〈全息拓扑学理论〉.doc

全息拓扑学理论全息拓扑学理论和大脑思维的数学模型毕 家 祥E-mail: 摘要：本文试将全息原理和拓扑学方法结合在一起，建立起了一种全息拓扑理论的公理化体系，本文介绍了一种新的大脑思维的数学模型：全息空间，分析了全息空间中的各种拓扑相关关系，研究了全息拓扑结构的特性。本文指出在大脑思维中信息的编码方式具有以商空间的某种等价关系为基础的自然编码的特点，并按照全息拓扑理论的方法，进一步对大脑智能和人工智能存储，处理信息的过程和信息的多层次结构作了较为详细的分析和阐述。关键词：全息空间；全息拓扑；延拓；聚类反应；自然编码；全息软件1. 引言思维的本质是什么？怎样去认识人类思维的规律性？机器能否具备思维功能，能否形成自己的独特的概念和意识？机器概念或意识是什么，将可能以什么样的形式出现？大脑是怎样对信息进行编码的？人工智能最终能否实现，其是否有不可逾越的障碍，在这一方面我们应该沿着什么方向、什么途径去探索，这些问题涉及到一个十分困难的研究课题人工智能。智能即智力功能，其是人类大脑所具有的感知、认识、学习、理解、分析、综合、判断、推理、创造等局部功能的总和与它们的有机综合的统称；因此，完善的智能中不能不包含有人类的情感、意识、意志等这种高级因素。何为人工智能？人工智能就是利用设备或机器，用人工的方法，对人脑的思维活动过程进行模拟；当使得设备或机器的功能与脑功能大体等价时，这种设备或机器的功能就可以认为是具有某种程度的人工智能。人工智能应该以平均智力商为评定标准，并在与对比者（人）同等条件状况下进行全面地综合测试或进行某几种局部功能的单项测试；当测试结果不低于规定的智力商数时，应当承认该设备或机器具有某种程度或某种意义的人工智能。人工智能问题是一个古老的但又是十分新颖的研究课题。近十多年来，各国研究人员在人工智能的研究上都已经获得巨大的进展，然而各种传统的或新颖的智能模型迄今还不能完全而圆满地对大脑思维活动的过程进行解释和模拟，人们还不十分了解信息在大脑中的底层结构和编码方法；其中特别是象人们的概念、意识、情感和创造性思维过程等，还根本无从着手；同时关于这一方面，在哲学上、自然科学上还有很大的争论，还不能得到哲学界和自然科学界的一致认同。为了进行这一方面的探讨，本文从信息系统内部整体结构和精细结构的互相关系，系统内各级子系统、子结构之间的互相作用，系统整体和局部区域的互相影响等几个问题出发，以整体相关性原理为基础，提出了全息空间模型。并研究了全息空间的结构和该结构在局部变化时对整体的影响，以及全息空间的结构上的延伸等问题。描述了全息空间的高层结构在局部空间连续变换时的整体不变性和定义域不变性。指出了在全息空间中可能隐含着未知的信息集合，即关于概念本身的延拓和扩展能否产生新的未知的结果而这个新的结果又能否被旧的结构形式所蕴涵和容纳。这些，当然是属于拓扑学范畴的东西，因此，本文把研究这一类问题的这种理论方法取名为“全息拓扑”分析法。顾名思义，全息拓扑理论又可以称为“信息集合的整体结构的理论”，研究的对象是关于信息集合内部元素的有秩序组合在集合的整体上或新的层次上所表现出来的整体性的新的性质的问题。而这种整体性是一种高级层次上的整体性，新的性质也只有在这种高级层次上才能体现出来。思维是一个十分复杂的生理的和心理的过程，它牵涉面极为广泛；然而对于思维过程的规律性进行深入细致的了解和研究就更加复杂和困难。因此，能够正确地选择研究方法和选择适当的模型是十分重要的。本文从研究信息的结构入手，首先建立了“特征信息”这一概念，然后通过特征信息在存储器中的有机组合而构成了一种连续的、统一的高级组织：“全息空间”。全息空间是信息空间的内在结构发生质变后的高级组织形式，它脱离了原信息空间中各个信息元素或子空间之间毫不相关，互相独立存在的那种初级随机组合形式，而使得整个信息空间内部的元素组成一个统一的有机的整体，并使得这个整体内部在高级层次上产生出新的重要的性质。根据这些性质，我们可以看到，全息空间模型的信息存储方式和结构形式与大脑存储信息的方式十分地相似，大脑存储和处理信息的方式在微观（细胞、神经元）上的整体性与非特异性和在宏观上的局部性与特异性同样地在全息空间中都有所体现。另外，还有一点重要的原因是：全息空间的简化模型有一定的规律性，它可以直接利用电子计算机来模拟；这将为我们在局部上更改和校正模型提供了极大的方便。全息拓扑理论是专为研究大脑的思维规律和人工智能而建立的一种纯数学的理论体系，当然，它必然地会涉及生命科学和其他一些领域。利用全息拓扑理论，我们已经获得一些有益的和新颖的研究结果，对这方面感兴趣的研究者可参阅本文的第三部分。本文将在下面分三大部分讨论与研究有关全息拓扑公理体系方面或人工智能方面的几个问题：.确立和讨论全息拓扑学的公理体系；.讨论和分析全息拓扑理论的多层次拓扑相关特性；.讨论和分析某些人工智能方面的问题，介绍一种自然界所特有的编码方法：自然编码方法；并分析了大脑中信息的多层次结构的特点和性质。