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人教版八年级第十五章整式的乘法与因式分解教材解构 北京二中分校金江洙 一 教材地位 本章属于 全日制义务教育教学课程标准 实验稿 中的 数与代数 领域 整式的乘除运算和因式分解最基本而重要的代数初步知识 在后续的数学学习中有重要意义 本章内容建立在已经学习了有理数运算 列简单的代数式 一次方程及不等式 整式的加减运算等知识的基础上 本章的主要内容是整式的乘除运算 乘法公式以及因式分解 这些知识是以后学习分式和根式运算 函数等知识的基础 同时也是学习物理 化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具 二 教学目标 了解整数指数幂的意义和基本性质 了解整式的概念 会进行简单的整式加 减运算 会进行简单的整式乘法运算 其中的多项式相乘仅指一次式相乘 会推导乘法公式 了解公式的几何背景 并能进行简单计算 会用提公因式法 公式法 直接用公式不超过二次 进行因式分解 指数是正数 标准 中的相应要求 1 使学生掌握正整数幂的乘 除运算性质 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质 并能运用它们熟练地进行运算 使学生掌握单项式乘 或除以 单项式 多项式乘 或除以 单项式 以及多项式乘多项式的法则 并运用它们进行运算 2 使学生会推导乘法公式 平方差公式和完全平方公式 了解公式的几何意义 能利用公式进行乘法运算 具体要求如下 3 使学生掌握整式的加 减 乘 除 乘方的较简单的混合运算 并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算 4 使学生理解因式分解的意义 并感受分解因式与整式乘法是相反方向的变形 掌握提公因式法和运用公式法 直接运用公式不超过两次 这两种分解因式的基本方法 了解因式分解的一般步骤 能熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解 具体要求如下 三 知识结构 逐节分析 经历探索同底数幂乘法运算性质的整个过程 进一步体会幂的意义 发展推理能力与有条理思考的能力 了解同底数幂乘法的运算性质并能解决一些实际问题 同底数幂的乘法 经历探索幂的乘方与积的乘方的运算性质的过程 进一步体会幂的意义 发展推理能力 了解幂的乘方与积的乘方的运算性质 并能解决一些实际问题 幂的乘方与积的乘方 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式和多项式乘以多项式 但学习单项式乘以单项式是核心 注意让学生体会单项式乘以多项式 只有通过乘法对于加法的分配律转化为单项式乘以单项式 多项式乘以多项式是先把其中的一个多项式看成一个整体 单项式 然后再按着单项式乘以多项式进行 最终转化为单项式乘以单项式 这种由复杂变简单 不熟悉变为熟悉的想法就是数学中最常用的 转化与化归思想 要注意让学生在做中体会 整式的乘法 1 经历探索平方差公式的过程 进一步发展学生的符号感与推理能力 会推导平方差公式 并能运用公式进行简单的计算 了解平方差公式的几何背景 2 学生的认知现实分析学生已经学习了整式的乘法 特别是多项式乘以多项式 从知识储备来说学生可以独立推导平方差公式 平方差公式 教材通过一个具体的实际背景让学生经历完全平方和公式的探索过程 借助等积发现规律 发展学生的推理能力和数形结合能力 要求学生会推导完全平方公式 并会运用公式进行简单的计算 了解完全平方和公式的几何背景 和平方差公式一样 完全平方公式也是多项式乘以多项式的一类特例 教学中要注意让学生主动的获取公式 或用等积 或用多项式乘以多项式法则推导 注意公式中的字母的含义以及公式中字母的运算关系 完全平方公式 平方差公式的常见变形 1 位置变化 a b b a 2 符号变化 a b a b 3 系数变化 3a 2b 3a 2b 4 指数变化 a2 b2 a2 b2 5 项数变化 a 2b c a 2b c 6 连用变化 a b a b a2 b2 完全平方公式的常见变形 a2 b2 a b 2 2ab a b 2 2ab a b 2 a b 2 2 a2 b2 a b 2 a b 2 4ab 注意掌握公式的变形 经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程 进一步体会幂的意义 发展推理能力和有条理的表达能力 了解同底数幂的运算性质 并能解决一些简单的实际问题 同底数幂的除法 1 注重使学生经历用字母表示数量关系的过程 