中考中的一次函数应用题求解策1.doc

中考中的一次函数应用题求解策略1 试题概述一次函数应用题，因其综合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组等内容，能实现数与形有机地结合，能体现分类讨论、对应、极端值等数学思想与方法，并且容易与现实生活中的重大事件联系起来以体现数学的应用价值，近年来一直是中考命题的热点。此外，由于中考考查二次函数内容时，大多是以二次函数与几何相结合的压轴题形式出现，而反比例函数应用题命题的范围又相对狭窄，因此一次函数应用题就一直是中考试题中最频繁出现的考点。一次函数应用题考查的最主要考点集中在三个方面：学生对数形结合的认识和理解；将实际问题转化为一次函数的能力，即数学建模能力；分类讨论、极端值、对应关系、有序性的数学思想方法的考查。对一次函数与方程、不等式关系的理解与转化能力。一次函数试题的命题形式多样，从近几年的中考题来看，可以大致归为以下几类：方案设计问题（物资调运、方案比较）；分段函数问题（分段价格、几何动点）；由形求式（单个函数图象、多个函数图象）。一次函数多种变量及其最值问题。2 试题例析2.1方案设计问题物资调配例1.（2008年重庆第27题）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案；（3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：A地B地C地运往D县的费用（元/吨）220200200运往E县的费用（元/吨）250220210为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？解析：本题题干文字长，数量关系复杂，但只要弄懂了题意，并结合表格将数量关系进行整理，解决起来并不难。直接用一元一次方程求解。运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨，设运往E县m吨，则运往D县（2m-20）吨，则m+（2m-20）=280，m=100，2m-20=180。（亦可用二元一次方程组求解）由中结论，并结合题设条件，由A地运往D的赈灾物资为x吨，可将相应数量关系列表如下：A地（100吨）B（100吨）C（80吨）D县（180吨）x（220元/吨）180-60-x=120-x（200元/吨）60（200元/吨）E县（100吨）100-x（250/吨元）100-20-（100-x）=x-20（220元/吨）20（210元/吨）表格说明：A、B、C、D、E各地后括号中的数字为调运量或需求量；表格中含x的式子或数字，表示对应地点调运数量；表格中其他括号中的数字，表示对应的调运费用。 确定调运方案，需看问题中的限制条件：B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。故： 解得 40x45 x为整数x的取值为41，42，43，44，45 则这批救灾物资的运送方案有五种。方案一：A县救灾物资运往D县41吨，运往E县59吨； B县救灾物资运往D县79吨，运往E县21吨。 （其余方案略）设运送这批赈灾物资的总费用为y，由中表格可知：y=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+20060+21020=-10x+60800y随x增大而减小，且40x45，x为整数，当x=41时，y有最大值。该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是：y=-1041+60800=60390（元）求解物资调运问题的一般策略：用表格设置未知数，同时在表格中标记相关数量；根据表格中量的关系写函数式；依题意正确确定自变量的取值范围（一般通过不等式、不等式组确定）；根据函数式及自变量的取值范围，结合一次函数的性质，按题设要求确定调运方案。物资调运问题应用广泛，包括调水、调运物资、分配物资等多种类型。方案比较例2.（2008年盐城）在购买某场足球赛门票时，设购买门票数为x（张），总费用为y（元）。现有两种购买方案：方案一：若单位赞助广告费10000元，则该单位所购买门票的价格为每张60元；（总费用=广告赞助费+门票费）方案二：购买方式如图2所示。解答下列问题：方案一中，y与x的函数关系式为 ；方案二中，当0x100时，y与x的函数关系式为 ，当x100时，y与x的函数关系式为 。如果购买本场足球赛门票超过100张，你将选择哪一种方案，使总费用最省？请说明理由。甲、乙两单位分别采用方案一、方案二购买本场足球赛门票共700张，花去总费用计58000元，求甲、乙两单位各购买门票多少张？解析：这是一个两种方案的比较问题。方案比较通常与不等式联系紧密。比较优惠条件，即通过比较函数值的大小，确定自变量的区间。中方案一的函数关系式，直接依题意写出：y1=60x+10000（x0）；方案二的函数关系由图象给出，用待定系数法求解。