第3章 齐次变换.ppt

第3章齐次变换 3 1刚体的空间描述3 2坐标变换3 3齐次变换3 4广义坐标变换3 5齐次变换的性质3 6欧拉变换与RPY变换3 7机器人变换方程习题 2020 2 25 2 MadebyShusongLIU 关节运动的影响 机器人是由一个个关节连接起来的刚体 每个关节都有驱动单元 因此 每个关节的运动对机器人末端执行器的空间状态都做出了贡献 区分各关节运动影响的解决方法 为了研究各关节运动对机器人空间状态的影响 引入齐次坐标的概念 它不仅能很好地解决机器人空间状态的描述 而且在视觉处理 三维图像识别方面也是有效工具 3 1刚体的空间描述 1 点的位置描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 3 1 坐标 直角坐标 如图2 1所示 在直角坐标系 A 中 空间任一点P的位置可用其直角坐标表示柱面坐标球坐标 图2 1点的位置描述 2 矢量 几何法 解析法 矩阵法 3 1刚体的空间描述 2 刚体的描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 4 1 自由度 物体能够对坐标系进行独立运动的数目称为自由度 DOF degreeoffreedom 刚体具有6个自由度三个旋转自由度R1 R2 R3三个平移自由度T1 T2 T3 图2 2刚体的自由度 3 1刚体的空间描述 2 刚体的描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 5 2 刚体的描述解决方法设有坐标系与刚体固连 B 则对刚体的描述转化成对坐标系 B 的描述 坐标系 A B 又称为框架或框 A B B 的要素 3 刚体的位置描述AOB OBXOBYOBZ T解决了对刚体沿着 A 的3个坐标轴移动自由度的描述 图2 3刚体的描述 3 1刚体的空间描述 2 刚体的描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 6 4 刚体的姿态描述 旋转矩阵的性质三个坐标轴两两垂直 满足正交条件 旋转矩阵 9个元素只有3个独立变量 单位矢量的投影 单位阵 正交单位阵的性质 3 1刚体的空间描述 2 刚体的描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 7 5 刚体的位姿描述 图2 3刚体的描述 相对于参考坐标系 A 坐标系 B 的原点位置和坐标轴的方位可以由位置矢量和旋转矩阵描述 刚体B在参考坐标系 A 中的位姿利用坐标系 B 描述 当表示位置时 当表示方位时 3 1刚体的空间描述 2 刚体的描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 8 例 求如图所示的与坐标系 B 固连的刚体在 A 中的位姿描述 3 1刚体的空间描述 2 刚体的描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 9 例 图1 5表示固连于连杆的坐标系 B 位于OB点 xb 2 yb 1 zb 0 在XOY平面内 坐标系 B 相对固定坐标系 A 有一个300的偏转 试写出表示连杆位姿的坐标系 B 的位姿矩阵表达式 3 1刚体的空间描述 3 手爪的位姿描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 10 图2 4机器人手部的位置和姿态描述 机器人手部的位姿如图2 4所示 可用固连于手部的坐标系 B 的位姿来表示 坐标系 B 由原点位置和三个单位矢量惟一确定 即 1 原点 取手部中心点为原点OB 2 Z轴 接近矢量 关节轴方向的单位矢量a 3 Y轴 姿态矢量 手指连线方向的单位矢量o 4 X轴 法向矢量 n为法向单位矢量 同时垂直于a o矢量 即n o a 3 1刚体的空间描述 3 手爪的位姿描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 11 图2 4机器人手部的位置和姿态描述 手部位置描述为从固定参考坐标系O原点指向手部坐标系 B 原点的矢量p的三个投影分量构成的矩阵 手部的位姿描述可由 3 4 矩阵表示 3 1刚体的空间描述 3 手爪的位姿描述 2020 2 25 MadebyShusongLIU 12 3 2直角坐标变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 13 空间中任意点在不同坐标系中的描述是不同 为了阐明从一个坐标系的描述到另一个坐标系的描述的关系 需要讨论这种变换的数学问题 3 2直角坐标变换 1 平移坐标变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 14 如图所示 有 A 和 B 两坐标系 原点不重合 相应的坐标轴互相平等 即方位一致 用位置矢量APOB描述坐标系 