进一步发展符号感 2 注重对运算法则的探索过程以及对算理的理解 发展有条理的思考与表达 3 注重在代数学习中发展学生的推理能力 4 保证基本的运算技能 避免繁杂的运算 对于整式的除法教材中为学生设置了较高的问题情景 教师要引导学生回忆数的除法的意义以及数的除法与乘法的内在联系 使学生通过类比学习整式的除法 以帮助学生理解整式除法的算理 把握运算法则 整式的除法 经历从分解因数到分解因式的类比过程 了解分解因式的意义 以及它与整式乘法的关系 感受分解因式在解决相关问题中的作用 学习分解因式的作用主要是为后继学习方程与多项式的恒等变形作准备 虽然内容简单 课时也较少 但是 分解因式问题的提出 实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用 逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法 而且也是人们发现问题的重要方法 发现问题比解决一个问题更重要 分解因式 经历探索多项式各项公因式的过程公因式法把多项式分解因式 多项式中的字母指数仅限于正整数的情况 进一步了解分解因式的意义 加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法 对于提公因式法教师不必归类解析 要尽可能地调动学生积极主动地思考 探究相信学生不管是通过类比提公因数 或者是运用乘法对加法的分配律的逆应用 都能找到公因式 并且将它提出来 教材中不仅仅是为了引出提公因式的概念 更重要的是调动思维 说明算理 教学过程中 教师不宜增加难度 关键是让学生理解提公因式的意义与原理 提公因式法 经历通过整式乘法的平方差公式 完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程 发展学生的逆向思维和推理能力 运用公式法 直接用公式不超过两次 分解因式 指数是正整数 在运用公式法分解因式的两节课中 教师要有意识的引导学生再熟悉乘法公式的来历 以及乘法公式的结构 多注意培养学生认真观察地良好习惯 在题目设置上不要过于复杂 运用公式法 平方差公式 系数要平方 指数要成双 减号在中央完全平方公式 首平方 尾平方 积的2倍加减在中央因式分解 首先提取公因式 然后考虑用公式 两种方法反复用 提净 分完连乘式 有关公式可采用以下口诀记忆 四 教学建议 1 以 问题情境 数学模型 求解模型 为主要线索呈现整式及其运算的内容 注重从问题情境中寻求数量关系 运用符号进行表示的过程 2 以 观察 归纳 类比 概括 为主要线索呈现运算法则的探索过程 注重推理能力和表达能力的培养 3 注重整式运算每一步的算理 重视幂的意义 乘法分配律等的作用 渗透转化 类比等思想 4 从面积的角度解释多项式乘法 平方差公式 完全平方公式等内容 并从直观上理解这些内容 渗透数形结合思想 5 注重使学生经历探究因式分解的方法的过程 进一步发展学生的观察 发现 归纳 总结等能力 探索因式分解的方法 事实上是对整式乘法的再认识 因此 在教学过程中 教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础 给学生提供丰富有趣的问题情境 并给他们留下充分探索与交流的时间和空间 让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程 并能用符号合理的表示出因式分解的关系式 6 注重学生对因式分解的理解 发展学生分析问题的能力和推理能力 标准 中要求学生 能通过观察 实验 归纳 类比等获得数学猜想 并进一步寻求证据 给出理由或举出反例 能清晰 有条理地表达自己的思考过程 做到言之有理 落笔有据 在与他人交流的过程中 能运用数学语言 合乎逻辑的进行讨论与质疑 上述要求在 整式的运算 等代数知识的教与学的过程中 已做了大量的落实工作 在因式分解这一章的教学中 教师仍要有意识的培养学生的推理能力 二 分类讨论思想若x2 2 a 4 25是完全平方式 求a的值 三 化归思想已知ax 2 ay 3 az 6 求a3x 2y z的值 四 建模思想计算11 101 10001的值 五 逆向思维法计算1 23452 2 469 0 7655 0 76552的值 重视数学思想方法的教学 一 整体思想已知a b 2 求a2 b2 2ab的值 1 本章内容丰富 方法多 技巧性强 数学课程标准 对因式分解的要求有严格的界定 因此本章的教学教师不要随意增加内容 切实掌握本章内容的深度和广度 教师可以根据实际情况 对学有余力的学生作适当补充 不要求全体学生掌握 2 分组分解 十字相乘 进行因式分解 在教材中设