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第四章 随机变量的 数字特征 第一节数学期望一数学期望例设甲乙两人在同样的条件下各生产了100天 在一天中出现废品的概率分布如下问 从平均废品数看谁的技术好 解从表中可知 甲有天不出现废品有天出现1件废品有天出现2件废品有天出现3件废品因此在100天中甲共出现的废品数为甲平均每天出现的废品数为 同样可得 乙平均每天出现的废品数为由此可知 从平均每天出现的废品数看 乙的技术比甲的好 定义 设随机变量X的概率分布为如果绝对收敛 则称为X的数学期望 记为E X 即类似可得 定义 设连续型随机变量X的概率密度为E X 表示X的平均值 例设X服从两点分布 求E X 解 设X的概率分布为则例设X服从 a b 上的均匀分布 求E X 解X的概率密度为 例设射手击中目标的概率为p 用X表示射手第一次击中目标所需的射击次数 则试求射手第一次击中目标所需的平均射击次数 解平均射击次数为即平均射击次数与击中目标的概率p成反比 二随机变量函数的数学期望定理 设Y是X的函数 Y g X 1 X是离散型 概率分布为则 2 X是连续型 概率密度为 则 例设X的概率分布为求解 例某电子元件的使用寿命X是个随机变量 其概率密度为若规定使用寿命在500小时以下为废品 产值为0元 在500到1000小时之间为次品 产值为10元 在1000到1500之间为二等品 产值为30元 1500小时以上者为一等品 产值为40元 求该产品的平均产值 解设该产品的产值为Y 则 该产品的平均产值为 例设国际市场对某种商品的需求量X 单位 吨 是随机变量 它服从 2000 4000 上的均匀分布 设该商品每售出一吨 可获利3万元 但积压一吨需仓储费1万元 问 1 若计划出口量3000吨 求平均利润 2 如何计划出口量可使平均利润最大解 1 设Y表示计划出口量3000吨的利润 则 平均利润为 2 利润是销售量与组织的货源数量共同决定的 记y为组织的货源数量 Y为相应的利润 则 上述定理可以推广到二维随机变量 设Z g X Y
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