中考数学一轮复习 第28课 圆的综合导学案.doc

第28课 圆的综合【考点梳理】：1、 圆与三角形2、 圆与四边形3、 圆与函数4、 圆与图形变换【思想方法】方程思想，分类讨论【考点一】：圆与三角形【例题赏析】（2015湖北, 第25题10分）如图，ab是o的直径，点c为o上一点，ae和过点c的切线互相垂直，垂足为e，ae交o于点d，直线ec交ab的延长线于点p，连接ac，bc，pb：pc=1：2（1）求证：ac平分bad；（2）探究线段pb，ab之间的数量关系，并说明理由；（3）若ad=3，求abc的面积考点： 圆的综合题分析： （1）首先连接oc，由pe是o的切线，ae和过点c的切线互相垂直，可证得ocae，又由oa=oc，易证得dac=oac，即可得ac平分bad；（2）由ab是o的直径，pe是切线，可证得pcb=pac，即可证得pcbpac，然后由相似三角形的对应边成比例与pb：pc=1：2，即可求得答案；（3）首先过点o作ohad于点h，则ah=ad=，四边形oceh是矩形，即可得ae=+oc，由ocae，可得pcopea，然后由相似三角形的对应边成比例，求得oc的长，再由pbcpca，证得ac=2bc，然后在rtabc中，ac2+bc2=ab2，可得（2bc）2+bc2=52，即可求得bc的长，继而求得答案思考与收获解答： （1）证明：连接oc，pe是o的切线，ocpe，aepe，ocae，dac=oca，oa=oc，oca=oac，dac=oac，ac平分bad；（2）线段pb，ab之间的数量关系为：ab=3pb理由：ab是o的直径，acb=90，bac+abc=90，ob=oc，ocb=abc，pcb+ocb=90，pcb=pac，p是公共角，pcbpac，pc2=pbpa，pb：pc=1：2，pc=2pb，pa=4pb，ab=3pb；思考与收获（3）解：过点o作ohad于点h，则ah=ad=，四边形oceh是矩形，oc=he，ae=+oc，ocae，pcopea，ab=3pb，ab=2ob，ob=pb，=，oc=，ab=5，pbcpca，ac=2bc，在rtabc中，ac2+bc2=ab2，（2bc）2+bc2=52，bc=，ac=2，sabc=acbc=5点评： 此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质注意准确作出辅助线是解此题的关键思考与收获【考点二】：圆与四边形【例题赏析】（2015永州，第27题10分）问题探究：（一）新知学习：圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边形内接于圆（即如果四边形efgh的对角互补，那么四边形efgh的四个顶点e、f、g、h都在同个圆上）（二）问题解决：已知o的半径为2，ab，cd是o的直径p是上任意一点，过点p分别作ab，cd的垂线，垂足分别为n，m（1）若直径abcd，对于上任意一点p（不与b、c重合）（如图一），证明四边形pmon内接于圆，并求此圆直径的长；（2）若直径abcd，在点p（不与b、c重合）从b运动到c的过程汇总，证明mn的长为定值，并求其定值；（3）若直径ab与cd相交成120角当点p运动到的中点p1时（如图二），求mn的长；当点p（不与b、c重合）从b运动到c的过程中（如图三），证明mn的长为定值（4）试问当直径ab与cd相交成多少度角时，mn的长取最大值，并写出其最大值考点：圆的综合题专题：探究型分析：（1）如图一，易证pmo+pno=180，从而可得四边形pmon内接于圆，直径op=2；（2）如图一，易证四边形pmon是矩形，则有mn=op=2，问题得以解决；（3）如图二，根据等弧所对的圆心角相等可得cop1=bop1=60，根据圆内接四边形的对角互补可得mp1n=60根据角平分线的性质可得p1m=p1n，从而得到p1mn是等边三角形，则有mn=p1m然后在rtp1mo运用三角函数就可解决问题；设四边形pmon的外接圆为o，连接no并延长，交o于点q，连接qm，如图三，根据圆周角定理可得qmn=90，mqn=mpn=60，在rtqmn中运用三角函数可得：mn=qnsinmqn，从而可得mn=opsinmqn，由此即可解决问题；思考与收获（4）由（3）中已得结论mn=opsinmqn可知，当mqn=90时，mn最大，问题得以解决解答：（1）如图一，pmoc，pnob，pmo=pno=90，pmo+pno=180，四边形pmon内接于圆，直径op=2；（2）如图一，aboc，即boc=90，boc=pmo=pno=90，四边形pmon是矩形，mn=op=2，mn的长为定值，该定值为2；（3）如图二，p1是的中点，boc=120cop1=bop1=60，mp1n=60p1moc，p1nob，p1m=p1n，p1mn是等边三角形，mn=p1mp1m=op1sinmop1=2sin60=，mn=；设四边形pmon的外接圆为o，连接no并延长，思考与收获交o于点q，连接qm，如图三，则有qmn=90，mqn=mpn=60，在rtqmn中，sinmqn=，mn=qnsinmqn，mn=opsinmqn=2sin60=2=，mn是定值（4）由（3）得mn=opsinmqn=2sinmqn当直径ab与cd相交成90角时，mqn=18090=90，mn取得最大值2点评：本题主要考查了圆内接四边形的判定定理、圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识，推出mn=opsinmqn是解决本题的关键思考与收获【考点三】：圆与函数【例题赏析】（2015广西崇左第26题12分）如图，在平面直角坐标系中，点m的坐标是（5，4），m与y轴相切于点c，与x轴相交于a，b两点（1）则点a，b，c的坐标分别是a（，），b（，），c（，）；（2）设经过a，b两点的抛物线解析式为y=（x5）2+k，它的顶点为f，求证：直线fa与m相切；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点p，且点p在x轴的上方，使pbc是等腰三角形？如果存在，请求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由【思路分析】（1）连接mc，则mc垂直于y轴，ma=mc=5，md=4，由勾股定理可计算ad和db；（2）把a、或b或c的坐标代入y=,确定二次函数表达式y=，连接ma，根据勾股定理计算af，由勾股定理逆定理判断maaf，从而说明fa是切线；（3）设p（x,4）,当c为顶点时，在rtcmp1中用x表示cp1，根据p1c2=bc2列方程求解；当b为顶点时，在rtbdp2中用x表示cp2，根据p2b2=bc2列方程求解；当p是顶点时，易知p和m重合.解：（1）连接mc，则mc垂直于y轴，ma=mc=5，md=4，在rtamd中，ad=3，同理在rtbmd中，bd=3，a（2,0），b（8,0），c（0,4）；（2）把a（2,0）y=,思考与收获解得k=-,y=，f（5，-）.连接ma，则mf=4+=，af=，maaf，fa与m相切；（3）设p（x,4）,bc2=80.当c为顶点时，在rtcmp1中, cp12=25+(x-4)2,25+(x-4)2=80，x=4，点p在x轴上方，故x=4+,所以（4+，4）；当b为顶点时，在rtbdp2中，cp2=9+(x-4)2, 9+(x-4)2=80，x=4，点p在x轴上方，故x=4+,所以（4+，4）；当p是顶点时，p和m重合，p3（5,4）.用x表示cp2，根据p2b=bc列方程求解；当p是顶点时，综上当p（4+，4）、（4+，4）或（5,4）时pbc是等腰三角形.用x表示cp1，根据p1c=bc列方程求解；当b为顶点时，在rtbdp2中用x表示cp2，根据p2b=bc列方程求解；当p是顶点时，易知p和m重合.思考与收获点评：求点的坐标，就是计算和坐标有关的线段，即计算该点作和坐标轴垂线段，注意线段长度和坐标转化时符号的变化；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题证明切线的的方法：连半径，证垂直，即要证明一条直线是圆的切线，可证明这条直线经过半径外端且垂直与这条半径.【考点四】：圆与图形变换 【例题赏析】（2015江苏盐城，第28题12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点p（0，2）顺时针旋转45后与该抛物线交于a、b两点，点q是该抛物线上一点（1）求直线ab的函数表达式；（2）如图，若点q在直线ab的下方，求点q到直线ab的距离的最大值；（3）如图，若点q在y轴左侧，且点t（0，t）（t2）是射线po上一点，当以p、b、q为顶点的三角形与pat相似时，求所有满足条件的t的值考点：二次函数综合题分析：（1）根据题意易得点m、p的坐标，利用待定系数法来求直线ab的解析式；（2）如图，过点q作x轴的垂线qc，交ab于点c，再过点q作直线ab的垂线，垂足为d，构建等腰直角qdc，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最值的求法进行解答；（3）根据相似三角形的对应角相等推知：pbq中必有一个内角为45；需要分类讨论：pbq=45和pqb=45；然后对这两种情况下的pat是否是直角三角形分别进行解答另外，以p、b、q为顶点的三角形与pat相似也有两种情况：qpbpat、qbppat思考与收获解答：解：（1）如图，设直线ab与x轴的交点为mopa=45，om=op=2，即m（2，0）设直线ab的解析式为y=kx+b（k0），将m（2，0），p（0，2）两点坐标代入，得，解得故直线ab的解析式为y=x+2；（2）如图，过点q作x轴的垂线qc，交ab于点c，再过点q作直线ab的垂线，垂足为d，根据条件可知qdc为等腰直角三角形，则qd=qc设q（m，m2），则c（m，m+2）qc=m+2m2=（m）2+，qd=qc=（m）2+故当m=时，点q到直线ab的距离最大，最大值为；（3）apt=45，pbq中必有一个内角为45，由图知，bpq=45不合题意如图，若pbq=45，过点b作x轴的平行线，与抛物线和y轴分别交于点q、f此