当0x100时，图象为过原点的线段，函数式为正比例函数，可求得y2=100x（0x100）；当x100时，图象为不过原点的射线，函数式为一次函数，过（100，10000），（150，14000），可求得y2=80x+2000（x100）。购买门票超过100张，比较那种方案最省，了先使y1=y2，求出此时x的值。然后利用不等式确定方案。当y1=y2时，60x+10000=80x+2000，解得x=400，即购买400张门票，两种方案费用相同。当y1y2时，解得x400，则当100x400时，选择方案二，总费用最省；当y1y2时，解得x400，则当x400时，选择方案一，总费用最省。分两种情况讨论：（用方程求解）甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m100）张，则乙买700-m张。100m+60（700-m）+10000=58000 解得m=150（不合题意，舍去）甲单位按方案购买的门票少于100张时，设甲买m（m100）张，则乙买700-m张80m+2000+60（700-m）+10000=58000 解得m=200，700-m=500求解方案比较问题的一般策略：在方案比较问题中，不同的方案有不同的函数式。因此首先需设法求出不同方案各自的函数式。求函数式时，有图象的，多用待定系数法求；没有给出图象的，直接依题意进行列式。方案比较问题通常都与不等式、方程相联系。比较方案，即比较同一自变量所对应的函数值。要会将函数问题转化为方程、不等式问题。方案比较中尤其要注意不同的区间，多对应的大小关系不同。方案比较问题，在门票、购物、收费、设计等问题中都可涉及。2.2分段函数问题分段价格例3.（2008年襄樊第23题）我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（ba）收费设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当x10时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？解析：（1）当时，有将，代入，得 用8吨水应收水费（元） （2）当x10时，有 将，代入，得 故当x10时，（3）因，所以甲、乙两家上月用水均超过10吨设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨，则 解之，得故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨 解分段价格问题的一般策略：分段函数的特征是：不同的自变量区间所对应的函数式不同，其函数图象是一个折线。解决分段函数问题，关键是要与所在的区间相对应。分段函数中“折点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上。在求解析式要用好“折点”坐标，同时在分析图象时还要注意“折点”表示的实际意义，“折点”的纵坐标通常是不同区间的最值。分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题及几何动态问题中都有应用。几何图形中的动点问题例4.（2008年长沙第25题）在平面直角坐标系中，一动点P（，y）从M（1，0）出发，沿由A（-1，1），B（-1，-1），C（1，-1），D（1，1）四点组成的正方形边线（如图）按一定方向运动。图是P点运动的路程s（个单位）与运动时间（秒）之间的函数图象，图是P点的纵坐标y与P点运动的路程s之间的函数图象的一部分. （图） （图） （图） （1）s与之间的函数关系式是： ；（2）与图相对应的P点的运动路径是： ；P点出发 秒首次到达点B；（3）写出当3s8时，y与s之间的函数关系式，并在图中补全函数图象.解析：(1)由图象可知为正比例函数。S=(t0) (2)由图象，M纵坐标为0变为1，则路径为：MDAN， 10秒(3)当3s5，即P从A到B时，y=4-s； 当5s7，即P从B到C时，y=-1； 当7s8，即P从C到M时，y=s-8（补全图象略） 求解几何图形中的动点问题一般策略：解决几何图形中的动态问题，关键是看动点运动的路径，在不同的路径上，所对应的线段长（高）等不同，由此引起其它变量的变化。因此根据不同路径以确定自变量的变化区间至关重要。在不同的区间上求函数表达式，应注意紧密结合几何图形的特征，会将将函数中的变量关系转化为几何图形上的对应线段关系。动点（动线）问题，引起图形中相关量的变化，多以面积为主。本题给出的坐标变化相对降低了难度。但给出的图象较多，涉及到路程与时间、路程与坐标三个变量，共两种函数，在解决问题时，应认真审题。2.3数形结合由“形”求式单个函数图象例5.（2008年南京）28（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？