第一部分：全息空间的拓扑结构2.全息空间的公理化体系公理1信息结构整体相关公理： 对于足够多个互相关联的特征信息元素，当元素、元素的性质、元素在存储器中的坐标这三者在存储器中互相确认，因而决定了信息存储器的空间结构以后，存储器的空间坐标能够决定任何一个孤立点上的元素的性质或者是任何一部分子空间的空间结构。公理2分割后的可测子空间同势公理：当把全息空间进行任意次有限分割后，它的任意一个可测的被分割了的子空间与原来的整个空间同势并且有相同的空间测度。公理3线性组合的定义域不变性公理：在全息空间中确定任意的一个区域D，那么在D的邻域内所有子空间的全体线性组合及其派生将依然被确定在原先的全息空间上。2.1信息空间的基本构造定义2.2由定义2.1可知，未被赋予有信息的存储器本身由于不含有信息，故不能构成信息空间；同样，当信息集合e 未能被赋予信息存储器时，信息集合本身由于没有空间结构，也不能叫作信息空间。定义2.7当两个信息空间A ，B 之间有共同的部分或边界，并且在共同边界处不存在着任何间断时，它们就叫作连通的。定义2.8当且仅当中的任意两个子空间之间都是连通的时候，方为连通；否则，为不连通或不完全连通。下面，我们对这种随机的空间结构在概念上进行延伸，考察一下其中一种特殊的，真正有用的有序化了的空间结构形式：全息空间结构。2.2全息空间的构造假设构造一种信息空间，通过一定的关系，使整个空间有机地连通起来，并使得在中的任何一个元素a 均具有如下的性质： 1. a A : 其中A是由a的一个小小邻域内的所有的元素作成的子空间；2. 除了A 以外，其它的子空间Ai ( i = 1, 2, ) 中也都包含有信息元素a ，或隐含有a ；当子空间Ai 的数目极多，以至于复盖了整个时，使得元素a被整个空间的任何区域所隐含，或者使得a 被所有不属于自身的其它元素所隐含。这样，当a取遍了整个空间中的所有元素，而使得这些元素中的任何一个均可能具备有如上的性质时，可以进一步使得整个空间中的所有元素都被整个空间内的任何区域所隐含。当我们给定了某一个元素在空间中的坐标以后，坐标上元素的性质或特征也随之被确定；并且当每一个元素被信息空间承认并确定以后，其邻域的元素的性质或特征也同时被间接地确定下来。我们将这种空间各个部分均包含了所有信息及其结构、特征的空间，称为全息空间。在具有连续势的全息空间中的每一“点”上（极小区域，即以x(a 0)为中心，以(0 )为半径的(a 0)的-邻域里）都包含（或隐含）了整个空间的全部信息。这样，我们就引入了全息空间的概念。定义2.9若有一信息空间内部连通并且由其生成的商空间在结构关系上亦连通，并满足如下的条件：（）在中任何一个元素a 的-邻域（0）所构成的子空间中，包含（或隐含）有整个空间的全部信息元素；（）当中的足够多的信息元素的构成决定了空间的主要性质和其结构形式以后，空间坐标决定了每一个孤立点、子区域和子空间的性质和其上的空间结构。满足以上两个性质的信息空间被称为全息空间，仍然记作：。定义2.10元素在中所复盖的区域和由全息空间的空间结构所涉及的范围的大小称为全息空间的空间测度，记作：() 。2.3全息空间的性质根据上面所述的全息空间的定义，可以知道，信息元素的集合在全息空间中的形态和其位置的坐标是与它们自身的特性密切相关的，信息在存储器中的无序状态的随机堆集不能形成全息空间。由此，可以得出如下的定理：定理2.1全息空间中的一切元素之间都是互相相容的，所有互不相容的元素不属于同一个全息空间。证明：当某个元素a 被确定在上以后，根据全息空间的定义，其必然要与邻近元素构成连通区域，并必然会与整个空间连通，并且至少能够决定其邻域附近的空间结构。如果元素a与其邻域或邻域系中的某个元素x是不相容的，则元素之间的不相容状态必然会引起这两个元素附近的空间在结构上的相抵触，结构上的对立又引起空间断裂；这与定义要求空间连通不相符，故或者a或者x，两者之中必有一个不属于。因此，本定理得证。定理2.2全息空间中的一切元素与它自身的空间坐标是相适应的，所有与坐标不相适应的元素不属于该全息空间或者不属于该坐标位置。证明：根据定义2.9：在空间被基本确定以后，空间坐标本身也有了结构。当某元素a被确定在坐标(a)上以后，元素所决定的空间结构与坐标所决定的空间结构必须要相适应，否则会引起空间断裂，与定义要求不符；然而坐标的空间结构是由整个空间所决定的，不可更改，能更改的只有是元素a了；故如果元素与其坐标不相适应，或者是因为元素a 根本不属于，或者是a不应该在该坐标位置上。证毕。定理2.3令上具有连续势，那么该内的任意一个非空的子空间与整体有相同的()值；其中()表示的空间测度。证明一先从自身的性质上证明其充分性：既然存在，那么内的元素则应含有特征信息P，元素之间应当满足由特征信息P 所规定的互相依存的结构关系（或商空间关系）；根据定义2.9可以知道，如果这种关系被破坏，中的元素本身也必然会被破坏，空间也就不存在了。