八年级数学希望杯第1-21届试题汇总(含答案与提示).doc

希望杯第一届（1990）第二试试题1希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题5希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题10希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题18希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题23希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题26希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题31第六届(1995年)初中二年级第一试试题44希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题50希望杯第七届（1996年）初中二年级第一试试题56希望杯第七届（1996年）初中二年级第二试试题62希望杯第八届（1997年）初中二年级第一试试题72希望杯第八届（1997年）初中二年级第二试试题79第九届（1998年）初中二年级第一试试题88希望杯第九届（1998年）初中二年级第二试试题981999年第十届 “希望杯”全国数学邀请赛第二试1082000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第一试1112000年第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试1142001年希望杯第十二届初中二年级第一试试题1192001年希望杯第12届八年级第2试试题1222002年第十三届全国数学邀请赛初二年级第一试1292002年度初二 “希望杯”全国数学邀请赛第二试1322003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛初二第1试1392003年第十四届“希望杯” (初二笫2试)1422004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二1482004年第十五届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试1512005年第十六届希望杯初二第1试试题1572005年第十六届“希望杯”全国数学邀请赛第二试1592006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛第一试1632006年 第十七届“希望杯数学邀请赛第二试1662007年第十八届”希望杯“全国数学邀请赛第一试1712007年第十八届“希望杯”全国数学邀请赛第二试1732008年第19届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试试题1792009年第二十届“希望杯”全国数学邀请赛第一试1832009年第20届“希望杯”全国数学邀请赛第二试1862010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第一试1932010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛第二试195希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分） 1.等腰三角形周长是24cm，一腰中线将周长分成53的两部分，那么这个三角形的底边长是 A7.5B12. C4.D12或42.已知P=，那么P的值是 A1987B1988. C1989D19903abc，xyz，M=ax+by+cz，N=az+by+cx，P=ay+bz+cx，Q=az+bx+cy，则 AMPN且MQN. BNPM且NQMCPMQ且PNQ. DQMP且QNP4凸四边形ABCD中，DAB=BCD=900, CDAABC=21,ADCB=1,则BDA= A30B45. C60. D不能确定5把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割 A是不存在的. B恰有一种. C有有限多种，但不只是一种.D有无穷多种二、填空题:（每题1分，共5分）1 ABC中，CAB-B=90，C的平分线与AB交于L，C的外角平分线与BA的延长线交于N已知CL=3，则CN=_2 若,那么的值是_.3 已知a，b，c满足a+b+c=0，abc=8，则c的取值范围是_4 ABC中, B=300,AB=,BC=,三个两两互相外切的圆全在ABC中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是_5 设a,b,c是非零整数,那么的值等于_.三、解答题:（每题5分，共15分）1从自然数1，2，3，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是1772平面上有两个边长相等的正方形ABCD和ABCD，且正方形ABCD的顶点A在正方形ABCD的中心当正方形ABCD绕A转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值这个结论对吗？