第六章SOR法及加速.ppt

第六章线性方程组迭代法 迭代法的加速 数值分析 2 迭代法的加速 无论是解线性方程组的Jacobi迭代法和G S迭代法 还是解非线性方程Newton系列迭代法 都涉及到收敛速度问题 如何加快迭代法的速度呢 也涉及到初值的选取问题 如何改善迭代法的适用范围呢 3 由G S迭代法的矩阵形式 加速 加速法主要思想 4 5 两边同时乘D 5 6 上式为逐次超松弛法 SOR迭代法 的矩阵形式 令 7 6 SOR法化为 G S迭代法 G S法为SOR法的特例 SOR法为G S法的加速 例1 用G S法和SOR法求下列方程组的解 要求精度1e 6 7 解 1 G S迭代法 8 x k gauss seidel a b 1 1 1 1e 6 1110 75000000 37500001 50000000 56250000 53125001 54166670 65104170 59635421 61458330 70182290 65820311 6727431 0 99999330 99999231 99999260 99999430 99999351 99999370 99999520 99999441 9999946k 71 x 0 9999950 9999941 999995 满足精度的解 迭代次数为71次 9 1 SOR迭代法 1110 63750000 01218751 31990630 20042700 37175721 31228050 65503350 53401191 69228480 70584680 77334011 7771932 0 99999900 99999761 99999910 99999840 99999931 99999890 99999980 99999941 99999980 99999960 99999981 9999997k 24 x 1 0000001 0000002 000000 满足精度的解 迭代次数为24次 SOR法的收敛速度比G S法要快得多 10 SOR法都收敛吗 1 SOR迭代法收敛的充要条件是 对于SOR迭代法 7 有如下结论 8 此结论的证明较复杂 因此有 另外 松弛因子的选取是很困难的 一般采用试算进行 11 二 非线性方程迭代法的加速 对于迭代法 上式的迭代函数 令 迭代改变量 即 求导并令 9 12 得 因此有松弛迭代法 10 从后面的例子可以看出 加速效果是明显的 甚至一些不收敛的迭代法经过松弛加速后也能收敛 13 不方便 中值定理 差商近似代替导数 即 14 于是可以得到迭代格式 其中 11 上组公式称为Altken公式或Altken加速 15 将 11 式综合后可得一个解析式表示的迭代法 12 上式称为Steffensen迭代法 Altken公式与Steffensen公式是等价的 加速效果也是很明显的 例2中将比较不同加速方法 16 例2 对迭代格式 进行加速解方程组 解 x0 0 5x1 0 375x2 0 3509115x3 0 3477369x4 0 3473496x5 0 3473028x6 0 3472971x7 0 3472964 1 直接使用迭代格式 迭代7次 得到满足精度的解 17 2 对迭代格式进行松弛加速 x0 0 5x1 0 3333333x2 0 3472222x3 0 3472964x4 0 3472964 迭代4次 得到满足精度的解 18 3 对迭代格式进行Altken加速 11 式 x0 0 5x1 0 3451613x2 0 3472961x3 0 3472964 迭代3次 得到满足精度的解 从以上3种结果可见 迭代法加速技术效果比较明显 迭代格式 显然不收敛 19 x0 1 5x1 1 5350706x2 1 5321124x3 1 5320889x4 1 5320889 迭代4次 得到满足精度的解 对迭代格式进行松弛加速 x 1 5x 1 533333