高考数学大一轮复习第五章平面向量5_4平面向量应用举例课件文北师大版

5 4平面向量应用举例 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 向量在平面几何中的应用 1 用向量解决常见平面几何问题的技巧 知识梳理 a b x1y2 x2y1 0 x1x2 y1y2 0 a b 0 2 用向量方法解决平面几何问题的步骤 平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题 2 向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具 常与函数 三角函数 解析几何结合 常通过向量的线性运算与数量积 向量的共线与垂直求解相关问题 2 若直线l的方程为Ax By C 0 则向量 A B 与直线l垂直 向量 B A 与直线l平行 几何画板展示 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若 则A B C三点共线 2 若a b 0 则a和b的夹角为锐角 若a b 0 则a和b的夹角为钝角 3 在 ABC中 若 0 则 ABC为钝角三角形 4 已知平面直角坐标系内有三个定点A 2 1 B 0 10 C 8 0 若动点P满足 t R 则点P的轨迹方程是x y 1 0 考点自测 1 教材改编 已知 ABC的三个顶点的坐标分别为A 3 4 B 5 2 C 1 4 则该三角形为A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形 答案 解析 ABC为直角三角形 A 6B 5C 4D 3 在 ABC中 由余弦定理可得 AB2 AC2 2AB AC cosA BC2 所以AB2 AC2 32 100 AB2 AC2 68 又D为边BC的中点 所以 两边平方得4 2 68 32 36 解得 3 故选D 答案 解析 答案 解析 x 2y 4 0 由 4 得 x y 1 2 4 即x 2y 4 4 2016 银川模拟 已知向量a cos sin b 1 则 2a b 的最大值为 设a与b夹角为 2a b 2 4a2 4a b b2 8 4 a b cos 8 8cos 0 cos 1 1 8 8cos 0 16 即 2a b 2 0 16 2a b 0 4 2a b 的最大值为4 4 答案 解析 几何画板展示 答案 解析 题型分类深度剖析 题型一向量在平面几何中的应用 例1 1 在平行四边形ABCD中 AD 1 BAD 60 E为CD的中点 若 1 则AB 答案 解析 在平行四边形ABCD中 取AB的中点F 2 已知O是平面上的一定点 A B C是平面上不共线的三个动点 若动点P满足 0 则点P的轨迹一定通过 ABC的 答案 解析 A 内心B 外心C 重心D 垂心 引申探究本例 2 中 若动点P满足 0 则点P的轨迹一定通过 ABC的 内心 答案 解析 所以点P的轨迹必过 ABC的内心 向量与平面几何综合问题的解法 1 坐标法把几何图形放在适当的坐标系中 则有关点与向量就可以用坐标表示 这样就能进行相应的代数运算和向量运算 从而使问题得到解决 2 基向量法适当选取一组基底 沟通向量之间的联系 利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解 思维升华 跟踪训练1 A 等边三角形B 直角三角形C 等腰非等边三角形D 三边均不相等的三角形 答案 解析 所以 ABC为等边三角形 5 答案 解析 以D为原点 分别以DA DC所在直线为x轴 y轴建立如图所示的平面直角坐标系 设DC a DP y 则D 0 0 A 2 0 C 0 a B 1 a P 0 y 由点P是腰DC上的动点 知0 y a 题型二向量在解析几何中的应用 例2 1 已知向量 k 12 4 5 10 k 且A B C三点共线 当k 0时 若k为直线的斜率 则过点 2 1 的直线方程为 2x y 3 0 4 k k 5 6 7 0 解得k 2或k 11 由k 0可知k 2 则过点 2 1 且斜率为 2的直线方程为y 1 2 x 2 即2x y 3 0 答案 解析 答案 解析 OM是圆的切线 设OM的方程为y kx 向量在解析几何中的 两个 作用 1 载体作用 向量在解析几何问题中出现 多用于 包装 解决此类问题的关键是利用向量的意义 运算脱去 向量外衣 导出曲线上点的坐标之间的关系 从而解决有关距离 斜率 夹角 轨迹 最值等问题 2 工具作用 利用a b a b 0 a b为非零向量 a b a b b 0 可解决垂直 平行问题 特别地 向量垂直 平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直 平行问题是一种比较简捷的方法 思维升华 跟踪训练2 2016 合肥模拟 如图所示 半圆的直径AB 6 O为圆心 C为半圆上不同于A B的任意一点 若P为半径OC上的动点 则的最小值为 圆心O是直径AB的中点 答案 解析 当大小相等时 乘积最小 题型三向量的其他应用 命题点1向量在不等式中的应用 答案 解析 因为 x 1 2 y 所以 2x y 令z 2x y 依题意 不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示 含边界 观察图像可知 