证明你的判断3用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1n2n3n4，试求：n1n2之值答案与提示一、选择题提示：1若底边长为12则其他二边之和也是12，矛盾故不可能是(B)或(D)又：底为4时，腰长是10符合题意故选(C)=19882+31988+1-19892=(1988+1)2+1988-19892=19883只需选a=1，b=0，c=-1，x=1，y=0，z=-1代入，由于这时M=2，N=-2，P=-1，Q=-1从而选(A)4由图6可知：当BDA=60时，CDB5如图7按同心圆分成面积相等的四部分在最外面一部分中显然可以找到三个点，组成边长大于1的正三角形如果三个圆换成任意的封闭曲线，只要符合分成的四部分面积相等，那么最外面部分中，仍然可以找到三个点，使得组成边长大于1的正三角形故选(D) 二、填空题提示：1如图8：NLC=B+1=CAB-90+1=CAB-3=NNC=LC=35当a，b，c均为正时，值为7当a，b，c不均为正时，值为-1三、解答题1证法一 把1到354的自然数分成177个组：(1，178)，(2，179)，(3，180)，(177，354)这样的组中，任一组内的两个数之差为177从1354中任取178个数，即是从这177个组中取出178个数，因而至少有两个数出自同一个组也即至少有两个数之差是177从而证明了任取的178个数中，必有两个数，它们的差是177证法二 从1到354的自然数中，任取178个数由于任何数被177除，余数只能是0，1，2，176这177种之一因而178个数中，至少有两个数a，b的余数相同，也即至少有两个数a，b之差是177的倍数，即a-b=k177又因1354中，任两数之差小于2177=354所以两个不相等的数a，b之差必为177即a-b=177从自然数1，2，3，354中任取178个数，其中必有两个数，它们的差是1772如图9，重合部分面积SAEBF是一个定值证明：连AB，AC，由A为正方形ABCD的中心，知ABE=ACF=45又，当AB与AB重合时，必有AD与AC重合，故知EAB=FAC在AFC和AEB中，SAEBF=SABC两个正方形的重合部分面积必然是一个定值3可能的四位数有9种：1990，1909，1099，9091，9109，9910，9901，9019，9190其中 1990=7284+2，1909=7272+51099=7157,9091=71298+5,9109=71301+2,9910=71415+5，9901=71414+3，9019=71288+3，9190=71312+6即它们被7除的余数分别为2，5，0，5，2，5，3，3，6即余数只有0，2，3，5，6五种它们加1，2，3都可能有余1的情形出现如0+11，6+21，5+3(mod7)而加4之后成为：4，6，7，9，10，没有一个被7除余1，所以4是最小的n又：加5，6有：5+31，6+21(mod7)而加7之后成为7，9，10，12，13没有一个被7除余1所以7是次小的n即 n1=4，n2=7 n1n2=47=28希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1如图29，已知B是线段AC上的一点，M是线段AB的中点，N为线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MNPQ等于( ) A1; B2; C3; D42两个正数m，n的比是t(t1)若m+n=s，则m，n中较小的数可以表示为( ) A.ts; Bs-ts; C.; D.3.y0时,等于( ) A.-x; B.x; C.-x; D.x.4(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a，b，c的关系可以写成( )Aabc. B(a-b)2+(b-c)2=0. Ccab. Da=bc5如图30，AC=CD=DA=BC=DE则BAE是BAC的( )A4倍.B3倍. C2倍.D1倍6D是等腰锐角三角形ABC的底边BC上一点，则AD，BD，CD满足关系式( )A.AD2=BD2+CD2. BAD2BD2+CD2. C2AD2=BD2+CD2. D2AD2BD2+CD2 7.方程的实根个数为( )A4B3. C2D18.能使分式的值为112的x2、y2的值是( )A.x2=1+，y2=2+; B. x2=2+，y2=2-;C. x2=7+4，y2=7-4; D. x2=1+2，y2=2-.9在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x，偶数的个数为y，完全平方数的个数为z，合数的个数为u则x+y+z+u的值为( )A17B15. C13D1110两个质数a，b，恰好是x的整系数方程x2-21x+t=0的两个根,则等于( ) A.2213; B.; C.; D.二、填空题（每题1分，共10分）1.198919911991-199119891988=_2.分解因式:a2+2b2+3c2+3ab+4ac+5bc=_3.(a2+ba+bc+ac):(b2+bc+ca+ab):(c2+ca+ab+bc)的平方根是_4边数为a，b，c的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么=_.5.方程组有正整数解,则正整数a=_.6.从一升酒精中倒出升,再加上等量的水,液体中还有酒精_升;搅匀后,再倒出升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有_升酒精.7如图31，在四边形ABCD中AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米且ABC=90，则四边形ABCD的面积是_8如图32，1+2+34+5+6=_9.的最小值的整数部分是_.10已知两数积ab1且 2a2+1234567890a+3=0,3b2+1234567890b+2=0,则=_.三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数求证：这两个数之和不大于22一块四边形的地（如图33）(EOFK，OHKG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF改成直的（即两边都是直线）但进水口EF的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明答案与提示一、选择题提示：3由y0，可知x0故选(C)4容易看到a=b=c时，原式成为3(x+a)2，是完全平方式故选(B)5ACD是等边三角形,BCA和ADE均为等腰三角形.