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文档简介
一 全微分的定义 连续 全微分的定义 例 事实上 二 可微的条件 证 总成立 同理可得 一元函数在某点的导数存在微分存在 多元函数的各偏导数存在全微分存在 例如 则 当时 说明 多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在 习惯上 记全微分为 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上函数的情况 解 所求全微分 偏导数连续 全微分存在 解 解 偏导数连续 全微分存在 所求全微分 讨论函数可微的方法 1 总是先求 某点 的偏导 2 如果偏导连续 则可微 充分条件 如果有一个偏导不存在连续 则不可微 必要条件 如果偏导存在但不连续 间断 则考虑 是否是 的高阶无穷小 即 证 1 令 则 同理 或 无穷小乘有界量为无穷小 2 那么 0 有意义吗 不存在 注意 若函数偏导存在时验证函数可微 关键是看 多元函数连续 可导 可微的关系 全微分在近似计算中的应用 也可写成 解 由公式得 多元函数全微分的概念 多元函数全微分的求法 多元函数连续 可导 可微的关系 注意 与一元函数有很大区别 三 小结 P Q M N x y A B dz AB 切面立标的增量 z f x y z AN 曲面立标的增量 过点M的切平面 即 dz z AB BN dz AB 用切面立标的增量近似曲面立
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