南京工业大学线性代数试题(A)卷及答案.doc

南京工业大学 线 性 代 数 试题（A）卷（闭） 2007-2008学年第 二 学期 使用班级 通信, 营销 班级 学号 姓名一、 填空题（每题3分，共15分）1、设4 阶行列式和，则行列式 = 。2、设A、B都是n 阶方阵，则 。3、设，则 。4、设n元线性方程组，且，则方程组有解的充要条件是 ，有唯一解的充要条件是 ，有无穷多解的充要条件是 。5、矩阵的特征值为 ，A能否相似于对角阵？。二、 选择题（每题3分，共15分）1、设A为4阶方阵，则为（）。（A） （B） （C） （D）2、若向量组，能由向量组，线性表示，则向量组的秩为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）不能确定3、若矩阵A的秩等于矩阵B的秩，则（）(A). A与B合同 (B). B = A(C). A与B是相抵（或等价）矩阵(D). A，B是相似矩阵4、设矩阵是任一n阶可逆方阵，为A的伴随矩阵，又是一常数，且，则等于（ ）（A） （B） (C) (D) 5、设是3阶矩阵，特征值是，对应的特征向量分别是，若，则（ ）（A） （B） （C） （D）三、（11分）计算n阶行列式四、(12分) 设，且有关系式，求矩阵.五、（12分）设向量组，求该向量组的秩及其一个极大无关组并将其余的向量用该极大无关组线性表示。六、（14分）问，为何值时，线性方程组 有唯一解，无解，有无穷多组解？在有解时，求出其解。七、（16分）二次型的正、负惯性指数都是1，确定二次型的系数，并求曲面在点（1, 1, 0）的切平面方程。八、（5分）设为n阶方阵，为n阶单位阵，且。试证明：。南京工业大学 线性代数 试题 （A）卷试题标准答案2007 -2008学年第二学期 使用班级 通信, 营销 一、填空题(每题3分，共15分)(1) 32 （2） AB-BA (3) （4）r=s, r=s=n, r=sn. （5）；能。二、选择题(每题3分,共15分)1. d. 2. c 3. c 4. b 5. c 三、（11分）解：按第一行展开，得到， 。5分于是递推可得 。11分四、（12分）由关系式，得 , 即 。4分又可知，即可逆。 。8分上式两边左乘得。 。12分五、(12分)解：以向量为列构成矩阵并进行初等行变换： 。6分所以这个向量组的秩为3，且是它的一个极大无关组。且 。12分六、（14分）解：对增广矩阵进行初等行变换将它化为阶梯形矩阵 。4分 i）当时，方程组有唯一解。这时再用初等行变换将进一步化为于是方程组的唯一解即为矩阵的最后一个列向量。 。6分 ii）当，时，方程组无解；。8分iii）当，时，方程组有无穷多解。此时将化为简化阶梯形则其对应的齐次方程组的基础解系和它本身的一个特解分别为，非齐次线性方程组的通解为其中，为任意实数。 。14分七、（16分）二次型的矩阵为 ，由于，所以 。 （1）若 ，则不合题意，舍去； 。6分（2）若 ，由特征多项式得的特征值。所以，符合题意。故 。12分（3）对于曲面，由于。故切平面方程为 。16分八（5分）证明：因为，所以由有