初二数学小难题及答案.doc

1. 如图519，已知CE、CB分别是ABC和ADC的中线，且AB=AC求证：CD=2CE分析 用加倍法为了证明CD=2CE，考虑CE是ABC底边AB上的中线，故把CE延长到F，使CF=2CE，把原来证CD=2CE转化为证明CD=CF，如此把线段“倍半”的数量关系转化为证两条线段的相等关系证明 如图520，延长CE至F，使EF=CE，连结BF，可证EBFEACBFACABBD又CBFCBA+ABFBCA+CABCBD，BC公用，CBFCBD（SAS）CFCD，即2CECD3. 如图522，在ABC中，BD=DC，EDDF求证：BECFEF分析 本题算延长FD到G，使FD=DG，构造新EDG，通过证明BDGCDF，达到转移线段位置的目的（如图5-22将BE+CF转移为BE+BG，将EF转移为EG）证明 延长FD到G，使DG=DF，连结BGBDG=CDF，BD=DCBDGCDFBG=CF连结EGEDDF，又DG=DFEG=EF在EBG中，BE+BGEG，BE+CFEF.5（本题8分）如图,直线y = kx+6与x轴y轴分别相交于点E,F. 点E的坐标为(- 8, 0), 点A的坐标为(- 6,0). 点P（x,y）是第二象限内的直线上的一个动点。(1).求K的值；(2).当点P运动过程中，试写出OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3).探究：当P运动到什么位置（求P的坐标）时，OPA的面积为278，并说明理由OEFAyxAPCDB6、已知：如图，P是正方形ABCD内点，PADPDA150 求证：PBC是正三角形（初二）7、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PFAP，CF平分DCEDFEPCBA求证：PAPF（初二）APCB8、已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA3，PB4，PC5求：APB的度数（初二）9.如图，在ABC中，ABC=60，AD、CE分别平分BAC、ACB，求证：AC=AE+CD. ABEOD C10.如图，AD是ABC的角平分线，B=2C，1=C，点E在AC上求证：AC=AB+BD.证明：4=1+C，1=C，4=2C B=2C， B=4 1分AD是ABC的角平分线，2=3 AD=AD， ABDAED 3分AB=AE，BD=ED 4分1=C，ED=EC 5分EC=BDAC=AE+EC=AB+BD 6分11、ABC中，ABAC，BAC=900,D、E在BC上，且DAE=450,若BD=3,CE=4CD ABE求DE的长。解：作点B关于AD的对称点，连结OD、OE、OABADOAD，ABAO，BDODBAC90，DAE45BADCAEOADOAECAEOAEABAC，ACAO在OAE与CAE中，AOACOAECAEAEAEOAECAE（SAS）AOEC又BAODOECEDOEBC90DE512已知：如图，中，于，平分，且于，与相交于点是边的中点，连结与相交于点（1）求证：；（2）求证：；（3）与的大小关系如何？试证明你的结论（1）证明：，是等腰直角三角形在和中，且，又，（2）证明：在和中 平分，又，又由（1），知，（3）证明：连结是等腰直角三角形，又是边的中点，垂直平分在中，是斜边，是直角边，13.（10分） (1)如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等边ACD和等边BCE,连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的中点，连接CM、CN、MN.则CMN的形状是_三角形； (2)如图，A、B、C三点在同一直线上，分别以AC,BC为边在AB的同侧作等腰RtACD和等腰RtBCEACD=BCE=90，连接AE、BD，M、N分别为AE、BD的中点，连接CM、CN,MN.则CMN的形状是_三角形； (3)如图，在图的基础上，将BCE绕点C旋转一定的角度，其它条件不变，请将图形补充完整试判断CMN的形状，并说明理由 14.（12分）一次函数y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，E为OA上一动点，D为OB的延长线上一动点，且AE=BD (1)当E为OA中点时，求C点坐标 (2)当E运动到x轴正半轴上，仍有AE=BD，过E作EFAB于F,的值是否变化？若不变，请求出其值；若变化，请求其变化范围 15、已知：以ABC的两边AB、AC为边向外作等腰ADB和等腰AEC，且AB=AD，AC=AE，BAD=EAC，DC、BE交于O .（1）求证：DC=BE (2)若ADB与ACE均为等边三角形，求BOC的度数 ACOEDB（3）若BOC=150，AD=10，求ABD的面积.（1）证明：BADEACDACBAE在DAC与BAE中，ADABDACBAEACAE DACBAE（SAS）DCBE（2）DACBAE12BOCOCE+OEC=ACE+AEC 又ACE是正，ACEAEC60BOC120（3）过点B作BPAD，垂足为PDACBAE，34BOCOBD+BDOABD+ADB150DAB30又BPADBPAB又ABAD10ABDBP5SBPAD2516已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为A（4，0），B（0，4），P为y轴上B点下方一点，PB=m（m0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，点M落在第四象限。