解析：（1）900； （2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇 （3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为； 当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h （4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得 解得所以，线段所表示的与之间的函数关系式为 自变量的取值范围是 （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h把代入，得此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h单个函数图象求“式”的一般策略：单个函数图象，尤其是折线图，在读图过程中一定要正确认识和理解图形上点的坐标的实际意义。要关注“折点”所表示的意义，用好折点用图象求函数式，多用待定系数法，因此要善于寻找图象上点的坐标。一方面可以从图象上寻找，此外还可以结合题设中的条件寻找。多个函数图象例6（2008年泰州第28题）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震。某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区。乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）。图中的折线、线段分别表示甲、乙两组所走路程(千米)、(千米)与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像。请根据图像所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_小时；（2分）（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区。请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6分）（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不过25千米。请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定。解析：本题由甲乙两个互相关联但又不同的行程问题构成，函数图象之间彼此相交。要解决好所求问题，必须深入认识和理解图象中的信息，尤其是已知点坐标的实际意义。（1）由图象可知：AB段发生故障。时间为4.9-3=1.9 （小时）(2)要求甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米。即要求出B点的纵坐标。点B在线段BD上，且横坐标为4.9。只需求出BD所在直线的解析式即可。C是BD、EF交点，C点的横坐标为6，求出直线EF的解析式，则可得到C点坐标。从而求出BD解析式，得到B点纵坐标。设直线EF的解析式为乙=kx+b点E(1.25,0)、点F（7.25,480）均在直线EF上 解得 直线EF的解析式是y乙=80X-100 点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，点C的纵坐标为806100=380 点C的坐标是（6，380）设直线BD的解析式为y甲 = mx+n点C（6，380）、点D（7，480）在直线BD上 解得 BD的解析式是y甲=100X -220 B点在直线BD上且点B的横坐标为4.9，代入y甲得B（4.9，270）甲组在排除故障时,距出发点的路程是270千米。（3）符合约定由图像可知：甲、乙两组第一次相遇后在B和D相距最远。在点B处有y乙y甲=804.9100（1004.9220）=22千米25千米在点D有y甲y乙=1007220（807100）=20千米25千米按图像所表示的走法符合约定多个函数图象求式问题的一般策略：一题中有多个函数图象时，尤其要关注图象交点的坐标。因其交点坐标同时满足两个图象的关系式。分析多个函数图象时，还应关注其交点两侧图象的上下位置关系。图象在上方的函数图象，同一个自变量所对应的函数值大。由此可比较两个函数图象所表示函数式之间的变化关系。2.4多变量及其最值问题例7（2008年泰安第25题）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值解析：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为：（元）（2）由题意可设与的函数关系为 将代入上式得 种植亩数与政府补贴的函数关系为 同理可得，每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为 （3）由题意 u 当，即政府每亩补贴450元时，全市的总收益额最大，最大为7260000元解多个变量及其最值问题的一般策略：一个问题中涉及多个变量，往往对应着多个函数式。