当目标函数z 2x y过点C 1 1 时 zmax 2 1 1 3 目标函数z 2x y过点F a a 时 zmin 2a a 3a 所以3 8 3a 解得a 例4 2016 合肥模拟 在 ABC中 角A B C的对边分别是a b c 若20a 15b 12c 0 则 ABC最小角的正弦值等于 答案 解析 命题点2向量在解三角形中的应用 利用向量的载体作用 可以将向量与三角函数 不等式结合起来 解题时通过定义或坐标运算进行转化 使问题的条件结论明晰化 思维升华 跟踪训练3 1 函数y sin x 在一个周期内的图像如图所示 M N分别是最高点 最低点 O为坐标原点 且 0 则函数f x 的最小正周期是 答案 解析 3 解得xN 2 答案 解析 3 三审图形抓特点 审题路线图系列 审题路线图 答案 解析 返回 由E为该函数图像的一个对称中心 作点C的对称点M 作MF x轴 垂足为F 如图 返回 课时作业 A 等边三角形B 等腰三角形C 直角三角形D 等腰直角三角形 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 故 ABC一定是直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 2016 山东 已知非零向量m n满足4 m 3 n cos m n 若n tm n 则实数t的值为 n tm n n tm n 0 即tm n n2 0 t m n cos m n n 2 0 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 2016 南宁模拟 已知向量a cos 2 b sin 1 且a b 则sin2 等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由a b得cos 2sin 0 cos 2sin 又sin2 cos2 1 4 2016 武汉模拟 设 ABC的三个内角为A B C 向量m sinA sinB n cosB cosA 若m n 1 cos A B 则C等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知点A 2 0 B 3 0 动点P x y 满足 x2 则点P的轨迹是A 圆B 椭圆C 双曲线D 抛物线 2 x y 3 x y 2 x 3 x y2 x2 y2 x 6 即点P的轨迹是抛物线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 6 若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 则 与 的夹角 的取值范围是 答案 解析 如图 向量 与 在单位圆O内 由于 1 1 且以向量 为邻边的平行四边形的面积为 故以向量 为两边的三角形的面积为 故 的终点在如图所示的线段AB上 且圆心O到AB的距离为 因此夹角 的取值范围为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 在菱形ABCD中 若AC 4 则 8 设 CAB AB BC a 由余弦定理得a2 16 a2 8acos acos 2 4 a cos 4acos 8 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知平面向量a b满足 a 1 b 2 a与b的夹角为 以a b为邻边作平行四边形 则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 答案 解析 a b 2 a b 2 4a b 4 a b cos 4 0 a b a b 又 a b 2 a2 b2 2a b 3 a b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 设e1 e2为单位向量 非零向量b xe1 ye2 x y R 若e1 e2的夹角为 则的最大值为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 2 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 圆 x 2 2 y2 4的圆心C 2 0 半径为2 圆M x 2 5cos 2 y 5sin 2 1 圆心M 2 5cos 5sin 半径为1 CM 5 2 1 故两圆相离 如图所示 设直线CM和圆M交于H G两点 cos EHF cos2 CHE 1 2sin2 CHE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由题意得 a b 2 2 即 a b 2 a2 2a b b2 2 又因为a2 b2 a 2 b 2 1 所以2 2a b 2 即a b 0 故a b 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 因为a b cos cos sin sin 0 1 2 设c 0 1 若a b c 求 的值 由此得 cos cos 由0 得0 又0 故 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 由余弦定理知 a2