第三章 直线与方程.doc

第三章 直线与方程一、概念理解：1、倾斜角：找：直线向上方向、x轴正方向； 平行：=0； 范围：0180 。2、斜率：找k ：k=tan （90）； 垂直：斜率k不存在； 范围： 斜率 k R 。3、 斜率与坐标： 构造直角三角形（数形结合）； 斜率k值于两点先后顺序无关； 注意下标的位置对应。4、 直线与直线的位置关系： 相交：斜率（前提是斜率都存在） 特例-垂直时： ； 斜率都存在时： 。 平行： 斜率都存在时：； 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。 重合： 斜率都存在时：；二、方程与公式：1、直线的五个方程： 点斜式： 将已知点直接带入即可； 斜截式： 将已知截距直接带入即可； 两点式： 将已知两点直接带入即可； 截距式： 将已知截距坐标直接带入即可； 一般式： ，其中A、B不同时为0 在距离公式当中会经常用到直线的“一般式方程”。2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可（可简记为“方程组思想”）。3、距离公式： 两点间距离： 推导方法：构造直角三角形“勾股定理”； 点到直线距离： 推导方法：构造直角三角形“面积相等”； 平行直线间距离： 推导方法：在y轴截距代入式；4、中点、三分点坐标公式：已知两点 AB中点： 推导方法：构造直角“相似三角形”； AB三分点： 靠近A的三分点坐标 靠近B的三分点坐标 推导方法：构造直角“相似三角形”。l 中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。l 三分点坐标公式，用得较少，多见于大题难题。3、 解题指导与易错辨析：1、解析法（坐标法）： 建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标；yxo 依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果； 将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。2、 动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： 的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： 的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”； 的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。3、 直线必过点： 含有一个未知参数-y=(a-1)x+2a+1 = y=(a-1)(x+2)+3令：x+2=0 = 必过点(-2,3) 含有两个未知参数-(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 = m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 = 必过点(-1/7,3/7)4、 易错辨析： 讨论斜率的存在性： 解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：斜率不存在时，是否满足题意； 斜率存在时，斜率会有怎样关系。 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） 直线到两定点距离相等，有两种情况： 直线与两定点所在直线平行； 直线过两定点的中点。 （求解过某一定点的直线方程时，较为常见。） 一 倾斜角与斜率（一）知识点1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0. 则直线l的倾斜角的范围是.2. 倾斜角不是90的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即. 如果知道直线上两点，则有斜率公式. 特别地是，当，时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角=90时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合. 当=90时，斜率k=0；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大；当时，斜率，随着的增大，斜率k也增大. 这样，可以求解倾斜角的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.(二)例题精析例1 经过，两点的直线的斜率是_，倾斜角是_解：经过，两点的直线的斜率，故倾斜角为归纳小结：本题考查过已知两点的斜率和倾斜角解题关键是准确应用过两点的斜率计算公式，并理解斜率和倾斜角之间的内在关系，例2 若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A B C D解：直线恒过定点直线与轴和轴的交点设为，则两点的坐标分别为，直线的斜率为，对应的倾斜角为，直线与轴垂直，对应的倾斜角为故为正确选项归纳小结：本题考查直线的倾斜角与斜率，认识到直线是过定点的直线系是问题解决的关键 通过特殊位置的研究，得到问题的答案，充分体现了数形结合的思想方法，同时对计算能力和三角函数的基础知识也有一定要求巩固提高1已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围. 二 两条直线平行与垂直的判定（一）知识点1. 对于两条不重合的直线 、，其斜率分别为、，有：（1）；（2）.2. 特例：两条直线中一条斜率不存在时，另一条斜率也不存在时，则它们平行，都垂直于x轴；.（二）例题讲解例3 已知过点和点的直线与直线平行，则的值为（ ）A B C D解：过点和点的直线的斜率为直线可变形为，故其斜率为过点和点的直线与直线平行， 解得 故为正确选项归纳小结：两条直线平行，是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考考查的重点本题要先由两点坐标表示出对应直线的斜率，再由两条直线平行，斜率相等，建立关于的方程，通过解方程得到问题的答案 本题的解题过程，充分体现了解析几何的本质：用代数方法研究图形的几何性质 要认真体会数形结合思想及方程思想例4直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ）A B C D解：直线的斜率为 因为所求直线与直线垂直，所以，所求直线的斜率为线过点，由点斜式得直线方程为，即归纳小结：两条直线垂直是两条直线位置关系中的特殊情况，也是高考的考察重点内容当两条直线垂直且斜率存在时，其对应的斜率乘积等于本题先由直线的互相垂直关系，求出所求直线的斜率，再由点斜式求出了直线方程注意体会方程思想，同时，要注意，直线方程的确定要根据具体情况，选择合适的形式巩固提高1直线的斜率是方程的两根，则的位置关系是 . 