因此在求解过程中，一定要理清变量之间的对应关系，正确求出不同的函数式。求函数的最值问题，一次函数主要运用一次函数性质求。二次函数则可用配方法或公式法求。对于函数式的求取，则主要是用列式法和待定系数法。一次函数的“最值”一次函数y=kx+b中，x、y均可取一切实数如果缩小x的取值范围，则其函数值就会出现最大值或最小值一次函数的“最值”由一次函数的性质决定，与其k值、自变量的取值范围密切相关：k0时，y随x增大而增大因此，x取最小值时，y有最小值；x取最大值时，y有最大值k0时，y随x增大而减小因此，x取最小值时，y有最大值；x取最大值时，y有最小值k值、自变量的取值范围与函数最大值、最小值的对应情况如下表：xy=kx+bk0k0xmx有最大值，y有最大值y最大值=km+bx有最大值，y有最小值y最小值=km+bxmx有最小值，y有最小值y最小值=km+bx有最小值，y有最大值y最大值=km+bmxnx=m时（最小），y最小值= km+b；x=n时（最大），y最大值=kn+bx=m时（最小），y最大值= km+b；x=n时（最大），y最小值=kn+b求一次函数的最大、最小值，一般都是采用“极端值法”即用自变量的端点值，根据函数增减性，对应求出函数的端点值（最值）请看以下实例例1已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围是-2x6，相应的函数取值范围是-11y9求此函数的解析式解析：x的取值范围与函数y的取值范围的对应情况，由k值的符号确定故应分类讨论k0时，y随x增大而增大x=-2时，y=-11；x=6时，y=9 解得 y=x-1k0时， y随x增大而减小x=-2时，y=9；x=6时，y=-11 解得 y=x+14例2康乐公司在A、B两地分别有同型号的机器17台和15台，现在运往甲地18台、乙地14台从A、B两地运往甲、乙两地的费用如下表；甲地（元/台）（18）乙地（元/台）（14）A地（17）600（x）500（17-x）B地（15）400（18-x）800（x-3）如果从A地运往甲地x台，求完成以上调运所需总费用y（元）关于x（台）的函数解析式；若康乐公司请你设计一种最佳调运方案，使总的费用最少，则该公司完成以上调运方案至少需要多少费用？为什么？解析：y=600x+500（17-x）+400（18-x）+800（x-3）=500x+13300由x0；17-x0；18-x0；x-30 3x17k=5000，y随x增大而增大，x取最小值时，y有最小值x=3时，y最小值=5003+13300=14800（元）故该公司完成以上调运方案至少需14800元运费调运方案为：由A地运往甲地3台，运往乙地14台；由B地运往甲地15台一次函数图象平移的探究我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b，它可以看作由直线y=kx平移b个单位长度得到(当b0时，向上平移；当b0时，向上平移)或者说，直线y=kx平移b个单位长度得到直线y=kx+b (当b0时，向上平移；当b0时，向下平移)例如，将直线y=-x向上平移3个单位长度就得到直线y=-x+3，将直线y=-x向下平移1个单位长度就可以得到直线y=-x-1需要注意的是，函数图象的平移，既可以上下平移，也可以左右平移这里所说的平移，是指函数图象的上下平移，而非左右平移以上平移比较简单，因为它是对最简单的一次函数即正比例函数进行平移对于一个一般形式的一次函数图象又该怎样进行平移呢？让我们一起进行探究：问题1已知直线：y=2x-3，将直线向上平移2个单位长度得到直线，求直线的解析式分析：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线的解析式为y=2x+ b，由于直线的解析式中只有一个未知数，因此再需一个条件即可怎样得到这个条件呢？注意到直线与两条坐标轴分别交于两点，而直线与y轴的交点易求，这样就得到一个条件，于是直线的解析式可求解：设直线的解析式为y=2x+b，直线交y轴于点(0，-3)，向上平移2个单位长度后变为(0，-1)把(0，-1)坐标代入y=2x+b，得b=-1，从而直线的解析式为y=2x-1问题2 已知直线：y=2x-3，将直线向下平移2个单位长度得到直线，求直线的解析式答案：直线的解析式为y=2x-5(解答过程请同学们自己完成)对比直线和直线直线的解析式可以发现：将直线：y=2x-3向上平移2个单位长度得到直线的解析式为：y=2x-3+2；将直线：y=2x-3向下平移2个单位长度得到直线的解析式为：y=2x-3-2(此时你有什么新发现？)