时满足pbq=45q（2，4），f（0，4），此时bpq是等腰直角三角形，由题意知pat也是等腰直角三角形（i）当pta=90时，得到：pt=at=1，此时t=1；（ii）当pat=90时，得到：pt=2，此时t=0如图，若pqb=45，中是情况之一，答案同上；先以点f为圆心，fb为半径作圆，则p、b、q都在圆f上，设圆f与y轴左侧的抛物线交于另一点q则pqb=pqb=45（同弧所对的圆周角相等），即这里的交点q也是符合要求设q（n，n2）（2n0），由fq=2，得思考与收获n2+（4n20=22，即n47n2+12=0解得n2=3或n2=4，而2n0，故n=，即q（，3）可证pfq为等边三角形，所以pfq=60，又pq=pq，所以pbq=pfq=30则在pqb中，pqb=45，pbq=30（i）若qpbpat，则过点a作y轴的垂线，垂足为e则et=ae=，oe=1，所以ot=1，解得t=1；（ii）若qbppat，则过点t作直线ab垂线，垂足为g设tg=a，则pg=tg=a，ag=tg=a，ap=，a+a=，解得pt=a=1，ot=oppt=3，t=3综上所述，所求的t的值为t=1或t=0或t=1或t=3思考与收获点评：本题考查了二次函数综合题其中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值的求法以及相似三角形的判定与性质，难度比较大另外，解答（3）题时，一定要分类讨论，做到不重不漏 【考点五】：圆与锐角三角函数【例题赏析】（2015湘潭，第25题10分）如图，已知ab是o的直径，过点a作o的切线ma，p为直线ma上一动点，以点p为圆心，pa为半径作p，交o于点c，连接pc、op、bc（1）知识探究（如图1）：判断直线pc与o的位置关系，请证明你的结论；判断直线op与bc的位置关系，请证明你的结论（2）知识运用（如图2）：当paoa时，直线pc交ab的延长线于点d，若bd=2ab，求tanabc的值分析：（1）pc与o相切易证明paopco，则pao=pco，由pa是o的切线，可知pao=pco=90，即可证明结论；思考与收获opbc由（1）可知poa=poc，根据圆周角定理可知b=poa，根据同位角相等可证明opbc（2）根据opbc，可知，由bd=2ab，可知ad=6oa，od=5ob，所以pd=5pc，设设pa=pc=r，oa=r，根据勾股定理列方程求出r与r的数量关系，即可在rtpao中求出tanabc=tanpoa解答：（1）pc与o相切证明：如图1，连接oc，在pao和pco中，paopco，pao=pco，pa是o的切线，ab是o的直径，pao=pco=90，pc与o相切opbc证明：paopco，poa=poc，b=poa，opbc（2）解：如图2，bd=2ab，bd=4ob，ad=6oa，opbc，pd=5pc，设pa=pc=r，oa=r，ad=6r，pd=5r，思考与收获pa2+ad2=pd2，r2+（6r）2=（5r）2解得：r=r，tanabc=tanpoa=，tanabc=点评：本题主要考查了圆的有关性质、切线的性质与判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理以及锐角三角函数的综合应用，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题【真题专练】1. （2015铜仁市）（第24题）如图，已知三角形abc的边ab是0的切线，切点为bac经过圆心0并与圆相交于点d、c，过c作直线ce丄ab，交ab的延长线于点e（1）求证：cb平分ace；（2）若be=3，ce=4，求o的半径思考与收获2. （2015桂林）（第25题）如图，四边形abcd是o的内接正方形，ab=4，pc、pd是o的两条切线，c、d为切点（1）如图1，求o的半径；（2）如图1，若点e是bc的中点，连接pe，求pe的长度；（3）如图2，若点m是bc边上任意一点（不含b、c），以点m为直角顶点，在bc的上方作amn=90，交直线cp于点n，求证：am=mn3. （2015青海西宁第26题10分）如图，已知bc为o的直径，ba平分fbc交o于点a，d是射线bf上的一点，且满足=，过点o作omac于点e，交o于点m，连接bm，am（1）求证：ad是o的切线；（2）若sinabm=，am=6，求o的半径思考与收获4（2015昆明第22题，8分）如图，ah是o的直径，ae平分fah，交o于点e，过点e的直线fgaf，垂足为f，b为直径oh上一点，点e、f分别在矩形abcd的边bc和cd上（1）求证：直线fg是o的切线；（2）若cd=10，eb=5，求o的直径5. （2015曲靖24题12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，直线ly轴于点b（0，2），a为ob的中点，以a为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于c、d两点，且cd=4，点p为抛物线上的一个动点，以p为圆心，po为半径画圆（1）求抛物线的解析式；（2）若p与y轴的另一交点为e，且oe=2，求点p的坐标；（3）判断直线l与p的位置关系，并说明理由【真题演练参考答案】1. （2015铜仁市）（第24题）如图，已知三角形abc的边ab是0的切线，切点为bac经过圆心0并与圆相交于点d、c，过c作直线ce丄ab，交ab的延长线于点e（1）求证：cb平分ace；（2）若be=3，ce=4，求o的半径考点：切线的性质.