现在假如无论怎样分割W ，而不会破坏这种关系的话，元素自身也就不会受到破坏。这时，空间必须满足如下两个条件：（）非空；（）连续。（元素是以连续形式分布着的。）第一个条件“非空”是由这种关系的存在而自然满足的，空间根据定义不属于；第二个条件“连续”是定理已经规定的。而从两个以连续形式分布着元素的集合之间存在着的一一对应的关系可知：部分中的元素的个数等于整体中的元素的个数。由于元素的个数相同，而且元素与空间结构之间的依存关系由于两个空间之间存在着的母子关系也应相同，即全息空间的结构相同，而空间结构规定了空间测度的大小；从而使得具有元素个数相同，空间结构相同的两个不同形式大小的全息空间有相同的空间测度。故本定理的充分性得证。（注：由于信息空间的空间结构不存在上述这种依赖关系，故相同个数的元素组成的两个不同形式大小的信息空间可能会有不同的空间测度。）引理2.1对于具有连续势的，将不可能在中找到一个最小子空间。定理2.4对于连续势为的一个，可以被任意地分割成为大小不为的任何小块，其分割后的子空间碎片除了势和空间测度不变以外，每一个碎片都可以生成出一个与原空间完全相同的新的 空间。证明设想有一个球面形状的存储器。将信息根据其自身的携带的性质按坐标有序地记入到球面上，构成一个球面状的全息空间。现在将球面剖为相等的A ，B 两个部分。根据定理2.3可以知道，由于半个球面上的元素能与整个球面上的元素一一对应，故半球面上的势不变，空间测度亦不变；另外，从定义2.9知道整个球面上的全部元素被球面的任何一个小区域所直接或间接地蕴涵，因而球面上的任意一个部分都能够确定被割去了的邻域上的信息元素。那么，A 球面上的空间结构按照定理2.1和2.2的相容性和相适性原理，可以向外延拓，生成出与坐标相适的，并与附近（在A 球面被切的边界附近）的元素相容的新的元素来代替被切除了的部分的元素。现在再让从逐渐增大到/2，作为A半球边缘某一个小区域的邻域的一系列半径，逐步向外扩展和生成。这样一步步地向外延拓，最后生成和确定出B半球面的全部信息元素。反之也是这样。因此，每一个半球面至少都能各自形成一个势依旧为，空间测度为m()的新的球面。证完。但是，另一方面我们也知道，有限的几个信息元素之间既不一定能建立起那种互相依存的关系，也不一定就能构成全息空间。因此，对于具有非连续势或可列势的空间，除了在空间结构上要完备以外，元素的数量也是一个相当重要的因素。我们将能够构成全息空间的最低的元素数目称为上的最小势；信息元素的数目如果低于这个最小势就不能构成全息空间。2.4 内的奇异区域和“眼”定义2.11如果在中的某个区域里存在着某些特殊的点，该点上所携载的信息元素既不能与邻域的元素相容，又不能与的空间坐标相适应，更不能说明和确定的空间结构，我们则称之为伪点。定义2.12由成群的伪点构成的连续区域被称为奇异子空间。含有奇异子空间的全息空间叫准全息空间。定义2.13如若奇异子空间中存在这么一种区域：它使得该区域自身能够构成小型的严格的子全息空间；就是说，不论外界情况如何，该区域均能够使自己处于不败之地；则我们说：它是奇异子空间的一个眼，而且还是个“活”眼。奇异子空间能够在全息空间中长期保存而不被扭转，必须至少要有一个以上的这种活眼；眼越多，奇异子空间的空间结构强度就越大，就越不容易被扭转。另外，如果全息空间A中的某个奇异子空间可以与A外面的某个全息空间B构成连通，那么，它也是不可被扭转的。反之，如果在奇异子空间中既不存在着这种小型区域，又不能与其它的全息空间构成连通，那么，这个奇异子空间就是可扭转的。3.全息空间的拓扑结构与结构的拓扑生成3.1全息空间的拓扑结构如前所述，可以考虑到全息空间中任意一点上的元素都是一个特征信息元素，即：它们携带着各自互不相同的特征信息，具有一定的内部空间结构。因此，可以认为，这些元素还不是最基本的。如果再继续分解这些特征信息元素，而使得它们被分解成一个个独立的、完全相同的、最基本的信息单位，并且使得这些最基本的信息单位除了有与位置、坐标有关的排列分布上的差异外，不再带有其他的独立的特异性，我们把这种最基本的信息单位称为信息原子。设想在一个存储器的单元中的信息原子的有序集合组成了一个小小的子集特征信息元素，并且使得它们的集族信息空间形成了一个原始的拓扑结构。而在该原始拓扑结构基础上建立起来的第二层拓扑结构，是以上的所有子集作成的集族而形成的拓扑结构，这就是我们所要研究的基本拓扑结构。定义3.1设是一个全息相关的全息空间，令的所有子空间的空间族为T ，则称T 为关于上的一个全息拓扑结构，而称为是T 的一个基础空间；和它的拓扑T 在一起，叫一个关于全息拓扑空间，记作：（,T ）。当然，拓扑空间中的一个元素实际上就是上的一个子集；为了与前面的空间中的元素区别起见，我们在这里称它为全息拓扑空间的一个族元。3.2上的线性组合及其子空间的筛选定义3.2线性空间（或线性区域）是指：（）该空间（或区域）是可叠加的；并且叠加后的结果也在该空间（或区域）中；（）该空间（或区域）上的任何一点上的空间结构以及该点上的元素的性质可以在其邻域上被线性地延续下来。