问题3 已知直线：y=kx+b，将直线向上平移m个单位长度得到直线，求直线的解析式简解：设直线的解析式为y=kx+n，直线交y轴于点(0，b)，向上平移m个单位长度后变为(0，b+m)，把(0，b+m)坐标代入的解析式可得，n=b+m从而直线的解析式为y=kx+b+m问题4已知直线：y=kx+b，将直线向下平移m个单位长度得到直线，求直线的解析式答案：直线的解析式为y=kx+b-m(解答过程请同学们自己完成)由此我们得到：直线y=kx+b向上平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b+m，直线y=kx+b向下平移m（m为正）个单位长度得到直线y=kx+b-m，这是直线直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律这个规律可以简记为：以上我们探究了直线y=kx+b的上下 (或沿y轴)的平移，如果直线y=kx+b不是上下(或沿y轴)平移，而是左右(或沿x轴)平移，又该怎样进行平移呢？Let,sgo，让我们一起继续探究！问题5 已知直线：y=3x-12，将直线向左平移5个单位长度得到直线，求直线的解析式简解：根据“两直线平行，对应函数的一次项系数相等”，可设直线的解析式为y=3x+b，直线交x轴于点(4，0)，向左平移5个单位长度后变为(-1，0)把(-1，0)坐标代入y=3x+b，得b=3，从而直线的解析式为y=3x+3问题6 已知直线：y=3x-12，将直线向右平移5个单位长度得到直线，求直线的解析式答案：直线的解析式为y=3x-27(解答过程请同学们自己完成)对比直线和直线直线的解析式可以发现：将直线：y=3x-12向左平移5个单位长度得到直线的解析式为：y=3(x+5)-12；将直线：y=3x-12向右平移5个单位长度得到直线的解析式为：y=3(x-5)-12(此时你有什么新发现？)问题7已知直线：y=kx+b，将直线向左平移m个单位长度得到直线，求直线的解析式简解：设直线的解析式为y=kx+n，直线交x轴于点(，0)，向左平移m个单位长度后变为(0，-m)，把(0，-m)坐标代入的解析式可得，n=km+b从而直线的解析式为y=kx+km+b，即y=k(x+m)+b问题8已知直线：y=kx+b，将直线向右平移m个单位长度得到直线，求直线的解析式答案：直线的解析式为y=k(x-m)+b(解答过程请同学们自己完成)由此我们得到：直线y=kx+b向左平移m（m为正）个单位长度得到直线y=k(x+m)+b，直线y=kx+b向右平移m（m为正）个单位长度得到直线y=k(x-m)+b，这是直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律这个规律可以简记为：下面就请同学们运用一次函数图象平移的规律解决下面问题：1直线y=-x-3向上平移2个单位长度后得到的直线解析式是；直线y=-2向下平移3个单位长度后得到的直线解析式是2直线y=-5x-12向左平移2个单位长度后得到的直线解析式是；直线y=向右平移3个单位长度后得到的直线解析式是3直线y=8x+13既可以看作直线y=8x-3向平移(填“上”或“下”)单位长度得到；也可以看作直线y=8x-3向平移(填“左”或“右”)单位长度得到4要由直线y=2x+12得到直线y=2x-6，可以通过平移得到：先将直线y=2x+12向平移(填“上”或“下”)单位长度得到直线y=2x，再将直线y=2x向平移(填“上”或“下”)得到直线y=2x-6；当然也可以这样平移：先将直线y=2x+12向平移(填“左”或“右”)单位长度得到直线y=2x，再将直线y=2x向平移(填“左”或“右”)得到直线y=2x-6；以上这两种方法是分步平移也可以一次直接平移得到，即将直线y=2x+12向平移(填“上”或“下”)直接得到直线y=2x-6，或者将直线y=2x+12向平移(填“左”或“右”)直接得到直线y=2x-6用好一次函数图象上的关键点湖北省黄石市下陆中学宋毓彬一次函数图象与坐标轴的交点，两个一次函数图象之间的交点，常常是求解一次函数问题的关键点。理解这些点的坐标的几何意义，用好这些点的坐标，是解决一次函数问题的重要方法。一次函数y=kx+b，与x轴的交点为（，0），与y轴的交点为（0，b），一次函数y1=k1+b1与y2=k2+b2的交点坐标为方程组的解。1.一次函数图象与x轴的交点由一次函数与一元一次方程（不等式）的关系，函数图象与x轴交点的横坐标即为对应方程的解；反之，方程的解即为函数图象与x轴交点坐标。一图象与x轴交点（即方程的解）为分界，函数图象在x轴的上方和下方的部分分别表示y0或y0。例1已知函数图象过点（4，1）和点（2，4），求函数的解析式，并画出图象。当x为何值时，y0，y=0，y0？解析：由函数图象观察函数值y0，y=0，y0，关键是看函数图象与x轴的位置关系，而函数图象与x轴的交点则是函数值正负的分界点。设函数解析式y=kx+b，过点（4，1）和点（2，4），解得 y=x+3 图象如图。图象与x轴交点为（6，0）由图象可看出：x=6时，y=0；x6时，y0；x0，y0。2.一次函数图象与y轴的交点一次函数图象与y轴的交点位置决定b的正负。与y轴正半轴相交，b0；与y轴负半轴相交，b0。例2已知一次函数y=kx+b+6与一次函数y=kx+b+2的图象的交点为（2，0），求这两个一次函数解析式及两直线与y轴围成的三角形的面积。