B 相对于坐标系 A 的位置 称该矢量为 B 相对于 A 平移矢量 公式 3 2直角坐标变换 1 平移坐标变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 15 例 3 2直角坐标变换 2 旋转坐标变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 16 图旋转变换图 3 2直角坐标变换 2 旋转坐标变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 17 二维坐标变换 3 2直角坐标变换 2 旋转坐标变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 18 图旋转变换图 坐标系 B 与坐标系 A 原点相同 则p点在两个坐标系中的描述具有下列关系 分别绕x y z轴的旋转变换 基本旋转变换 任何旋转变换可以由有限个基本旋转变换合成得到 3 2直角坐标变换 3 复合变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 19 平移和旋转构成复合变换 3 2直角坐标变换 3 复合变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 20 例 坐标系 B 的初始位姿与参考坐标系 A 相同 坐标系 B 相对于 A 的zA轴旋转30 再沿 A 的xA轴移动12 沿 A 的yA轴移动6 求位置矢量ApB和旋转矩阵 假设p点在坐标系 B 的描述为Bp 590 T 求其在坐标系 A 的描述 解 3 2直角坐标变换 3 复合变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 21 例2 4有下面三种情况 图2 10 动坐标系 A 相对于固定坐标系的X0 y0 z0轴作 1 2 2 平移后到 A 动坐标系 A 相对于自身坐标系 即动系 的X Y Z轴分别作 1 2 2 平移后到 A 物体Q相对于固定坐标系作 2 6 0 平移后到Q 已知 写出坐标系 A A 以及物体Q的矩阵表达式 3 2直角坐标变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 22 问题 三种情况下公式不一样 3 3齐次坐标变换 1 齐次坐标 2020 2 25 MadebyShusongLIU 23 齐次坐标定义空间的点P的位置用4个不同时为0的数 x y z w 来表示 它们与点的直角坐标的关系如下 这个4个数就叫空间点P的齐次坐标 3 3齐次坐标变换 1 齐次坐标 2020 2 25 MadebyShusongLIU 24 齐次坐标的性质 1 多值性对直角坐标为 Px Py Pz 的点P 对任一个不为0的w 下式都是点P的齐次坐标 Px Py Pz 2 唯一性条件 不为0时 齐次坐标才能唯一确定三维空间中唯一的点 表示点P的各直角坐标与对应的齐次坐标值之间的比例关系 3 直角坐标原点的齐次坐标直角坐标原点的齐次坐标为 0 0 0 为0时无意义 4 为0时的意义齐次坐标 1 0 0 0 表示指向无穷远的x轴方向 同理 齐次坐标 0 1 0 0 表示指向无穷远的y轴方向 齐次坐标 0 0 1 0 表示指向无穷远的z轴方向 3 3齐次坐标变换 1 齐次坐标 2020 2 25 MadebyShusongLIU 25 齐次坐标的矩阵表示 齐次坐标为 px py pz 空间的一点P 对应的矩阵为 P 3 3齐次坐标变换 2 齐次变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 26 复合情况下的齐次变换 Ap Bp 称为点的齐次坐标 ABT称为齐次坐标变换矩阵 3 3齐次坐标变换 2 齐次变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 27 平移齐次坐标变换 3 3齐次坐标变换 2 齐次变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 28 旋转齐次坐标变换 2 4广义旋转变换 1 广义旋转 2020 2 25 MadebyShusongLIU 29 图所示 点A绕任意过原点的单位矢量k旋转 角的情况 kx ky kz分别为k矢量在固定参考系坐标轴X Y Z上的三个分量 或 坐标系 B 最初与 A 重合 绕任意过原点的单位矢量k旋转 角的情况 kx ky kz分别为k矢量在固定参考系坐标轴X Y Z上的三个分量 2 4广义旋转变换 2 广义旋转变换矩阵 2020 2 25 MadebyShusongLIU 30 可以证得 绕任意过原点的单位矢量k转 角的旋转齐次变换公式为 2 4广义旋转变换 2 广义旋转变换矩阵 2020 2 25 MadebyShusongLIU 31 一般旋转齐次变换通式 