故知BAC=30,而BAE=120,所以选(A)6以等边三角形为例，当D为BC边上的中点时，有AD2BD2+CD2，当D为BC边的端点时，有AD2=BD2+CD2，故有2AD2BD2+CD2故选(D)故选(C)选(C)9x=4，y=5，z=4，u=4选(A)10由a+b=21，a，b质数可知a，b必为2与19两数二、填空题提示：1198919911991-199119891988=1989(1991104+1991)-1991(1989104+1988)=19891991-19911988=19912原式=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca+b2+2c2+ab+2ac+3bc=(a+b+c)2+(b+c)(b+2c)+a(b+2c)=(a+b+c)2+(b+2c)(a+b+c)=(a+b+c)(a+2b+3c)3原式=(a+c)(a+b)(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)平方根为(a+c)4正多边形中，最小内角为60，只有a，b，c均为3时，所取的内角和才可能为1805两式相加有(1+a)y=6，因为a，y均为正整数，故a的可能值为5，这时y=1，这与y-x=1矛盾，舍去；可能值还有a=2，a=1，这时y=2，y=3与y-x=1无矛盾a=1或27在直角三角形ABC中，由勾股定理可知AC=10cm，在ADC中，三边长分别是10，24，26，由勾股定理的逆定理可ADC为直角三角形从而有面积为81+2+3+4+5+6，正好是以2，3，5为3个内角的四边形的4个内角之和和为36010由已知条件可知a是方程2x2+1234567890x+3=0的一个根，b是方程3y2+1234567890y+2=0的一个根，后者还可以看成：三、解答题1设这两个正数为a，b则原题成为已知a3+b3=2，求证a+b2证明（反证法）：若a+b2由于a3+b3=2，必有一数小于或等于1，设为b1，a2-b，这个不等式两边均为正数，a3(2-b)3a38-12b+6b2-b3a3+b38-12b+6b26b2-12b+60b2-2b+10(b-1)20 矛盾a+b2即本题的结论是正确的2本题以图33为准由图34知OKAB，延长EO和FK，即得所求新渠这时，HG=GM（都等于OK），且OKAB，故OHG的面积和KGM的面积相同即新渠占地面积与原渠面积相等而且只挖了KGM这么大的一块地我们再看另一种方法，如图35作法：连结EH，FG过O作EH平行线交AB于N，过K作FG平行线交于AB于M连结EN和FM，则EN，FM就是新渠的两条边界线又：EHONEOH面积=FNH面积从而可知左半部分挖去和填出的地一样多，同理，右半部分挖去和填出的地也一样多即新渠面积与原渠的面积相等由图35可知，第二种作法用工较多（要挖的面积较大）故应选第一种方法。希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题一、选择题（:每题1分，共10分）173282-73252= A47249B45829. C43959D44969 2长方形如图43已知AB=2，BC=1，则长方形的内接三角形的面积总比数( )小或相等 A.; B.1; C.; D.3当x=6，y=8时，x6+y6+2x4y2+2x2y4的值是 A1200000-254000. B1020000-250400C1200000-250400. D1020000-2540004等腰三角形的周长为a(cm)一腰的中线将周长分成53，则三角形的底边长为 A.; B.; C. 或; D.5.适合方程+3x2+6xz+2y+y2+3z2+1=0的x、y、z的值适合 A.;B.;C.;D. 6.四边形如图44,AB=,BC=1, A=B=C=300,则D点到AB的距离是 A.1; B.; C.; D.7在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是 A1B2. C3D48一个等腰三角形如图45顶角为A,作A的三等三分线AD，AE（即1=2=3），若BD=x，DE=y，EC=z，则有 AxyzBx=zy. Cx=zyDx=y=z9已知方程(a+1)x2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a可以是 A5B9. C10D1110.正方形如图46,AB=1,和都是以1为半径的圆弧,则无阴影的两部分的面积的差是 A.; B.; C.; D.二、填空题（每题1分，共10分）1.方程的所有根的和的值是_.2.已知a+b=,a-b=,那么ab=_. 3如图47，在ABC中，ACB=60，BAC=75，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE交于H，则CHD=_4.已知x=,那么+1的值是_5如图48，已知边长为a的正方形ABCD，E为AD的中点，P为CE的中点，那么BPD的面积的值是_6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么=_.7在正ABC中（如图49），D为AC上一点，E为AB上一点，BD，CE相交于P，若四边形ADPE与BPC的面积相等，那么BPE=_8.已知方程x2-19x-150=0的一个正根为a,那么+=_.9某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生_名10n是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d的倍数，则d=_三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分）1 若a，b，c，d0，证明：在方程 ,中,至少有两个方程有不相等的实数根.2(1)能否把1，2，1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明如果能够，请给出一种分组法答案与提示一、选择题提示：5等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0x+1=0，xy+1=0解之得x=-1，y=1则x+y=0应选(B)6由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30n=7应选(A)7由A=36，AB=AC，可得B=C=72ABD=CBD=36，BDC=72AD=BD=BC由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD应选(B)8原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0|x-1|=2，或|x-1|=3x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4则x1+x2+x3+x4=4应选(D)9连结CB,AB=BB,SBBC=SABC=1,又CC=2BCSBCC=2SBBC=2SBBC=3同理可得SACC=8,SABA=6SABC=3+8+6+1=17应选(D)10原方程为|3x|=ax+1(1)若a=3，则|3x|=3x+1当x0时，3x=3x+1，不成立(2)若a3综上所述，a3时，原方程的根是负数应选(B)另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象从图87中看出，当a3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限二、填空题提示：149=77，所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42设a=7m，b=7n，(mn)，其中(m，n)=1由ab=(a，b)a，b7m7n=742，故mn=6又(m，n)=1，m=2，n=3，故a=14，b=21经检验，142+212=637这两个数为14，2121993=11993=(-1)(-1993)，(1993为质数)而x1x2=1993，且x1，x2为负整数根，x1=-1，x2=-1993或x1=-1993，x2=-1则4设SBOC=S，则SAOB=6-S，SCOD=10-S，SAOD=S-1由于S(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=46432=184919001936=442，又193619932025=452其他都不合适此时所求方程为14x2-53x+14=08过E作EHBC于HADBCEHAD又ACE=BCE，EAAC，EHBCEA=EH，AEC=HECEHAD，HEC=AFE，AEF=AFEAE=AF，EH=AF即可推出AGFEHBAG=EB=AB-AE=14-4=10BG=AB-AG=14-10=410设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(nm)依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1由于503+7n100，504+9m100得n=7，8，9，10，11，12，13m=6，7，8，9，10但满足式的解为唯一解：n=13，m=10n+1=14，m+1=11获奖人数共有14+11=25（人）三、解答题1解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）其中OABCO的距离最短记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离在AC上截取AB=AB，连结OB则ABOABOBO=BOd(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-ABBCBO=CO-(BC+BO)0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)0所以路线OABCO的距离最短因此x与-y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0a1，0a21希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1如果ab0，那么在下列结论中正确的是 A.a+b-1; B.ab1; C.1.2已知四个命题：-1是1的平方根负数没有立方根. 无限小数不一定是无理数. 一定没有意义.其中正确的命题的个数是 A1B2 C3D43.已知8个数:,0.236,3.1416, 其中无理数的个数是 A3B4C5D64.若A=,则A的算术平方根是 Aa2+3B(a2+3)2. C(a2+9)2Da2+95下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 A1，2，3. Ba+1，a+2，a+3，其中a0Ca，b，c，其中a+bc. D1，m，n，其中1-mn6方程x2+|x|-6=0的最大根与最小根的差是 A6B5. C4D37等腰三角形的某个内角的外角是130，那么这个三角形的三个内角的大小是 A50,50,80. B50,50,80或130,25,25C50,65,65D50,50,80或50,65,658.如果x+y=,x-y=,那么xy的值是 A.; B.; C.; D.9如图67，在ABC中，AB=AC，D点在AB上，DEAC于E，EFBC于FBDE=140，那么DEF是 A55B60. C65D7010.已知-x1,将化简得 A3-3x.B3+3x. C5+xD5-x11如图68，在ABC中，AB=AC，G是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是 A5B6. C7D812若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有实数根，则k的最大整数值是 A-1.B0. C1D213对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中周长能被2整除周长是奇数周长能被3整除周长大于10正确的命题的个数是 A1B2. C3D414若方程9x2-6(a+1)x+a2-3=0的两根之积等于1，则a的值是 A.; B.; C.; D.15有下列四个命题：两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形其中正确的是 A，B，. C，D，二、填空题（每题1分，共15分）1 某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是_2.