定义3.3在上的组合算法的全体对于组合运算来说作成一个群，记作：C(）。定义3.4对于上的若干组合运算，如果存在着一个C 群，使得该组合运算在C 群中有确切的唯一的定义，而且组合后的结果也在该群中；并且当这个运算系被重新排列或重新组合时，总的C 群不变；那么，这些组合就叫作是上的线性组合。定义3.5将全息空间“打碎”成子空间或者元素，若再将其中的某些子空间或者元素进行任意的重新组合，能够构成一个新的全息子空间，而这个新的子空间依然还是被确定在原先的上。那么，我们将称为是1，2，（）的一个“线性”全息组合，而该重新组合过程叫作全息空间的一个线性组合变换。当然，由不相同的信息系统构成的若干个互不相关的全息空间之间，不能形成“线性”全息组合关系，也不能够进行互相之间的线性组合变换。显然，当进行线性组合变换的时候，组合变换的方式可能会有无限多种（也有可能是有限多种，但即使是有限的，这种有限的数量也可能会相当地大）；因此，在整个（,T ）中对应于这些变换可能得到的族元，也应该有无限多个。可是，在某些期望条件的约束下，究竟选择其中的哪一个（组）比较合适呢？下面，我们引入了筛空间的概念。定义3.6设期望条件为，而约束1，2，,则整个被称为是一个约束空间。约束空间和筛选方法一起，叫作一个筛空间。定义3.7在筛选时，若约束空间将整个（,T ）从头到尾全部筛选一遍，这种筛选法叫作小筛。定义3.8在（,T ）中，若可以寻找到一条路线（或方向），使得我们有一个规律或规则可循，不必进行全筛，而只用筛有限多个或可数个特殊的族元，就可以筛选到或者接近于最优的族元；我们把这种筛选法称为大筛。大筛法和约束空间在一起，叫作大筛空间。我们对（,T ）进行小筛，只要给出筛选条件，就可以进行逐个的筛选。然而小筛虽然比较简单和容易，但是对（,T ）中的每一个族元或区域都要进行筛选，工作量太大，在某些情况下进行全部筛选几乎不可能。而大筛法虽然比较复杂，但是只要筛选有限多个（或可数个）族元以后，就可能得到（或者接近于）最优的族元。但每次对这有限个特殊的族元或区域进行的筛选，还是按照小筛法进行。有限个局部小筛按一定的方向和顺序搜索可数个族元，对那些优先权高的区域上的族元首先进行分析、判断和选择；这种筛选法，就称为大筛。我们将筛选中可能达到的实际条件记作，将所要求达到的期望条件记作，将与之比叫作对的趋近度，记作：。现在假设对任意一个（组）期望条件，（,T ）中都至少存在着一个（组）族元，使得该族元对的趋近度（值）大于所有的已知的族元；并且也至少存在着一个方向，使得i 值沿此方向不断地增大。我们把使得12n单调增的方向，叫作做的增长方向，而把使得12n单调增长链最短的那一个方向，叫最速趋近方向。因为在这个方向上，值增长得最快，接近的速度也最快，所以又叫最大特征方向。在大筛过程中，因为我们筛选的最终目标就是n(max)，所以最大特征方向就是（,T ）中的最优筛选方向。在进行大筛时，可以根据所规定的期望条件，划分出一个局部的有限大小的子拓扑空间（,），求出（,）中各族元最大特征方向的走向和分布，并找出各族元指示出的具有最大特征方向的聚焦区域，并在这个聚焦区域附近再次选择若干个有代表性的、具有特殊位置的族元，重新构成新的由有限个待筛的族元组成的子拓扑空间（,1），第二次求出各族元的最大特征方向；这样重复作了k 次以后，我们可以得到一组趋近的族元组：A1，A2，Ak ；使得：成立，并且使得Ak 能够很好地满足期望条件，此时，Ak 即为由大筛空间所确定的极终目标。在所有已知的族元中，若Ak 的值为最大，又能够很好地满足期望条件；但是其是否为最优或极优呢？这个在大筛空间中无法证明；有没有比Ak 还优的族元在筛选过程中被丢失掉了呢？我们也不知道。这一类问题，我们归结为同一个问题：盲区问题。因为大筛是属于有方向性、有目的性的局部多次小筛的总和，所以在各族元指示出的最大特征方向以外的区域（如“路边”，方向性死角，一些奇异点等），大部分都不可能筛到，这些筛不到的区域构成的集合，我们叫作盲区。盲区中有无极优的族元？不知道！因为大筛法只能按特定的方向进行筛选和搜索。定理3.1对于具有连续势的线性，若（,T ）中所有的族元中都不存在着奇异区域和异常间断，则盲区内无更优族元存在。考虑到（,T）内部的相关性质，可以把（,T ）看成是一个新的全息空间；在（,T ）上任意取一个族元A ，而将其他的族元作为A的邻域。如果（,T ）的空间结构形式已经确定了，那么A 在（,T ）上的位置及邻域族元的性质也应该同时确定下来。从全息空间的性质可知：具有连续势的线性的全息线性组合变换也是连续的，故A在其邻域附近也是连续的；所以，在A 的-邻域内，可以规定只能存在着唯一的一条最速趋近方向（因为取得很小，这条最速趋近方向就有可能是唯一的；又因为可以任意地确定，我们总可以在A的邻域内找到一个包括A在内的区域，在这个区域里只有唯一的一条最速趋近方向，这个区域就可以被确定是A的-邻域）。