高中数学第一单元基本初等函数ⅱ1_3_2余弦函数正切函数的图象与性质一课件新人教b版必修4

1 3 2余弦函数 正切函数的图象与性质 一 第一章 1 3三角函数的图象与性质 学习目标1 会用 五点法 作出余弦函数的简图 2 理解余弦函数的性质 会求余弦函数的周期 单调区间及最值 3 理解正弦曲线与余弦曲线的联系 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一余弦函数的图象 如何快速作出余弦函数的图象 答案 答案 1 依据诱导公式cosx sin 要得到y cosx的图象 只须把y sinx的图象向左平移个单位长度即可 余弦函数的图象叫做余弦曲线 图象如图所示 2 在精确度要求不高时 要画出y cosx x 0 2 的图象 可以通过描出 0 1 1 2 1 五个关键点 再用光滑曲线将它们连接起来 就可以得到余弦函数y cosx x 0 2 的图象 余弦函数y cosx的图象叫做余弦曲线 梳理 思考1 知识点二余弦函数的性质 观察余弦曲线 余弦函数是否存在最大值和最小值 若存在 其最大值和最小值分别为多少 答案 答案余弦函数存在最大值和最小值 分别是1和 1 思考2 当自变量x分别取何值时 余弦函数y cosx取得最大值1和最小值 1 余弦函数的周期性如何 答案 答案对于余弦函数y cosx x R有 当且仅当x 2k k Z时 取得最大值1 当且仅当x 2k 1 k Z时 取得最小值 1 和正弦函数一样 余弦函数也是周期函数 最小正周期为2 思考3 观察余弦曲线 余弦函数在哪些区间上是增函数 在哪些区间上是减函数 如何将这些单调区间进行整合 答案 答案在整个定义域R上 余弦函数不是单调函数 为研究余弦函数y cosx的变化情况 我们先选取一个周期区间 来研究余弦函数单调情况 再借助周期推而广之 函数y cosx x 的图象如图所示 观察图象可知 当x 0 时 曲线逐渐上升 是增函数 cosx的值由 1增大到1 当x 0 时 曲线逐渐下降 是减函数 cosx的值由1减小到 1 推广到整个定义域可得 当x 2k 2k k Z时 余弦函数y cosx是增函数 函数值由 1增大到1 当x 2k 2k 1 k Z时 余弦函数y cosx是减函数 函数值由1减小到 1 梳理 正弦函数 余弦函数的图象 性质对比 R R 1 1 1 1 奇函数 偶函数 2 2 2k 2k k Z 2k 2k k Z x 2k k Z x 2k k Z 答案正弦函数是R上的奇函数 余弦函数是R上的偶函数 根据诱导公式 得sin x sinx cos x cosx对一切x R恒成立 思考1 知识点三正弦曲线 余弦曲线的对称性 观察正弦曲线和余弦曲线的对称性 你有什么发现 答案 答案正弦函数y sinx的图象关于原点对称 余弦函数y cosx的图象关于y轴对称 思考2 上述对称性反映出正 余弦函数分别具有什么性质 如何从理论上加以验证 梳理 正弦函数y sinx x R 和余弦函数y cosx x R 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 它们的图象如图所示 研究正弦曲线和余弦曲线可以得到以下结论 1 正弦曲线是中心对称图形 其所有的对称中心坐标为 k 0 k Z 且正弦曲线是轴对称图形 其所有的对称轴方程是x k k Z 2 余弦曲线是中心对称图形 其所有的对称中心坐标是 k Z 余弦曲线是轴对称图形 其所有的对称轴方程是x k k Z 题型探究 解答 类型一求余弦函数的单调区间 反思与感悟 确定函数y Acos x 单调区间的基本思想是整体换元思想 即将 x 看作一个整体 利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间 若x的系数为负 通常利用诱导公式化为正数再求解 有时还应兼顾函数的定义域 解答 解根据复合函数 同增异减 的规律 类型二余弦函数的值域或最值 解答 反思与感悟 求三角函数最值的两种基本类型 1 将三角函数式化为y Acos x k的形式 结合有界性求最值 2 将三角函数式化为关于cosx 或sinx 的二次函数的形式 利用二次函数的性质和有界性求最值 求实数a的值 a 3 4 a 1 综上可知 实数a的值为2或 1 解答 类型三余弦函数的对称性 1 在该函数的对称轴中 求离y轴距离最近的那条对称轴的方程 解答 2 把该函数的图象向右平移 个单位后 图象关于原点对称 求 的最小正值 解答 解设该函数向右平移 个单位后解析式为y f x y f x 的图象关于原点 0 0 对称 反思与感悟 关于正 余弦函数的对称性有以下重要结论 1 f x Asin x 或Acos x 的图象关于x x0对称 f x0 A或 A 2 f x Asin x 或Acos x 的图象关于点 x0 0 中心对称 f x0 0 解答 当堂训练 1 函数f x cos4x x R是A 最小正周期为 的偶函数B 最小正周期为 的奇函数C 最小正周期为的偶函数D 最小正周期为的奇函数 答案 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 2 3 4 5 1 3 函数y cosx cosx x 0 2 的大致图象为 显然只有D合适 答案 2 3 4 5 1 解析 A 与g x 的图象相同B 与g x 的图象关于y轴对称C 向左平移个单位 得g x 的图象D 向右平移个单位 得g x 的图象 答案 解析 2 3 4 5 1 结合图象可得 规律与方法 1 余弦函数y cosx x R 是偶函数 而且是周期函数 最小正周期为2 与y Asin x 一样 函数y Acos x 0 的周期也是2 与正弦函数类似