实数x满足x+=0,则的值为_.3.设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A=_4.如果实数x、y满足2x2-6xy+9y2-4x+4=0,那么=_.5设ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且abc，a+b+c=13，则以a，b，c为三边的三角形共有_个6.+=_.7.当0x2时,=_.8已知方程x2+(2m+1)x+(m2+m+1)=0没有实数根，那么m为_9已知a，b，c，d满足a-1b0c1d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么a+b+c+d=_10如图69，在ABC中，AE是BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC_DB+DC（用“”、“”、“=”号连接11.如果x-y=+1,y-z=-1,那么x2+y2+z2-xy-yz-zx=_.12.若u、v满足v=,则u2-uv+v2=_.13如图70，B，C，D在一条直线上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，则CN=_14设方程x2-y2=1993的整数解为，则|=_15.若,x+=3, 则=_.答案与提示一、选择题提示：应选(D)2命题，是正确的，不正确应选(B)应选(D)5由(a+1)+(a+2)=2a+3a+3(a0)，所以a+1，a+2，a+3可以成为三角形的三边，而1+2=3，故排除(A)，另外可举反例否定(C)，(D)应选(B)6原方程化为(|x|+3)(|x|-2)=0，解得|x|=-3，或|x|=2但应舍去|x|=-3，故由|x|=2得：x1,2=2则x1-x2=4应选(C)7由已知得等腰三角形的某个内角是50若它是底角，则三个内角是50，50，80；若它是顶角，则三个内角是50，65，65应选(D)9DEAC，BDE=140A=140-90=50，AB=AC，DEAC，EFBC，DEF=90-CEF，C=90-CEFDEF=C=65应选(C)11如图72，AGDAGE，DGBEGC，BGFCGF，AGBAGC，AFBAFC，AEBADC，DBCECB，共7对应选(C)12原方程整理为(2k-1)x2-8x+6=0当0时，方程有实数根，13设三个连续自然数为k，k+1，k+2，则k+(k+1)+(k+2)=3(k+1)，故以k，k+1，k+2为三边的三角形的周长总可以被3整除又以2，3，4为三边的三角形，其周长为9，可否定，；以3，4，5为三边的三角形，其周长为12，可否定应选(A)140，36(a+1)2-36(a2-3)0，a-2又x1x2=1，15命题是正确的如图73在ABC与ABC1中，AB=AB，BC=BC1，ADBC1显然钝角ABC与锐角ABC1是不全等的命题不正确如图74，75，在锐角ABC与锐角A1B1C1中，AB=A1B1，AC=A1C1，ADBC，A1D1B1C1，且AD=A1D1可先证得ADBA1D1B1，ADCA1D1C1，即可证得ABCA1B1C1命题不正确举一反例说明如图76，在钝角ABC与锐角ABC1中，AB=AB，AC=AC1，ADBC1，AD=AD但ABC与ABC1显然是不全等的命题是正确的可举一例说明如图77，在钝角ABC与锐角ABC1中，AB=AB，AC=AC1，ABC=ABC1，但ABC与ABC1显然是不全等的应选(D)二、填空题提示：1由条件知，这个自然数只能是两位数，其个位数字必定是5，它的十位数字可能是6或7。经验算，752=5625，652=4225所以，这个数为653经观察，这10个数都与199相近，把每个数减199所得的差，分别记作-3.5，-2.5，-1.5，-0.5，+0.5，+1，+1.5，+2，+2.5，+3.5，上述这10个差数的平均数为+0.3，A=199.3，所以10A=19934可把条件变成(x2-6xy+9y2)+(x2-4x+4)=0，5由a+b+c=13可知a+b=13-c，又a+bc，所以13-cc，即共可组成5个三角形由0x2知，x+20，x-20，8因为方程没有实数根，所以0，即(2m+1)2-4(m2+m+1)0，经整理得-30，故对任意数m，09由题设条件知道：b-(-1)=-1-a及d-1=1-c，即a+b=2，c+d=-2a+b+c+d=010在BA的延长线AF上，截取AG，使AG=AC，连接GD，则ADGADC，于是AG=AC，DG=DC，从而，DB+DC=DB+DG，又DB+DGBG，而BG=BA+AG=BA+AC，AB+ACDB+DC经整理，得x2+y2+z2-xy-yz-yx=713由条件知ABC与CDE都是等边三角形在BCE与ACD中，BC=AC，CE=CD，BCE=ACD=120，BCEACD于是，BEC=ADC，从而，CEMCDN，CM=CN=r14由方程可知(x+y)(x-y)=19931，可得|=997996=993012希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题一、 选择题:（每题1分，共10分）1.若a0,则化简得 A1B-1C2a-1D1-2a 2.若一个数的平方是5-2,则这个数的立方是 A.或; B. 或; C. 或; D. 或.3.在四边形ABCD中,AB=1,BC=,CD=,DA=2,SABD=1, SBCD=,则ABC+CDA等于 A150B180.C200D2104一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周长为 A.7; B.8; C.9; D.10.5如果实数x，y满足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy，那么x+y的值是 A.1.B0. C1.D26.