再则根据全息空间结构上的连续性、相容性和相适性原理可以知道：对于线性来说，在A的任何邻域里，A 的性质和它的空间结构形式也能够被线性地延续和保持下来。因为最大特征方向是取在A上的，在A的邻域里这个方向也应该被间接地保持住；如果此时在A的-邻域上最大特征方向上的值大于该方向以外的任何区域，则在A 的任何邻域内这个关系也应该被保持下来；取邻域的半径大到包括了整个（,T）：第第二点是要证明中无奇异区域是定理3.1成立的必要条件。3.3上的空间结构的延拓与新元素的生成根据的性质及其势的连续性，不难证明上的每一个元素的小小的邻域都可以构成一个微小的子全息空间。当然，在每个元素的邻域上也都可以找到一个（或一组）这样的微型全息线性变换，它使得一个元素自身的空间结构在其邻域上被线性地延续下来。现在将元素a 的邻域的全体集合叫a 的邻域系，当这个邻域系取得相当地大，以至于复盖了整个空间以后，我们把由这种微型全息变换所确定的的运算系统的总和叫作上的一个延拓群。延拓运算实际上就是对内的某一点元素的任何邻域的延伸、开拓过程。通过延拓，可以使得内的某个元素a的任何邻域里都隐含有a的性质；而且a的空间结构不仅在邻域的已知区域上存在着，而且在邻域的未知区域或者未知的邻域系上也延续了下来；并且使得构造出这样的一个子空间作为开复盖而复盖了a的邻域：使a 的-邻域成为开集；使a成为开集内一聚点，使a的邻域内的任何元素或者区域直接地或间接地连通起来。并且它将满足条件：通过延拓运算后所得到的元素或者区域必定还是中的一个元素或区域，而这个元素或区域可能是被蕴涵的或隐含的。实际上，延拓群就是一张全息表。定义3.9假若元素a（）的已知的-邻域中存在着与a 相适的空间结构，并且在起未知的邻域系上被线性地延续了下来，则称这种延续叫延拓。在上的延拓全体叫一个延拓群，记作：（）。而每一个延拓运算本身，叫一个延拓算子，或推演算子，用表示。就此而论，群是相对于内的未知领域内空间性质的确定和延续而言的，其延拓的结果在内是开的；而C 群是相对于内的已知子集的有效组合而言的，其组合的结果在（,T ）上是闭的。定理3.2群在上的线性扩充依然是上的群。证明设群在上的线性扩充为*，则*；又由于*是定义在上的，故其扩充部分也应该在W上，而又是原的一个线性延伸部分；根据全息空间的性质可以知道，与原Y 是相容的，故同属；在这种情况下，无论在原先的中是已知的，还是未知的，其均应属于。因此还是应该被确定在上，即： ；故* 还是上的群。证毕。空间的延拓和新元素的生成方式如下：假设a（）的性质在中已被确定下来（与邻域的元素相容，并与自身的坐标相适应），则有：（）元素a 的邻域或邻域系上的空间结构，可由a 的性质和a 的-邻域的空间结构一起，沿着未知结构的邻域系方向延伸而得到。（）a 的邻域上的未知元素x0的性质，可由x0 的坐标和x0 相对于a 的方位一起，在x0 的已知空间结构的e- 邻域上产生出来。（）未知元素x0 则由元素x0 的性质及其坐标一起组成。我们用P表示元素的性质，表示坐标，D 表示延伸的方向，Da(x)表示元素x 相对于a的延伸方向，N（x ,）表示x的-邻域，S（a ,）表示a的-邻域上的空间结构，S（a ,）表示a 的邻域系上的空间结构；则上面的文字叙述可用公式描述为：（）S（a ,）D ( P(a)，S(a ,)；（）P (x0)( (x0)，Da(x0) ；（）x0P(x0)，(x0)综上所述，可以看到，新元素可以从由延拓而得到的空间结构中生成出来，而延拓的结果可通过由下面定义的最小复盖法和最大特征方向方法来决定。定义3.10最小复盖法是指：若已知上任意的两个元素a、b 及其邻域，寻找能够复盖住a和b 的（，T ）中的族元中的最小者的方法。定义3.11最大特征方向方法是指：若已知a（）及其邻域，沿着所选取的最大特征方向，不断地扩大a 的邻域系的半径；即以a为中心，以为半径作一系列的“圆”形邻域，以此求出a之邻域上的一个特定的区域。第二部分全息空间的高层次拓扑结构4全息空间的深层次拓扑结构及其动力学特性4.1全息空间的一些基本拓扑性质一个全息空间应当具有下面的三个特点：特点1：在全息空间中，任何一个元素a 以及a 的-邻域中，能够包含或者隐含有a的所有邻域或者所有邻域系，甚至整个空间的全部信息。这个特点叫全息空间内部的整体全息蕴涵性质。特点2：一个全息空间中的元素、元素的性质，元素在空间中的坐标或位置，以及全息空间的空间结构，在它们之间是互相相容并相适应的。这个特点叫全息空间内部的全息对应性质。特点3：全息空间的总的或整体上的空间结构能够决定任何一个孤立点上的元素的性质，同时也能决定任何一部分子空间或局部区域的空间结构。这个特点叫全息空间内部的结构连通性质。以上这三个特点叫全息空间的全息相关性质。全息相关是一种整体与局部的互生共存的相容关系，相生相依关系，而不是简单的对偶关系。