高考数学大一轮复习 第六章 数列 6_4 数列求和课件 理 北师大版

6 4数列求和 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 等差数列的前n项和公式 知识梳理 2 等比数列的前n项和公式 1 1 2 3 4 n 2 1 3 5 7 2n 1 3 2 4 6 8 2n 3 一些常见数列的前n项和公式 n n 1 n2 数列求和的常用方法 1 公式法等差 等比数列或可化为等差 等比数列的可直接使用公式求和 2 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 3 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求和公式的推导过程的推广 6 并项求和法一个数列的前n项和中 可两两结合求解 则称之为并项求和 形如an 1 nf n 类型 可采用两项合并求解 例如 Sn 1002 992 982 972 22 12 100 99 98 97 2 1 5050 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 3 求Sn a 2a2 3a3 nan之和时 只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 5 推导等差数列求和公式的方法叫作倒序求和法 利用此法可求得sin21 sin22 sin23 sin288 sin289 44 5 1 2016 潍坊模拟 设 an 是公差不为0的等差数列 a1 2 且a1 a3 a6成等比数列 则 an 的前n项和Sn等于 考点自测 答案 解析 设等差数列的公差为d 则a1 2 a3 2 2d a6 2 5d 又 a1 a3 a6成等比数列 即 2 2d 2 2 2 5d 整理得2d2 d 0 A 2016B 2017C 2018D 2019 答案 解析 Sn a1 a2 an 3 数列 an 的通项公式为an 1 n 1 4n 3 则它的前100项之和S100等于A 200B 200C 400D 400 答案 解析 S100 4 1 3 4 2 3 4 3 3 4 100 3 4 1 2 3 4 99 100 4 50 200 4 若数列 an 的通项公式为an 2n 2n 1 则数列 an 的前n项和Sn 答案 解析 2n 1 2 n2 1008 答案 解析 因为数列an ncos呈周期性变化 观察此数列规律如下 a1 0 a2 2 a3 0 a4 4 故S4 a1 a2 a3 a4 2 a5 0 a6 6 a7 0 a8 8 故a5 a6 a7 a8 2 周期T 4 S2017 S2016 a2017 1008 题型分类深度剖析 题型一分组转化法求和 解答 当n 1时 a1 S1 1 a1也满足an n 故数列 an 的通项公式为an n 2 设bn 2an 1 nan 求数列 bn 的前2n项和 解答 由 1 知an n 故bn 2n 1 nn 记数列 bn 的前2n项和为T2n 则T2n 21 22 22n 1 2 3 4 2n 记A 21 22 22n B 1 2 3 4 2n 则A 22n 1 2 B 1 2 3 4 2n 1 2n n 故数列 bn 的前2n项和T2n A B 22n 1 n 2 引申探究 本例 2 中 求数列 bn 的前n项和Tn 解答 由 1 知bn 2n 1 n n 当n为偶数时 Tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 1 n 当n为奇数时 Tn 21 22 2n 1 2 3 4 n 2 n 1 n 思维升华 分组转化法求和的常见类型 1 若an bn cn 且 bn cn 为等差或等比数列 可采用分组求和法求 an 的前n项和 提醒 某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差 从而求得原数列的和 注意在含有字母的数列中对字母的讨论 跟踪训练1已知数列 an 的通项公式是an 2 3n 1 1 n ln2 ln3 1 nnln3 求其前n项和Sn 解答 Sn 2 1 3 3n 1 1 1 1 1 n ln2 ln3 1 2 3 1 nn ln3 所以当n为偶数时 当n为奇数时 题型二错位相减法求和 例2 2016 山东 已知数列 an 的前n项和Sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 1 求数列 bn 的通项公式 解答 由题意知 当n 2时 an Sn Sn 1 6n 5 当n 1时 a1 S1 11 满足上式 所以an 6n 5 解答 又Tn c1 c2 cn 得Tn 3 2 22 3 23 n 1 2n 1 2Tn 3 2 23 3 24 n 1 2n 2 两式作差 得 Tn 3 2 22 23 24 2n 1 n 1 2n 2 所以Tn 3n 2n 2 3n 2n 2 思维升华 错位相减法求和时的注意点 1 要善于识别题目类型 特别是等比数列公比为负数的情形 2 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下一步准确写出 Sn qSn 的表达式 3 在应用错位相减法求和时 若等比数列的公比为参数 应分公比等于1和不等于1两种情况求解 跟踪训练2设等差数列 an 的公差为d 前n项和为Sn 等比数列 bn 的公比为q 已知b1 a1 b2 2 q d S10 100 1 求数列 an bn 的通项公式 解答 解答 由d 1 知an 2n 1 bn 2n 1 可得 题型三裂项相消法求和 例3 2015 课标全国 Sn为数列 an 的前n项和 已知an 0 2an 4Sn 3 1 求 an 的通项公式 解答 由an 0 可得an 1 an 2 又 2a1 4a1 3 解得a1 