解析：两个一次函数的交点为（2，0） 解得 解析式分别为y=x-2；y=x+2两条直线与y轴的交点坐标分别为（0，2），（0，2）。如图。围成的三角形面积为42=4。3.两个函数图象的交点两个函数图象的交点，一方面可利用坐标的几何意义求面积，另一方面还是比较两个函数函数值大小（或不等式）的分界点。例3直线L1：y=k1x+b与直线L2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示。则关于x的不等式k1x+bk2x的解集为：Ax1； Bx1； Cx2； D无法确定解析：两个函数图象的位置关系决定函数值的大小关系。函数图象位于上方的函数，同一个自变量对应的函数值大于函数图象位于下方的函数值。要使k1x+bk2x，即直线L1：y=k1x+b的图象必须位于直线L2：y=k2x的上方时成立。故由函数图象可知：x1时，k1x+bk2x。4.两个函数图象交点的综合运用例4如图，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y（千米）随时间x（分）变化的图象（全程）。根据图象回答下列问题：求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇？求这次比赛全程是多少千米？求比赛开始多少分钟，两人第二次相遇？解析：图中甲的图象由三段线段OA、AB、BC组成，是一个分段函数；乙的图象为线段OD，是一个正比例函数。两人第一次相遇，即函数图象第一次相交，在线段AB上；第二次相遇，即在线段BC上相交处。设第一次相交交点为M，第二次相交交点为N。交点横坐标即为相遇时间。设AB所在直线解析式为y=kx+b，则 y=x+ 当y=6时，x=24，即第24分钟时第一次相遇。由M（24，6）在线段OD上，设OD所在直线解析式为y=kx，24k=6，k=，y=x，当X=48时，y=12 所以全程为12千米。由知C（43，12），设BC所在直线y=kx+b，有，解得，BC所在直线为y=x。由，解得：x=38，即第38分钟两人第二次相遇。一次函数中分段函数在函数自变量不同的取值范围内所对应的函数关系也不相同，我们这样的函数称为分段函数。学习一次函数中的分段函数，通常应注意以下几点：要特别注意相应的自变量变化区间。在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围。分段函数的图象是由几条线段（或射线）组成的折线。其中每条线段（射线）代表某一个阶段的情况。分析分段函数的图象要结合实际问题背景对图象的意义进行认识和理解。尤其要理解折线中横、纵坐标表示的实际意义。一、分段计费问题例1. 我国是世界上严重缺水的国家之一为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨元收费，超过10吨的部分，按每吨元（ba）收费设一户居民月用水吨，应收水费元，与之间的函数关系如图13所示（1）求的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？（2）求的值，并写出当时，与之间的函数关系式；（3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？解析：（1）当时，有将代入，得y=1.5当x=8时,y=81.512（元）（2）当时，有 将，代入，得 故当时，（3）因， 甲、乙两家上月用水均超过10吨设甲、乙两家上月用水分别为吨，吨，则 解之，得故居民甲上月用水16吨，居民乙上月用水12吨 二、行程中的分段函数例2。一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时解析：（1）900； （2）图中点的实际意义是：当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇 （3）由图象可知，慢车12h行驶的路程为900km，所以慢车的速度为；当慢车行驶4h时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km，所以慢车和快车行驶的速度之和为，所以快车的速度为150km/h （4）根据题意，快车行驶900km到达乙地，所以快车行驶到达乙地，此时两车之间的距离为，所以点的坐标为设线段所表示的与之间的函数关系式为，把，代入得 解得所以，线段所表示的与之间的函数关系式为 自变量的取值范围是 （5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h把代入，得此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km，所以两列快车出发的间隔时间是，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h 三、与几何图形有关的分段函数例3。在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点A开始按A BCD的方向运动到D。