从概念上讲，一般地说，由全息空间内的所有关系R之总和所决定的一种全息空间的框架形式叫这个全息空间的结构；反之，全息空间的结构中的某一个结构元素的性质叫这个全息空间中的一个关系。全息空间中的关系主要有等价关系，序关系，线性相关关系和结构关系等，它们在全息空间中都同时具有全息相关和拓扑相关的性质。定义4.2设R 是上的二元关系，若R 满足下面三个条件：（）R 是自反的：对任意的元素x ，有xRx；（）R 是对称的；对任意的元素x，y ，有xRy 和 yRx 同时成立；（）R 是传递的；对任意的元素x，y，z ，有xRy 和 yRz，必然蕴涵有xRz。则称R是上的一个等价关系，记作R E 。定义4.4设R 是上的二元关系，如果R具有如下的性质：（）R 是自反的；（）R 是对反称的；对任意的元素x，y ，xRy且yRx，当且仅当xy 时才能够成立；（）R 是传递的。则称R为一个偏序关系，在全息空间中，简称为序关系，记作RO 。定义4.5设RO是上的一种序关系，如果元素a1，a2（）有序关系RO，并且，上的所有元素ai（i1 , 2 , ），在沿着a1 与a2 的同一方向上，都有同样的序关系RO ，则叫元素ai 在沿着这个方向上是线性相关的，或者说，这些元素互相之间在这个方向上具有线性相关的关系。定义4.6设是一个全息空间，T为关于的全息拓扑结构，（,T ）是它们的全息拓扑空间，如果上的两个子空间A 和B，存在有关系R，并且RT，则称R为A与B之间的一个拓扑相关关系，记作RT 或t 。定义4.7两个空间X与Y叫作是拓扑同胚的，如果存在一个一对一的连续映射 f ：XY，并且 f -1：YX 也连续，这个映射f 就叫作拓扑映射或同胚映射。定义4.8全息空间中的一个拓扑映射（同胚映射）本身还同时具有全息相关的性质，使得：（）映射本身蕴涵了整个全息空间的全部信息；（）映射本身蕴涵了整个全息拓扑空间的空间（）映射本身隐含了在某些等价关系约束下形成的商空间的信息特征和结构形式。那么这个映射就称为全息的拓扑映射，或全息同胚映射，简称全息同胚。定义4.9当两个全息空间是全息同胚时，即称这两个全息空间是同胚等价的。当这两个全息空间仅仅只有部分存在着全息同胚映射时，则称这个映射为局部全息同胚映射。定义4.10两个全息空间X与Y叫作是全息同构的，若它们满足下面的三个条件：（）X 与Y 之间存在着全息同胚映射；（）T T和T T 同时成立；（）如果存在有某种相关关系R (T )和R(T），那么对（X,T ）上某处位置的任意一个R，在（Y,T）上的同样位置上都可以找到一个R，使得RR 成立；反之，同样可以对（Y,T）上的R，在（X,T）的同样位置上找到一个R，同样能够使得R R成立。4.2商空间的拓扑结构与全息空间的聚类反应定义4.11在全息空间中，我们将其全息拓扑结构中的某个拓扑相关关系记作：R；那么中所有含有这种关系的元素或区域所组成的集合，叫作在关系R 映射下产生的等价类，所有等价类的集合称为商集，一般记作：S/R E。而R在这里称为是整个拓扑相关等价关系的一个基本组成单元。定义4.12对于一个全息空间，我们把上全息拓扑结构T 中的某个拓扑相关等价关系记为t(tT) ；那么中所有满足t 所确定的关系的区域和子空间而组成的子空间族叫作是在拓扑相关等价关系t 映射下产生的商空间；记作：/t。概括起来说，就是在一个全息空间中，如果用全息拓扑结构中的某种关系来分解这个空间的话，那么依据着这种关系可以将整个空间分解成若干等价类的集合。同一个等价类中的元素具有相同的拓扑相关关系，它们在关系R 的映射下互相等价。而由某个拓扑等价关系所确定的等价类的集合所对应的那个空间族，叫作由这个等价关系所定义而产生的商空间，它们最底层的空间结构，是一种等价关系，既一种用拓扑相关关系描述的等价关系。利用这种拓扑相关等价关系，将全息空间进行分解，然后重新组合和排序，就会产生一种新的有序化的拓扑结构形式：按等价类排序后的商空间的拓扑结构形式。这种重新有序化聚合过程，叫全息空间的聚类反应。聚类反应的规律是：同类自动相聚。即全息空间被某个拓扑等价关系分解后的子块自动地连接成一种特殊排列的结构形式，这种结构形式我们称为自身递归编码排序结构。定理4.1在拓扑相关等价关系t(tT ) 映射下产生的商空间，依然还在上。证明我们可以分二步来证明这条定理。首先，我们可以证明：被某个拓扑相关等价关系t分解后产生的各个子空间，依然还在上。这又包括了两种情况：第一种：对具有连续势的全息空间，根据全息空间定义以及定理2.3和定理2.4可知：其局部与整体等势，并有相同的空间测度和空间结构。所以说局部与整体同构；当然，它依然是在这个整体上。于是第一种情况得证。第二种：对于非连续势，或有限势的全息空间，则需考虑到关于的一个全息拓扑结构T，是定义在上的；作为它的一个子拓扑结构或元素，即拓扑相关等价关系t，当然也定义在上，即有：（t）。利用上有定义的某一种关系t来切割和分解本身，被分解后产生的各个子空间，当然也定义在上。