（1）求直线AB的解析式；（2）用m的代数式表示点M的坐标；（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由。解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k0）则，解得直线AB的解析式为y=x4 2分（2）作MNy轴于点N（见图5）图5APM为等腰直角三角形，PM=PA，APM=90OPA+NPM=90NMP+NPM=90OPA=NMP又AOP=PNM=90，AOPPNM。（AAS） 3分OP=NM，OA=NPPB=m（m0），NM=m+4，ON=OP+NP=m+8点M在第四象限，点M的坐标为（m+4，m8） 4分（3）答：点Q的坐标不变 解法一：由（2）得NM=m+4，NB=NP+PB=m+4NB=NMBNM=90MBN=45 5分QBO=45，OQB=90QBO=45OQ=OB=4点M在第四象限，点B在y轴的负半轴上，点Q在x轴的负半轴上无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（4，0） 6分解法二：设直线MB的解析式为y=nx4（n0）点M（m+4，m8）在直线MB上，整理，得m0解得直线MB的解析式为5分无论m的值如何变化，点Q的坐标都为（4，0）6分 17如图，等腰直角三角形ABC中，BAC=90，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AFBE交BC于点F，过点F作FGCD交BE的延长线于点G，交AC于点M。 （1）求证：EGM为等腰三角形； （2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论。解：（1）等腰直角三角形ABC中，BAC=90，（见图6）图6AC=AB，ACB=ABC=45又AD=AE，CAD=BAEACDABE（SAS）1=2 1分BAC=90，3+2=90FGCD，1+4=903=4GEM=GMEEG=MG，EGM为等腰三角形 2分（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG 3分证法一：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N（见图6）BNAB，ABC=45FBN=45=FBAFGCDBFN=CFM=90DCBAFBEBFA=90EBC，5+2=90由（1）可得DCB=EBC，BFN=BFA又BF=BFBFNBFA（ASA）NF=AF，N=5 4分又GBN+2=90GBN=5=NBG=NG 5分又NG=NF+FG，BG=AF+FG 6分证法二：设CD、BE的交点为N，连结AN（见图7），先证AF=BN，再证FG=NG。图7证法三：过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见图8）。先证AH=BE，再证FM=FH。图818如图，已知直线OA的解析式为y=x，直线AC垂直x轴于点C，点C的坐标为（2，0），直线OA关于直线AC的对称直线为AB交x轴于点B（1）写出点A及点B的坐标；（2）如图，直线AD交x轴与点D，且ADB的面积为1，求点D的坐标；（3）作OEAD于点E，交AC于点H，作BFAD于点F，求证：OE=AF，并直接写出点H的坐标解：（1）A(2,2),B(4,0) 2分（2）ACBD于点C，AC=2，SADB=1，SADB=BDAC =BD2=1BD=1 3分OD=OBBD=41=3D(3，0) 4分（3）由直线OA的解析式为y=x，可知OC=AC又ACO=90，OAC=AOC=45直线OA关于直线AC的对称直线为AB，BAC=OAC=45，OA=BAOAB=902=90OAE在AOE中，OEA=90，1=90-OAE1=21=2OEA=AFB=90OA=BA在AOEABF中，AOEABF 5分OE=AF 6分H(2,1) 7分19 .如图，在中，（1）请你用直尺和圆规分别作出和的平分线和，分别交BC和AB于点D、E，与相交于点（2）请你判断并写出与之间的数量关系，然后证明关系成立解:（1）作图，必须用圆规。否则扣分4分（2）与之间的数量关系为5分证法一：过点分别作于点，于点6分，且，分别是，的平分线，FBEACD图243H 8分，10分，又，11分12分FBEACD243G证法二： 如图，在上截取，连结6分，为公共边，可证 ，7分由，分别是的平分线，可得9分10分由及为公共边，可得 11分 12分20. 图1、图2中，点C为线段AB上一点，ACM与CBN都是等边三角形.(1) 如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论； (2) 如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究CEF的形状，并证明你的结论. 图1图221如图，直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6，动点P（x，0）在OB上运动（0xy2？ （2）设COB中 位于直线m左侧部分的面积为s，求出s与x之间函数关系式 （3）当x为何值时，直线m平分COB的面积？