如图31。设动点P所经过的路程为x，APD的面积为y。（当点P与A或D重合时，y=0）写出y与x的函数关系式；画出此函数的图象。解析：P在边AB、BC、CD上所对应的函数关系不相同。应分段求出相应的函数式。P在边AB上，0x3时， y=4x=2xP在边BC上，3x7时，y=43=6P在边CD上，7x10时，y=4（10-x）=-2x+20y=函数图象如图32。两个斜率和截距互换的一次函数学习八年级数学（上）一次函数内容时经常遇到这样的习题：一次函数与的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（ ）A. B. C. D.笔者调查了本校的部分数学教师，归纳有两种方法传授给学生，方法一：逐个去分析这四幅图，就其中一幅图而言，首先假定其中任意一条直线是，由该直线的位置可得与0的大小关系（即判断出的符号），再用已确定符号的，试一试是否适合另一条直线的位置（假定另一条直线是），若适合，选择该图。方法二：也是逐个分析每一幅图，任意假定其中一条直线是，得到一组的符号；再假定另一条直线是，也得到一组的符号，如果这两组的符号一致，说明此图正确。前不久笔者看到一本有关初中奥数的书中指出，直线与的交点是，交点的横坐标是定值1。本人当时就预感到自己和部分教师对“一次函数与的图象在同一直角坐标系内的大致位置”的认识欠深入，有必要再研究。一、从两直线的交点入手解一次函数与组成的方程组，但是在解的过程中，笔者发现：只有当时（即时），方程组才有唯一的一组解，即直线与在同一直角坐标系内交点才是唯一的，且为，可见，这个交点只在直线上(如图1)。容易看出，当时，一次函数与成同一条直线了，所以笔者认为文首题目的条件不严密，应添加：.二、从两直线所在的象限入手笔者分析，一次函数图像的大致位置是由直线的斜率和它在y轴上的截距的符号来决定的，由于直线与的斜率和在y轴上的截距是互相交换的，所以这两条直线的位置互相牵制。当同号时，直线与同时过相同的三个象限；当异号时，它们不能同时过相同的三个象限。笔者通过探究，可归为三类：1.当且时，两条直线都过一、二、三象限（如图2）说明一下，图形中的位置可以互换（下文的图3同），但是同时两直线的解析式也发生互换。2.当且时，两条直线都过二、三、四象限（如图3）3.当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限。当时，过一、二、四象限，过一、三、四象限。显然，第三类的两种情况可以合二为一：当异号时，若一条直线过一、三、四象限，则另一条直线必过一、二、四象限（如图4）。反之，亦然。总结 综上所述，归纳如下：情形 1 当同正且不相等时，一次函数与的图象在同一直角坐标系内都过一、二、三象限，这两条直线的交点一定在第一象限且在直线上.情形2 当同负且不相等时，这两条直线都过二、三、四象限，交点一定在第四象限且也在直线上.情形3 当异号时，它们其中一条直线过一、三、四象限，另一条直线过一、二、四象限，交点所在象限取决于的符号，若，交点在第一象限；若 ，交点在轴上（1，0）处；若 时，交点在第四象限。且交点必在直线上.三、应用举例例1现在，我们再回过头来解决文章开头的题目（最好加个条件），首先从交点上分析，一次函数与的图象在同一坐标系内的交点必在直线上，淘汰选项B、D；然后再从这两条直线所经过的象限来分析，只有上述总结的三种情形，从而在剩余的选项A、C中把A淘汰掉，选择C. 显然，此法优于文章第二段介绍的方法。例2设且，将一次函数与的图象画在同一直角坐标系内，则图中正确的是（）分析 首先根据条件，淘汰选项，再从这两条直线所经过的象限来分析，观察剩下的三个选项都符合前面总结的情形3，但是选项中两直线的交点所处的位置有所不同，从三幅图可得：异号且.又因已知，所以，可得交点在第四象限，故选探究直线左右平移后的函数解析式大家知道，在平面直角坐标系中，一条直线向上或向下平移n个单位长度后，其对应的函数解析式分别为ykx+bn或ykx+bn（k、b为常数且k0，n0）那么，你知道当一条直线向左或向右平移n个单位长度后，其对应的函数解析式怎样求吗？我们先不妨以直线y2x3为例来作一探索：将函数解析式y2x3变形为x，当直线y2x3向左平移2个单位长度时，直线上各点的纵坐标（y）不变，横坐标（x）都相应减少2个单位长度，所以x2，变形得y2x7，即y2x322；当直线y2x3向右平移2个单位长度时，直线上各点的纵标（y）不变，横坐标（x）都相应增加2个单位长度，就有x2，变形得y2x1，即y2x322那么，对于任一直线ykx+b(k、b为常数且k0) ，如果该直线向左或向右平移 n（n0）个单位长度，仿上，先将ykx+b变形为x，当直线ykxb向左平移n个单位长度时,所得函数解析式为xn，变形得ykx+bk n；当直线ykxb向右平移n个单位长度时,所得函数解析式为xn，变形得ykx+bk n于是,得到以下两个结论：如果直线ykx+b向左平移n （n0）个单位长度，那么所得直线的解析式为ykx+b