这样，第二种情况也得到证明。第二步，我们可以证明，在全息空间上的总的拓扑结构T 不变的情况下，作为T的一个子拓扑结构t ，因为存在着关系t ，所以定义在上的各个子空间，按关系t重新组装后产生的商空间，也必然还在上。证完。所谓在不同的拓扑等价关系映射下生成不同的商空间结构，其实质不过是以不同的角度对全息空间进行不同的投影和取样。引理4.1线性相关关系是指：全息空间某个坐标上的元素特性沿着空间中某一不变的方向的变化率等于常数，即元素沿该方向呈线性相关分布，那么元素与沿该方向上的其它元素之间，就是一种线性相关关系。当整个空间中所有坐标上的元素在所有方向上的变化率都为常数时，这个空间就是一种线性结构空间。引理4.2拓扑等价关系是一种线性关系。具有可叠加，可传递的特性。定理4.2聚类反应是一种以等价类为条件的C 群中某类子群的全息变换过程。证明我们知道，如果以某种拓扑等价关系作为一种线性关系的话，那么以等价类为条件显然是一种线性相关条件。又由于聚类反应后经过重新组装而产生的空间族也是确定在上的，并且它规定了C 群变换应当以等价类为变换条件而限定了子群的范畴，符合定义3.5关于全息空间的线性组合变换的定义，所以本定理得证。定理4.3整个空间的空间结构是一个结构连续体。证明根据全息空间定义，全息空间中的元素、子空间与它们的空间坐标、空间结构在中是相适应的；这种相适应的空间结构，不但在任何一个元素a()的以(a)为中心，以(0)为半径的a的-邻域里存在，而且在-邻域之外的区域A中也被线性地延续了下来，当这个区域A作为a 的邻域系取得相当地大，以至于遍及了整个时，这种相适应的空间结构，也会被延续到整个，从而形成了一个统一的拓扑相关的结构连续体。证完。4.3全息空间的键与键位综上所述，可以看到，全息空间中的元素和其邻近的元素之间，元素和它自身的空间坐标之间，这个元素和邻域的空间坐标或空间结构之间，以至于元素与整个空间之间，都有一定的拓扑相关关系联系着。这种拓扑相关关系，我们称为是一种键信息键或拓扑键。定义4.13元素a与邻域元素之间的拓扑相关关系叫信息键。元素a自身称为键元，元素a空间坐标或空间结构，叫元素a 的自身空间键位。元素与邻域空间结构相适应的拓扑相关关系叫空间键位。某个空间键位允许与之相适应的元素键元嵌入。对于具有连续势的空间，元素a是以 (a)为中心，（0）为半径的-邻域来描述的，这个-邻域显然是一个结构上的连续体。因此，元素a的信息键，必然是一种与这种连续体对应的连续键；而与之相适应的空间结构，同时也成为一种连续键位。这里，我们可以看到，全息空间的元素对邻域的作用是通过传递键位即传递空间结构来实现的。前面所述的延拓，即过程，就是通过传递空间结构，来扩展其空间区域的。而所谓的线性组合运算，就是元素或子空间之间的一种键联过程。很明显，全息空间的这种通过键键位来传递空间结构的特性，使整个空间“活”起来，具有一种类似于动力学的性质。4.4全息空间的动力学拓扑性质定义4.14元素a通过传递空间结构来影响邻近的元素b，而元素b也通过传递空间结构来影响元素a ，这种键元键位键元的传递过程叫元素之间的信息能量的微循环过程。定义4.15全息空间中的元素与元素，元素与坐标或空间结构，元素与邻域、子空间之间的所有的信息能量微循环全体，组成了全息空间的信息能量流大循环。由于全息空间有传递信息能量微循环作用和大循环作用，于是产生了某种类似于动力学的特性，这种特性我们称为全息空间的动力学拓扑性质。如果元素a与邻近的元素b 相容，并且与它自身的空间坐标相适应的话，而a和b都有相同的邻域系A，并且满足(a)A，(b)A；那么，元素a 在它坐标(a)上对这个邻域系的空间结构的影响与元素b在坐标(b)上对这个邻域系的空间结构的影响应当是相同的。即a和b向邻域系上传递着相同的拓扑相关的空间结构。即然a 与b 对邻域系的作用是一致的，因而a 对(b)，与b 对(b)位置上的空间结构的作用也是完全相同的，反之也是这样；那么，我们认为a和b之间是处于一种作用一致性的平衡状态。定义4.16如果整个全息空间中所有的元素互相之间都是处于这种作用一致性平衡状态的话，那么这个全息空间叫充分完备的全息空间。定义4.17处于平衡状态下的信息能量微循环是零态微循环。即键元对键位，或键位对键元的作用影响为。定义4.18充分完备的全息空间中的信息能量流大循环叫零态大循环。零态大循环中的信息能量流内耗为。我们考虑有一种情况：在一个不充分完备的全息空间中，有着某些奇异区域，该区域中有一定数量的非态微循环存在；这意味着奇异区域中的元素不能与邻域建立起某种平衡关系。但是，从全息空间的性质上我们知道：如若某个元素不能与邻域建立起平衡关系，那么它与邻域的元素之间一定是互不相容的。互不相容的元素之间，必然会通过传递自身的空间结构，来产生一种扭转对方的作用；扭转的结果是一方被另一方所改变，而达到新的平衡。而不相容的元素之间的非态微循环，有促成产生新的平衡的作用。