38 第五章机械能守恒 四 一般质心系中的功能原理 ac 0 质心系为惯性系 ac 0 质心系 平动参考系 为非惯性系 此时惯性力所做的总功为 即质心系虽为非惯性系时 可不考虑惯性力所做的功 39 五 三种宇宙速度 笫一宇宙速度 人造卫星 笫二宇宙速度 或称逃逸速度 人造行星 太阳系 飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动 成为人造行星 脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度 飞行物在地球引力作用下 环绕地球表面运行 成为人造卫星 分别考虑r处和无穷远处的机械能 第五章机械能守恒 40 应当满足机械能守恒 即 于是 取其等于零 得逃逸速度 第五章机械能守恒 产生 黑洞 的条件 令笫二宇宙速度取其等于光速c 则对质量为M的天体 要成为 黑洞 其半径需为 以太阳为例 Ms 1 99x1030kg 41 笫三宇宙速度 人造行星 银河系 飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星 根据笫二宇宙速度的同样原理 得到以太阳为参考系的笫三宇宙速度 第五章机械能守恒 其中太阳质量 地球质量 太阳 地球平均距离 地球半径 故 42 这是从日心系看飞行器冲出的速度 自然其中包含了地球绕太阳的公转速度 两者相减 这是地球 飞行器质心参考系看来 飞行器冲出地球引力范围时 应有的速度 再追溯到地面附近h高度 发射速度应当满足机械能守恒 即 第五章机械能守恒 注意到 故 Sun Earth 43 最后得出笫三宇宙速度 综上所述 三种宇宙速度均立足于地球上空预定高度 物体在水平方向上的三个特征速度 第五章机械能守恒 当 发射体环绕太阳作椭圆轨道运行 当 发射体环绕地球作椭园轨道运行 当 发射体将沿双曲线轨道离开太阳系 44 四 两体碰撞与两体问题 所谓碰撞 是指两质点相互接近 运动状态发生迅速变化的现象 碰撞的特征是极短的时间和强烈的相互作用 一 正碰 对心碰撞 说明 e 0完全非弹性碰撞 0 e 1非弹性碰撞 如采用不同材料时 e 1完全弹性碰撞 碰撞定律 碰撞前两球速度均沿两球中心连线满足 动量守恒定律 第五章机械能守恒 45 当两物体发生对心碰撞时 由以上两方程解得 讨论 碰撞过程中损失的动能为 由此可知 对于完全弹性碰撞 e 1 动能守恒 对于完全非弹性碰撞 e 0 动能损失最大 第五章机械能守恒 46 第五章机械能守恒 高能粒子加速器 资用能 真正参与粒子反应的能量 质心动能不参与反应 目的 用来研究微观粒子的结构 相互作用和反应机制 情况i 情况i 资用能 情况i 资用能 情况ii 高能粒子对撞 例如 1987年 北京正负电子对撞机 资用能 2x2 2GeV若单束加速 1 9x104GeV 47 质心系中的正碰撞 上面讨论的是在实验室系 L系 中正碰撞 而在质心系 C系 中 由于对质心的动量之和永远为零 故在质心系中描写碰撞 表达形式简单 物理意义清晰 在L系中 质心速度为 在C系中 设碰撞前后两质点的速度分别为和则 由这两方程可得 第五章机械能守恒 48 在C系中 碰撞损失的动能为 思考 如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系 提示 第五章机械能守恒 49 如图 取的方向为x轴 则上面笫一式化为 在完全弹性碰撞中 动量和能量都守恒 有 式中称为散射角 另外 碰撞结果还与碰撞前两小球中心在y方向上的距离b有关 b称为瞄准距离 b 0时即为正碰 通常 应用实验方法测出上面四个未知数中的一个 才能求出其余三个未知数 第五章机械能守恒 50 例题5 5如图 质量为M的物块A在离平板为h的高度处自由下落 落在质量也为M的平板B上 已知轻质弹簧的倔强系数为k 物体与平板作完全非弹性碰撞 求碰撞后弹簧的最大压缩量 解 本题可分为三个物理过程 物块A下落 物块A与平板B发生碰撞 碰撞后弹簧被压缩 机械能守恒 第五章机械能守恒 51 弹簧被最大压缩时 如图 取弹簧不承载平板的平衡位置为坐标原点O 则平板B放上后位移为 物块A碰撞后位移为 则 根据机械能守恒式 得 而 第五章机械能守恒 O 52 将 式代入 式 整理后得 因 故应将负根舍去 得碰撞后弹簧最大压缩量为 解之得 第五章机械能守恒 53 第五章机械能守恒 例题5 6弹弓效应如图 土星的质量为5 67x1026kg 以相对于太阳的轨道速率9 6km s 1运行 一空间探测器质量为150kg 以相对于太阳10 4km s 1的速率迎向土星飞行 由于土星的引力 探测器绕过土星沿和原来速度相反的方向离去 求它离开土星的速度 v10 v1 v20 解 将其看成无接触碰撞 其中e 1 m1可忽略 则 探测器绕过土星后由于引力作用速率增大 这种效应称为弹弓效应 54 第五章机械能守恒 三 两体问题处理方法 如图 考虑质量分别为m1和m2的两个质点的孤立体系 质点间的作用力是保守力 由两质点的相对位置决定 取一惯性系 位矢和速度分别为 质心的质量 位矢分别为mC和rC 则有 在该惯性系中 动力学方程为 处理方法一 S参考系法 55 第五章机械能守恒 考虑m1相对于m2的运动 选择与m2 通常选取质量较大的物体 相对静止的参考系 m2位于原点 称该参考系为S系 非惯性系 在S系中 m1的位置为r 速度为v 也可以通过引入惯性力来列出运动的牛顿方程 由 令 则 该方程与牛顿定律类似 即利用约化质量 即可把两体问题化成单体问题 其中