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文档简介
2014年高考双曲线专题做题技巧与方法总结1基础三角形如图,AOB中,|OA|a,|AB|b,|OB|c,tanAOB, OF2D中,|F2D|b.2 注意定义中“陷阱”问题1:已知,一曲线上的动点到距离之差为6,则双曲线的方程为 点拨:一要注意是否满足,二要注意是一支还是两支 ,的轨迹是双曲线的右支.其方程为3. 注意焦点的位置问题2:双曲线的渐近线为,则离心率为 点拨:当焦点在x轴上时,;当焦点在y轴上时,热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程题型1:运用双曲线的定义例1已知两圆C1:(x4)2y22,C2:(x4)2y22,动圆M与两圆C1、C2都相切,则动圆圆心M的轨迹方程是()A x0 B. 1(x) C. 1 D. 1或x0练习1.设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2,则PF1F2的面积为( )AB12CD242. 如图2所示,为双曲线的左焦点,双曲线上的点与关于轴对称,则的值是( )A9 B16 C18 D27 3. P是双曲线左支上的一点,F1、F2分别是左、右焦点,且焦距为2c,则的内切圆的圆心的横坐标为( )(A)(B)(C)(D)题型2 求双曲线的标准方程例2 已知双曲线C与双曲线=1有公共焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程练习4. 已知双曲线的渐近线方程是,焦点在坐标轴上且焦距是10,则此双曲线的方程为 ; 5. 以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为_.6. 已知点,动圆与直线切于点,过、与圆相切的两直线相交于点,则点的轨迹方程为A BC(x 0) D考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围例3 已知双曲线的左,右焦点分别为,点P在双曲线的右支上,且,则此双曲线的离心率e的最大值为 练习7. 已知双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为 8. 已知双曲线的右顶点为E,双曲线的左准线与该双曲线的两渐近线的交点分别为A、B两点,若AEB=60,则该双曲线的离心率e是( )A B2 C或2 D不存在题型2 与渐近线有关的问题例4若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长,则双曲线的离心率为 ( )A. B. C. D.【新题导练】9. 设双曲线1(a0,b0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为()Ayx By2x Cyx Dyx10.已知双曲线C:1(a0,b0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( )A. B. Ca Db考点3 双曲线的综合应用例6已知等轴双曲线C:x2y2a2(a0)上一定点P(x0,y0)及曲线C上两动点A、B满足()()0.(其中O为原点)(1)求证:()()0.(2)求|AB|的最小值10. (2010广州一中)过双曲线1(a0,b0)的右顶点A作斜率为1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B、C,若,则双曲线的离心率是 ()A. B. C. D.课后练习1. 以椭圆的右焦点为圆心,且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 (A) (B) (C) (D)2. 已知双曲线的两个焦点为、,是此双曲线上的一点,且满足,则该双曲线的方程是()A B C D3. 两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是,且则双曲线的离心率为( ) A B C D4. 设,分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率,为两曲线的一个公共点,且满足,则的值为A B1C2D不确定5.已知F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若ABF2是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( )(A). (B). (C). (D).6. 曲线与曲线的()A焦距相等 B焦点相同 C离心率相等 D以上都不对7. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点,(1)求双曲线的渐近线方程;(2)直线过焦点且垂直于x轴,若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为,求双曲线的方程8. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为,右顶点为.()求双曲线C的方程()若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B且(其中为原点),求k的取值范围答案热点考点题型探析考点1 双曲线的定义及标准方程题型1:运用双曲线的定义例1 解析:如右图,动圆M与两圆C1、C2都相切,有四种情况:动圆M与两圆都相外切,动圆M与两圆都相内切;动圆M与圆C1外切、与圆C2内切. 动圆M与圆C1内切、与圆C2外切. 在的情况下,显然,动圆圆心M的轨迹方程为x0;在的情况下,设动圆M的半径为r,则|MC1|r,|MC2|r故得|MC1|MC2|2;在的情况下,同理得|MC2|MC1|2由得|MC1|MC2|2根据双曲线定义,可知点M的轨迹是以C1(4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线,且a,c4,bc2a214,其方程为1. 由可知选D.练习1.解析: 又由、解得直角三角形,故选B。2. 解析 ,选C3.解析设的内切圆的圆心的横坐标为,由圆的切线性质知,题型2 求双曲线的标准方程例2 解析 解法一:设双曲线方程为=1.由题意易求c=2.又双曲线过点(3,2),=1.又a2+b2=(2)2,a2=12,b2=8. 所求双曲线的方程为=1.解法二:设双曲线方程为1,将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为1.练习4. 解析设双曲线方程为,当时,化为,当时,化为,综上,双曲线方程为或5.解析 抛物线的焦点为,设双曲线方程为,双曲线方程为6解析,点的轨迹是以、为焦点,实轴长为2的双曲线的右支,选B考点2 双曲线的几何性质题型1 求离心率或离心率的范围例3 【解题思路】这是一个存在性问题,可转化为最值问题来解决(方法1)由定义知,又已知,解得,在中,由余弦定理,得,要求的最大值,即求的最小值,当时,解得即的最大值为(方法2) ,双曲线上存在一点P使,等价于 (方法3)设,由焦半径公式得,的最大值为总结(1)解法1用余弦定理转化,解法2用定义转化,解法3用焦半径转化;(2)点P在变化过程中,的范围变化值得探究;(3)运用不等式知识转化为的齐次式是关键练习7. 解析当时,当时,或8. 解析设双曲线的左准线与x轴交于点D,则,题型2 与渐近线有关的问题例4【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素,沟通的关系解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长,故,,所以【新题导练】9. C 10.解析:右焦点为F(c,0),渐近线为bxay0,所求圆半径r等于F(c,0)到直线bxay0的距离考点3 双曲线的综合应用例6解析:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AP、BP中点分别为M、N,则xya2,xya2,xxyy 同理()()0,0,即1,1OMON即()()0(2)又MONMPN易知O、M、N、P四点共圆,且MN为圆的直径,OP为圆的任一弦,故|MN|OP|AB|2|OP|2因此|AB|最小值为2.10. 解析:过点A(a,0)的直线的方程为yxa,则易求得该直线与双曲线的渐近线yx的交点B、C的坐标为B、C,由得b2a,所以双曲线的离心率e. 故选C课后练习1. 解析椭圆与双曲线共焦点,焦点到渐近线的距离为b,选A 2. 解析由 和得,选A3. 解析 ,选D4. 解析 C. 设,5.解析 ,选B6. 解析 方程的曲线为焦点在x轴的椭圆,方程的曲线为焦点在y轴的双曲线,故选A
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