再从整个全息空间上来看，这种非态微循环的存在，使得整个空间的信息能量流大循环也不再是态大循环了。非态大循环要比非态微循环复杂得多。现在仅从平衡问题上看，主要有如下三个特点：整个空间在非态大循环作用下，经过一定程度的互相扭转后，空间内部会产生下面几种动态平衡过程。（）少部分元素被整个空间的统一连续结构体所扭转，而达到新的平衡。（）少部分元素被大部分元素的空间结构所改变，而达到新的平衡。（）少部分元素被空间中新生的更高层次的统一连续体所扭转或统一，而建立了新的平衡。（）少部分元素在某种情况下会自己构成一个难以被扭转或改变的连续区域，形成一种“活”的“眼”，使这些元素在一定时间内处于一种不可被扭转改变的境地，造成了整个空间和少部分元素之间处于一种暂时的动态均势平衡状态。而这种暂时的均势平衡的结果是往往被那些更高一层次的统一连续体所统一，而建立了一种新的统一的平衡。整个空间的平衡移动方向为顺着（或者向着促成）建立起新的平衡的方向。当整个空间的某个条件或有序构成改变时，会引起平衡的转移，使平衡向新的方向移动。4.5全息空间中的周期节律如上所述，从全息空间的动力学动态平衡过程上看，可以看到：全息空间之中的空间结构，有不断趋向平衡的趋势。但是这种向平衡运动的过程，会产生二次不平衡。当二次不平衡重新向平衡点移动时，二次不平衡向平衡点运动的过程与原来的不平衡向平衡运动的过程之间，会有一个滞后；这个滞后是由多种因素造成的，如全息空间的“刚性”或“韧性”，空间结构、空间层次，多个平衡运动中的不协调，平衡运动的惯性等，这会造成一种拍节差。当平衡的动态过程在平衡点附近运动时，由于这种拍节差，会使得平衡的动态过程在平衡点附近振荡，产生了一种周期节律。这种拍节差反映到周期节律上，即叫相位差。这种振荡从最简单的一维振荡或圆周振荡到高维的多种花样的振荡，高次的复合花样的振荡等，都有可能发生。由于全息空间本身有不断趋向平衡的趋势，但由于这种动力学的周期节律特性，却很难达到真正的平衡；结果，一次不平衡向平衡点的运动与二次不平衡向平衡点的运动成了互为因果，持续不断。一旦陷入这种周期节律振荡中，就很难停止下来。随之而来的是一种周期节律与另一种周期节律之间的周期相干问题，周期相干又产生了高次复合周期问题，两种周期的共振问题，或者一个周期节律与全息空间某个局部上的本征节律共振问题等等。5全息空间的高层次拓扑结构的一些主要特性5.1全息空间的相与相变从全息空间的形态上来研究它们的拓扑结构的特性，可以发现，在整个聚类反应中，随着规定的等价关系这一条件的不同，聚类反应所产生的商空间也不同，全息空间所表现出来的形态也相应地有所不同。我们将全息空间在某种等价关系映射下产生的商空间的拓扑结构叫全息空间在某个条件（等价关系）下的相，不同的等价关系将产生不同的相。定义5.1在同一个全息空间中，由于不同的等价条件的限制，将会产生不同类型的商空间，同时亦产生不同的商空间的拓扑结构，这种商空间的拓扑结构，将会显露出一种外在的形态，或者析出一种局部形态，这种外在的形态或局部形态，叫全息空间的相。定义5.2当等价关系变化时，由等价关系决定的商空间也产生变化，造成商空间的拓扑结构发生改变，这种改变引起拓扑结构的外在形态或局部形态也随着发生变化。从全息空间整体上来讲，这种外在形态或局部形态的变化就称为全息空间的相变。定理5.1在具有连续势的全息空间中，当等价关系这一条件连续变化时，由此造成全息空间的相变也连续。定义5.3当全息空间经过一系列的聚类反应后，产生了一些商空间的拓扑结构，显露出全息空间的一些相，这些相在原来的全息空间的拓扑结构层次中很可能是不存在的；但经过聚类反应后，在商空间这一层次的拓扑结构中，经过聚类反应过程的加强和凝聚，被显露了出来。这个过程叫第一种自然生成过程，又叫第一种无中生有过程。定义5.4当全息空间因为等价关系等条件的变化而从一个相转变为另一个相时，原来的相从有转变成无，新相从无转变到有。整个过程叫第二种自然生成过程，又叫第二种无中生有过程。所谓自然这里是指在一个系统内部，由于系统自身的特性和原因，不需要外界的干预和控制，会自发地自动地从系统中产生某种必然会发生的新的事物或变化。这个新的事物或变化产生的原因不在这个事物的本层次而在更高一层次中。一般我们称这种情况为自然。5.2全息空间中的推演过程和递归结构根据全息空间的性质，上的空间结构的延拓存在着一个延拓群()，遍及了整个。而上的每一个延拓运算，叫作延拓算子或推演算子，用表示。如果某个元素a 的已知-邻域中的空间结构，经过延拓和推演，能够得到a 的邻域系上的一个新的元素x 的特性和它的邻域上的空间结构，那么，这个新的元素就是从原来的元素a 通过算子而作成的。定义5.5设有一个全息空间，如果可以找到它的一个元素a 及其邻域，及一系列延拓算子：1，2，n，使得从元素a 及其邻域出发，经过算子1，2，n 的有限次延拓和推演，得到一系列新的元素x1，x2，xn 及其邻域，则这些新的元素和其邻