（10分）21题:（1）解方程组 得 C点坐标为（2，2）； 3分（2）作CDx轴于点D，则D（2，0）s=x2（0x2）；s=-x2+6x-6（2x3）； 3分（3）直线m平分AOB的面积，则点P只能在线段OD，即0x2又COB的面积等于3，故x2=3，解之得x=.4分22.已知如图AE=AC，EF/BC交AB于E交AC于F，EC平分FED，求证：ADCE。 23. （10分） 08年5月12，四川省汶川等地发生强烈地震。在抗震救灾中，甲、乙两重灾区急需一批大型挖掘机，甲地需25台，乙地需23台；A、B两省获知情况后慷慨相助，分别捐赠挖掘机26台和22台并将其全部调往灾区若从A省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.4万元，到乙地要耗资0.3万元；从B省调运一台挖掘机到甲地要耗资0.5万元，到乙地要耗资0.2万元设从A省调往甲地台，A、B两省将捐赠的挖掘机全部调往灾区共耗资y万元（1）求出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）若要使总耗资不超过15万元，有哪几种调运方案？（3）怎样设计调运方案能使总耗资最少？最少耗资是多少万元？23 y0.4X0.3(26-X) 0.5(25X) 0.223(26-X) =19.70.2X (1X25) 19.70.2X15解得:X23.5 1X25 24X25即有2种方案，方案如下：方案1：A省调运24台到甲灾区，调运2台到乙灾区,B省调运1台到甲灾区，调运21台到乙灾区；方案2：A省调运25台到甲灾区，调运1台到乙灾区,B省调运0台到甲灾区，调运22台到乙灾区； y19.70.2X, y是关于x的一次函数，且y随x的增大而减小，要使耗资最少，则x取最大值25。即：y最小=19.70.225=14.7(万元)24某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县已知C，D两县运化肥到A，B两县的运费（元吨）如下表所示（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案分析 利用表格来分析C，D两县运到A，B两县的化肥情况如下表则总运费W（元）与x（吨）的函数关系式为W=35x+40（90-x）+30（100-x）+4560-（100-x）=10x+4800自变量x的取值范围是40x90解：（1）由C县运往A县的化肥为x吨，则C县运往B县的化肥为（100-x）吨D县运往A县的化肥为（90-x）吨，D县运往B县的化肥为（x-40）吨由题意可知W35x+40（90-x）+30（100-x）+45（x-40）10x+4800自变量x的取值范围为40x90总运费W（元）与x（吨）之间的函数关系式为w1Ox+480O（40x9O）（2）100，W随x的增大而增大当x=40时，W最小值=1040+4800=5200（元）运费最低时，x=40，90-x=50（吨），x-40=0（吨）当总运费最低时，运送方案是：C县的100吨化肥40吨运往A县，60吨运往B县，D县的50吨化肥全部运往A县图1560404015030单位：cmABB25.(2009年河北)某公司装修需用A型板材240块、B型板材180块，A型板材规格是60 cm30 cm，B型板材规格是40 cm30 cm现只能购得规格是150 cm30 cm的标准板材一张标准板材尽可能多地裁出A型、B型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意裁法一裁法二裁法三A型板材块数120B型板材块数2mn设所购的标准板材全部裁完，其中按裁法一裁x张、按裁法二裁y张、按裁法三裁z张，且所裁出的A.B两种型号的板材刚好够用（1）上表中，m = ，n = ；（2）分别求出y与x和z与x的函数关系式；（3）若用Q表示所购标准板材的张数，求Q与x的函数关系式， 并指出当x取何值时Q最小，此时按三种裁法各裁标准板材多少张？【关键词】函数的运用【答案】解：（1）0 ，3（2）由题意，得， ， （3）由题意，得 整理，得 由题意，得 解得 x90【注：事实上，0x90 且x是6的整数倍】由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张26、南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，共有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只可选其中一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示：运输工具图中速度（km/h）途中费用（元/km）装卸费用（元）装卸时间（h）飞机2001610002火车100420004汽车50810002若这批水果在运输（包括装卸）过程中的损耗为200元/h，记A、B之间的距离为km。（1）如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车的运输时的总支出费用（包括损耗），求出W1、W2、W3与之间的函数关系式；（2）应采用哪种运输方式，才能使运输时的总支出最少？27如图，ABC中，D为BC的中点，DEBC交 BAC的平分线于E，EFAB，交AB于F，EGAC，交AC的延长线于G，试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论。、答：相等。 1分证明：AE是BAC的平分线，且EFAB于F，E