分析：（1）证明：如图1，连接ob，由ab是0的切线，得到obab，由于ce丄ab，的obce，于是得到1=3，根据等腰三角形的性质得到1=2，通过等量代换得到结果（2）如图2，连接bd通过dbccbe，得到比例式，列方程可得结果解答：（1）证明：如图1，连接ob，ab是0的切线，obab，ce丄ab，obce，1=3，ob=oc，1=2，2=3，cb平分ace；（2）如图2，连接bd，ce丄ab，e=90，bc=5，cd是o的直径，dbc=90，e=dbc，dbccbe，bc2=cdce，cd=，oc=，o的半径=点评：本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键2. （2015桂林）（第25题）如图，四边形abcd是o的内接正方形，ab=4，pc、pd是o的两条切线，c、d为切点（1）如图1，求o的半径；（2）如图1，若点e是bc的中点，连接pe，求pe的长度；（3）如图2，若点m是bc边上任意一点（不含b、c），以点m为直角顶点，在bc的上方作amn=90，交直线cp于点n，求证：am=mn考点：圆的综合题分析：（1）利用切线的性质以及正方形的判定与性质得出o的半径即可；（2）利用垂径定理得出oebc，oce=45，进而利用勾股定理得出即可；（3）在ab上截取bf=bm，利用（1）中所求，得出ecp=135，再利用全等三角形的判定与性质得出即可解答：解：（1）如图1，连接od，oc，pc、pd是o的两条切线，c、d为切点，odp=ocp=90，四边形abcd是o的内接正方形，doc=90，od=oc，四边形docp是正方形，ab=4，odc=ocd=45，do=co=dcsin45=4=2；（2）如图1，连接eo，op，点e是bc的中点，oebc，oce=45，则e0p=90，eo=ec=2，op=co=4，pe=2；（3）证明：如图2，在ab上截取bf=bm，ab=bc，bf=bm，af=mc，bfm=bmf=45，amn=90，amf+nmc=45，fam+amf=45，fam=nmc，由（1）得：pd=pc，dpc=90，dcp=45，mcn=135，afm=180bfm=135，在afm和cmn中，afmcmn（asa），am=mn点评：此题主要考查了圆的综合以及全等三角形的判定与性质以及正方形的判定与性质等知识，正确作出辅助线得出mcn=135是解题关键3. （2015青海西宁第26题10分）如图，已知bc为o的直径，ba平分fbc交o于点a，d是射线bf上的一点，且满足=，过点o作omac于点e，交o于点m，连接bm，am（1）求证：ad是o的切线；（2）若sinabm=，am=6，求o的半径考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质.分析：（1）要证ad是o的切线，连接oa，只证dao=90即可（2）连接cm，根据垂径定理求得=，进而求得abm=cbm，am=cm=6，从而得出sincbm=，在rtbmc中，利用正弦函数即可求得直径ab，进而求得半径解答：（1）证明：连接oa；ba平分cbf，adb=cab，adbcba，adb=cab，又bc为o的直径，cab=90，adb=90，又点a在圆o上，oa=ob，oab=oba=dba，fboa，adb+oad=180，oad=90，oada，oa为半径，da为o的切线（2）解：连接cm，omac于点e，om是半径，=，abm=cbm，am=cm=6，sinabm=sincbm=，bc为o的直径，bmc=90，在rtbmc中，sincbm=，=，bc=10，o的半径为5点评：本题考查了切线的判定要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可同时考查了三角函数的知识4（2015昆明第22题，8分）如图，ah是o的直径，ae平分fah，交o于点e，过点e的直线fgaf，垂足为f，b为直径oh上一点，点e、f分别在矩形abcd的边bc和cd上（1）求证：直线fg是o的切线；（2）若cd=10，eb=5，求o的直径考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质分析：（1）连接oe，证明fg是o的切线，只要证明oef=90即可；（2）设oa=oe=x，则ob=10x，在rtobe中，obe=90，be=5，由勾股定理得：ob2+be2=oe2，即（10x）2+52=x2，求出x的值，即可解答解答：解：（1）如图1，连接oe，oa=oe，eao=aeo，ae平分fah，eao=fae，fae=aeo，afoe，afe