设x=,y=,n为正整数,如果2x2+197xy+2y2=1993成立,那么n的值为 A7.B8.C9.D.107如图81，在ABC中，A=36，AB=AC、BD平分ABC若ABD的周长比BCD的周长多1厘米，则BD的长是 A0.5厘米.B1厘米. C1.5厘米.D2厘米8方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 A-2. B0. C-2. D49如图82，将ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B，C，A，且使BB=AB，CC=2BC，AA=3AC若SABC=1，那么SABC是 A15. B16. C17. D18.10如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 Aa3.B.a3. Ca3.Da3.二、填空题（每题1分，共10分）1若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是_2设x1，x2是方程x2+px+1993=0的两个负整数根,则=_.3.方程的解是_.4如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，如果SABD=5，SABC=6，SBCD=10，那么SOBC_5设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2,S2=x12+1993x22,Sn=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=_.6设x表示不大于x的最大整数，（例如3=3，3.14=3）,那么+=_.7已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且ab，那么两根之和超过3的方程是_8如图84，在ABC中，BAC=90，ADBC于D，BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FGBC交AB于GAE=4，AB=14，则BG=_9已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根，则k=_10某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有_人三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果每题5分，共10分）1 如图85，三所学校分别记作A，B，C体育场记作O，它是ABC的三条角平分线的交点O，A，B，C每两地之间有直线道路相连一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点指出哪条路线跑的距离最短（已知ACBCAB），并说明理由2.如果a=,求a2+的值.希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题一、 选择题:（每小题3分，共30分）1.使等式成立的x的值是 A是正数B是负数. C是0D不能确定2对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 A 可能有两个直角. B最少有一个锐角. C不可能有三个钝角. D最多有一个锐角3.如果+(a+b-2)2=0,那么的值是 A.1; B.-1; C.5-2; D.2-5.4已知线段a,b,c的长度满足abc，那么以a,b,c组成的三角形的条件是 Ac-abB2ba+c. Cc-baDb2ac5有如下命题：负数没有立方根一个实数的立方根不是正数就是负数一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0其中错误的是 AB. CD6.若实数x、y满足x2+y2-4x-2y+5=0,则的值是 A.1; B.; C.; D.7直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为 A182 B180. C32D308已知方程x2-x-1994=19942，那么它的两根是 A1994,1995B-1994,1995. C-1994,-1995D1994,-19959如图16，BE是ABD的平分线，CF是ACD的平分线，BE与CF交于G，若BDC=140，BGC=110，则A的大小是 A70B75. C80D8510n是整数，下列四式中一定表示奇数的是 A(n+1)2 B(n+1)2-(n-1)2. C(n+1)3.D(n+1)3-n3二、 A组填空题（每小题3分，共30分）1.设A=,B=,则A、B中数值较小的是_.2已知实数a满足a+=0,那么丨a-1丨+丨a+1丨=_3.一个角的余角比它的补角的还多60,则这个角的度数是_.4.对作化简,结果是_.5.某自然数的5倍等于数a的立方,该自然数的恰是数a,则这个自然数是_.6在ABC中,ABC=90,又BDAC于D，则在ABC中互为余角的角共有_对7如图17，在RtABC中，ACB=90，AC=AE，BC=BD，则ACD+BCE=_8.当x=-3时,多项式x3+5x2-2x-5的值是_.9如图18，在ABC中，B=66，C=54，AD是角A的平分线，DE平分ADC交AC于E，则BDE=_10.如果的小数部分是a,而的小数部分是b,那么b=_.三、 B组填空题（每小题4分）1.设M=+,N=1-2+3-4+5-6+1993-1994,则=_.2在四边形ABCD中(图19)，ABCD，D=2B，AD和CD的长度分别为a和b，那么AB的长为_3.设x=,y=,则=_.4如图20，在ABC中，AD平分A，BDAD，DEAC交AB于E，若AB=5，则DE的长是_5.计算:=_.6设方程x2+1993x-1994=0和(1994x)2-19931995x-1=0的较小根次是,，则=_7.若,则化简为_.8.设M,x,y均为正整数,且=,则x+y+M的值是_.9x为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是_10如