它概括了绕X轴 Y轴 Z轴进行旋转齐次变换的各种特殊情况当kx 1 即ky kz 0时 可得到 当ky 1 即kx kz 0时 可得到 当kz 1 即kx ky 0时 可得到 2 4广义旋转变换 3 等效矢量与等效转角 2020 2 25 MadebyShusongLIU 32 若给出两坐标系的旋转齐次变换矩阵 要求出活动坐标系是参考坐标系的哪个矢量K转了多大的角度 2 4广义旋转变换 3 等效矢量与等效转角 2020 2 25 MadebyShusongLIU 33 若给出两坐标系的旋转齐次变换矩阵 要求出活动坐标系是参考坐标系的哪个矢量K转了多大的角度 求出的值叫 等效矢量k及等效转角 2 5齐次变换的性质 1 齐次变换矩阵的块分解及其几何意义 2020 2 25 MadebyShusongLIU 34 2 5齐次变换的性质 2 变换矩阵的逆阵 2020 2 25 MadebyShusongLIU 35 已知ABT 求其逆的办法 1 直接求ABT 12 简化方法 2 5齐次变换的性质 3 齐次变换矩阵相乖次序 2020 2 25 MadebyShusongLIU 36 1 相对于活动坐标系 2 相对于固定坐标系1 投影法2 广义变换法3 公式法 2 5齐次变换的性质 3 齐次变换矩阵相乖次序 2020 2 25 MadebyShusongLIU 37 例 已知坐标系中点U的位置矢量u 7321 T将此点绕Z轴旋转90 再绕Y轴旋转90 如图2 13所示 求旋转变换后所得的点W 2 5齐次变换的性质 3 齐次变换矩阵相乖次序 2020 2 25 MadebyShusongLIU 38 例 如图2 14所示单臂操作手 手腕也具有一个自由度 已知手部起始位姿矩阵为 若手臂绕Z0轴旋转 90 则手部到达G2若手臂不动 仅手部绕手腕Zl轴旋转 90 则手部到达G3 写出手部坐标系 G2 及 G3 的矩阵表达式 2 5齐次变换的性质 3 齐次变换矩阵相乖次序 2020 2 25 MadebyShusongLIU 39 2 6RPY变换与欧拉变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 40 旋转矩阵R的9个元素中 只有3个独立元素 用来做矩阵变换非常方便 但表示方位却不太方便 所以常用RPY角与欧拉角来表示机械手在究竟的方位 2 6RPY变换与欧拉变换 1 RPY变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 41 1 RPY角 RPY角是描述船舶在大海中航行或飞机在空中飞行的姿态的一种方法 操作手的RPY角X Y Z的确定 R P Y角的确定 2 6RPY变换与欧拉变换 1 RPY变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 42 2 已知RPY求RPY变换矩阵 变换 绕参考坐标系变换次序 X Y Z变换矩阵相乘的次序 RPY变换矩阵 2 6RPY变换与欧拉变换 1 RPY变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 43 3 已知RPY变换求等价RPY角 求 RPY角 2 6RPY变换与欧拉变换 2 欧拉变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 44 1 欧拉角绕动坐标系Z Y X转动的欧拉角 绕动坐标系Z Y 或X Z 2 6RPY变换与欧拉变换 2 欧拉变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 45 2 已知欧拉角求欧拉变换矩阵 2 6RPY变换与欧拉变换 2 欧拉变换 2020 2 25 MadebyShusongLIU 46 3 已知欧拉变换求等价欧拉角 2 7机器人变换方程 2020 2 25 MadebyShusongLIU 47 B 基坐标系 T 工具坐标系 S 工作台坐标系 G 目标坐标系或工件坐标系满足方程 2 7机器人变换方程 2020 2 25 MadebyShusongLIU 48 习题 2020 2 25 MadebyShusongLIU 49 1 动坐标系 B 中有一点 此坐标系绕固定坐标系绕x轴旋转90 求旋转后该点相对于固定坐标系的坐标 2 动坐标系 B 中有一点 此坐标系绕固定坐标系绕x轴旋转90 并沿z轴平移10个单位 沿y轴平移5个单位 求平移旋转后该点相对于固定坐标系的坐标 习题 2020 2 25 MadebyShusongLIU 50 3 在动坐标中有一固定点 相对固定参考坐标系做如下运动 Rot x 90 Rot z 90 Rot y 90 求点在固定参考坐标系下的位置 习题 2020 2 25 MadebyShusongLIU 51 3 在动坐标中有一固定点 相对固定参考坐标系做如下运动 Rot x 90 Rot z 90 Rot y 90 求点在固定