1 舍去 或a1 3 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 解答 由an 2n 1可知 设数列 bn 的前n项和为Tn 则Tn b1 b2 bn 答案 解析 则f x 思维升华 解答 an Sn Sn 1 n 2 即2Sn 1Sn Sn 1 Sn 由题意得Sn 1 Sn 0 解答 Tn b1 b2 bn 四审结构定方案 审题路线图系列 审题路线图 规范解答 返回 当n 1时 上式也成立 得 Tn 4 12分 返回 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 西安模拟 设等比数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 2016 且an 2an 1 an 2 0 n N 则S2016等于A 0B 2016C 2015D 2014 答案 解析 an 2an 1 an 2 0 n N an 2anq anq2 0 q为等比数列 an 的公比 即q2 2q 1 0 q 1 an 1 n 1 2016 S2016 a1 a2 a3 a4 a2015 a2016 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 等差数列 an 的通项公式为an 2n 1 其前n项和为Sn 则数列的前10项的和为A 120B 70C 75D 100 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 在数列 an 中 若an 1 1 nan 2n 1 则数列 an 的前12项和等于A 76B 78C 80D 82 答案 解析 由已知an 1 1 nan 2n 1 得an 2 1 n 1 an 1 2n 1 得an 2 an 1 n 2n 1 2n 1 取n 1 5 9及n 2 6 10 结果相加可得S12 a1 a2 a3 a4 a11 a12 78 故选B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由题意 得a1 a2 a3 a100 12 22 22 32 32 42 42 52 992 1002 1002 1012 1 2 3 2 4 3 99 100 101 100 1 2 99 100 2 3 100 101 50 101 50 103 100 故选B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 设数列 an 的通项公式为an 2n 7 则 a1 a2 a15 等于A 153B 210C 135D 120 答案 解析 从第4项开始大于0 a1 a2 a15 a1 a2 a3 a4 a5 a15 5 3 1 1 3 2 15 7 9 153 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 120 Sn a1 a2 an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 在等差数列 an 中 a1 0 a10 a11 0 若此数列的前10项和S10 36 前18项和S18 12 则数列 an 的前18项和T18的值是 60 由a1 0 a10 a11 0可知d 0 a10 0 a11 0 T18 a1 a10 a11 a18 S10 S18 S10 60 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Sn a1 a2 a3 an 1 an 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 又 an 为正项数列 an 1 an 1 0 即an 1 an 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数列 an 是以1为首项 1为公差的等差数列 an n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 T1 T2 T3 T100中有理数的个数为9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 2017 江西于都三中月考 已知各项为正数的数列 an 满足对任意的正整数m n 都有aman 2m n 2成立 1 求数列 log2an 的前n项和Sn 解答 当m 1时 a1 an 2n 1 an 2n 1 所以log2an n 1 所以 log2an 是等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 设bn an log2an n N 求数列 bn 的前n项和Tn 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 bn n 1 2n 1 所以Tn 0 20 1 21 2 22 n 1 2n 1 从而2Tn 1 22 2 23 3 24 n 2 2n 1 n 1 2n 两式相减得 Tn 21 22 2n 1 n 1 2n 2n 2 n 1 2n 所以Tn n 2 2n 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 设数列 an 的公比为q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得q 2或q 1 所以an 2n 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 b1 b2 b3 b4 b2n 1 b2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1