2若过点的直线与过点的直线平行，则m= . 三 直线的点斜式方程（一）知识点1. 点斜式（point slope form）：直线过点,且斜率为k，其方程为.2. 斜截式（slope intercept form）：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴垂直,此时它的倾斜角为90，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或. 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才是整条直线.巩固提高1已知直线l过点，它的倾斜角是直线的两倍，则直线l的方程为（ ）. A. B. C. D. 2过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线l的方程（ ）. A. B. C. D. 3倾斜角是，在轴上的截距是3的直线方程是 .4 将直线绕它上面一点（1，）沿逆时针方向旋转15，得到的直线方程是 . 四 直线的两点式方程（一）知识点1. 两点式（two-point form）：直线经过两点，其方程为， 2. 截距式（intercept form）：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为.3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线；截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线.4. 线段中点坐标公式.巩固提高1直线在轴上的截距是（ ）. A. B. C. D. 2过两点和的直线在轴上的截距为（ ）. A. B. C. D. 23已知点A（1，2）、B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）. A B C D4过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 .五 直线的一般式方程（一）、知识点1. 一般式（general form）：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线.2 与直线平行的直线，可设所求方程为；与直线垂直的直线，可设所求方程为. 过点的直线可写为.经过点，且平行于直线l的直线方程是；经过点，且垂直于直线l的直线方程是.3. 已知直线的方程分别是：（不同时为0），（不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别：（1）； （2）；（3）与重合； （4）与相交.如果时，则；与重合；与相交. 巩固提高1若，则直线必经过一个定点是（ ）. A. B. C. D. 2直线与两坐标轴围成的面积是（ ）. A B C D3直线（）x+y=3和直线x+（）y=2的位置关系是（ ）. A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行 D. 重合4已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为（ ）. A. 4和3 B. 4和3 C. 4和3 D. 4和35若直线x+ay+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a= . 6过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（，12）在此直线上，则 六 两条直线的交点坐标（一）知识点1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是与的交点.巩固提高1直线与直线的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合2已知直线的方程分别为 ，且只有一个公共点，则（ ）. A. B. C. D. 3经过直线与的交点，且垂直于直线的直线的方程是（ ）. A. B. C. D. 4直线20，4310和210相交于一点，则的值为（ ）. A. 1 B. 1 C. 2 D. 25若直线与直线平行，则 6已知直线l1: 2x-3y+10=0 , l2: 3x+4y-2=0. 求经过l1和l2的交点，且与直线l3: 3x-2y+4=0垂直的直线l的方程.七 两点间的距离一、知识点1. 平面内两点，则两点间的距离为：.特别地，当所在直线与x轴平行时，；当所在直线与y轴平行时，；当在直线上时，.2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.巩固提高1已知点且，则a的值为（ ）. A. 1 B. 5 C. 1或5 D. 1或52点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是，则的长为（ ）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 63已知，点C在x轴上，且AC=BC，则点C的坐标为（ ）. A. B. C. D. 4已知点，点到M、N的距离相等，则点所满足的方程是（ ）. A. B. C. D. 5已知，则BC边上的中线AM的长为 . 6已知点P（2，4）与Q（0，8）关于直线l对称，则直线l的方程为 . 八 点到直线的距离及两平行线距离（一）知识点1. 点到直线的距离公式为.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线，之间的距离公式，推导过程为：在直线上任取一点，则，即. 这时点到直线的距离为(二)例题精析例7 已知点，求的面积解：设边上的高为，则,边上的高为就是点到的距离边所在的直线方程为，即点到的距离因此，归纳小结：本题考查两点间的距离、直线方程及点到直线的距离等知识，有一定的综合性解题关键是确定一边长及对应的高由两点间的距离公式，我们不难求出边长，由已知点的坐标，两点式易得直线方程，再用点到直线的距离公式，求出点到直线的距离，问题可解要注意体会，数形结合既是思想，也是方法例8 已知直线经过直线与的交点若点到的距离为3，求的方程解法一：由 得交点若直线的斜率不存在，则的方程为，显然满足题意若直线的斜率存在，设为，则直线的方程为由点到直线的距离公式得解得 所以，直线的方程为的方程为或解法二：经过两已知直线交点的直线系方程为，即，即，或的方程为或归纳小结：本题考查两直线的交点坐标及直线方程 已知直线过一点求直线方程一般采用点斜式，但如果对直线斜率概念理解不清，容易忘记验证斜率不存在的直线 本题也可用过两直线交点的直线系方程来解 两种方法，都体现了先设后求的待定系数和方程思想要注意提高解简单绝对值方程及无理方程的能力巩固提高1点（0，5）到直线y=2x的距离是（ ）. A. B. C. D. 2动点在直线上，为原点，则的最小值为（ ）. A. B. C.