概率论与数理统计JA(48,29-30).ppt

第四章随机变量的数字特征 1数学期望 2方差 3几种重要随机变量的数学期望和方差 4协方差及相关系数 5矩 数学期望的定义 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 1数学期望 第四章随机变量的数字特征 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 返回主目录 例1 解 平均成绩为 若用X表示成绩 则 数学期望的提出 1 去掉最高 低分的启示 算术平均数是最常用的技巧 平均数作为衡量标准科学合理吗 班级有30个学生 其中两个学生数学考试只得2分和10分 此外 有5个学生得90分 22个得80分 1个得78分 此时该班数学成绩的平均分是 确实 该结果不能反映多数人的真实状况 80分左右合理 去掉一个最低分 总平均约是79 2分 去掉两个最低分 总平均则是81 7分 这似乎比较符合实际了 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 演员竞赛 演员表演完后 先由10个 或若干个 评委亮分 裁判长总要去掉最高分和最低分 再用其余的8个数据的平均值作为最后得分 算术平均数有两个缺点 受异常值的影响 计算比较复杂 不能一眼看出 去掉最高分或最低分 有 弄虚作假 之嫌 不见得都合适 平均数就是中等水平 是不合适的 上述30个学生的数学成绩中 总平均是76 67分 某同学得78分 超过平均数 似乎该是 中上 水平了 其实他是倒数第三名 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 例 在体操比赛中 规定有四个裁判给一个运动员打分 例如 9 30 9 35 9 45 9 90 按顺序排列 给分是当中两项的平均值 9 4 这样给分规定 避免了过高分数9 90的影响 同时9 40分处于四个裁判分的中间位数 不偏不倚 十分公正 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 怎样刻划 中等水平 呢 中位数 例 上面的30个学生的数学成绩依大小排列后 第15位和16位都是80分 所以中位数是80分 那么78分低于此数 当然是中下水平无疑了 众数也是常常使用的代表数 即数据中重复出现次数最多的那个数据 比如 美国某厂职工的月工资数统计如下 月工资数 美元 得此工资的人数100001 总经理 80002 副总经理 50002 助理 20005100012900188002370055002 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 如何来选取该厂的月工资代表数呢 经计算 平均值为1387美元 中位数为900美元 众数为800美元 工厂主为了显示本厂职工的收入高 用少数人的高工资来提高平均数 故采用1387美元 工会领导人则不同意 主张用众数800美元 职工中以拿每月800美元的人最多 而税务官则希望取中位数 以便知道目前的所得税率会对该厂的多数职工有利还是不利 以便寻求对策 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 2 伟大的 期望值 例如 一个体户有一笔资金 如经营西瓜 风险大但利润高 成功的概率为0 7 获利2000元 如经营工艺品 风险小但获利小 95 会赚 但利润为1000元 究竟该如何决策 于是计算期望值 若经营西瓜 期望值E1 0 7 2000 1400元 而经营工艺品为E2 0 95 l000 950元 所以权衡下来 情愿 搏一记 去经营西瓜 因它的期望值高 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 再举一个用期望值进行决策的例子 某投资者有10万元 有两种投资方案 一是购买股票 二是存入银行获取利息 买股票的收益取决于经济形势 形势好 获利40000元 形势中等 获利10000元 形势不好 损失20000元 如果是存入银行 年利率为8 即可得利息8000元 又设经济形势好 中 差的概率分别为30 50 和20 试问应选择哪一种方案 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 下面给出采用期望标准的解法 获利 看成随机变量 买股票和存银行的期望值分别为 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 按最大收益原则 取期望收益高的方案 淘汰期望收益低的方案 所以应采用购买股票的方案 一 数学期望定义 1 离散型 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 设离散型随机变量X的分布律为 若级数绝对收敛 则称随机变量X的数学期望存在 记作EX 且 数学期望也称为均值 2 连续型 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 设连续型随机变量X的概率密度为 若积分绝对收敛 则称积分的值为X的数学期望 记为 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 说明 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 例2 例3 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 此例说明了数学期望更完整地刻化了X的均值状态 设离散型随机变量X的分布律为 设离散型随机变量X的分布律为 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 例4 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 例5 第四章随机变量的数字特征 按规定 火车站每天8 00 9 00 9 00 10 00都恰有一辆客车到站 但到站的时刻是随机的 且两者到站的时间相互独立 其规律为 1 旅客8 00到站 求他侯车时间的数学期望 2 旅客8 20到站 求他侯车时间的数学期望 1数学期望 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 解 X103050 P1 63 62 6 1 旅客8 00到达 2 旅客8 20到达 X的分布率为 X的分布率为 X1030507090 P3 62 6 1 6 1 6 3 6 1 6 2 6 1 6 设旅客的候车时间为X 以分记 二 随机变量函数的数学期望 定理1 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 设Y g X g x 是连续函数 2 若X的概率密度为f x 1 若X的分布率为 定理2 第四章随机变量的数字特征 若 X Y 是二维随机变量 1 若 X Y 的分布律为 2 若 X Y 的概率密度为f x y 且 g x y 是二元连续函数 1数学期望 第四章随机变量的数字特征 解 例6 设 X Y 在区域A上服从均匀分布 其中A为x轴 y轴和直线x y 1 0所围成的区域 求EX E 3X 2Y EXY 1数学期望 第四章随机变量的数字特征 例7国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量X 吨 X U 2000 4000 每售出这种商品一吨 可为国家挣得外汇3万元 但销售不出而囤积在仓库 则每吨需浪费保养费1万元 问需要组织多少货源 才能使国家收益最大 设y为预备出口的该商品的数量 则 用Z表示国家的收益 万元 解 1数学期望 第四章随机变量的数字特征 下面求EZ 并求y使EZ达到最大值 即 组织3500吨此种商品是最佳的决策 例8 续 1数学期望 三 数学期望的性质 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 例8 第四章随机变量的数字特征 对N个人进行验血 有两种方案 2 将采集的每个人的血分成两份 然后取其中的一份 按k个人一组混合后进行化验 设N是k的倍数 若呈阴性反应 则认为k个人的血都是阴性反应 这时k个人的血只要化验一次 如果混合血液呈阳性反应 则需对k个人的另一份血液逐一进行化验 这时k个人的血要化验k 1次 1 对每人的血液逐个化验 共需N次化验 假设所有人的血液呈阳性反应的概率都是p 且各次化验结果是相互独立的 试说明适当选取k可使第二个方案减少化验次数 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 解 设X表示第二个方案下的总化验次数 表示第i个组的化验次数 则 例8 续 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 只要选k使 即 就可使第二个方案减少化验次数 当q已知时 第四章随机变量的数字特征 例如 当p 0 1 q 0 9时 可证明k 4可使最小 这时 工作量将减少40 1数学期望 就可使化验次数最少 第四章随机变量的数字特征 例9一民航送客载有20位旅客自机场开出 旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站没有旅客下车就不停车 以X表示停车的次数 求EX 设每个旅客在各个车站下车是等可能的 并设各旅客是否下车相互独立 解 1数学期望 第四章随机变量的数字特征 例10对产品进行抽样 只要发现废品就认为这批产品不合格 并结束抽样 若抽样到第n件仍未发现废品则认为这批产品合格 假设产品数量很大 抽查到废品的概率是p 试求平均需抽查的件数 解 设X为停止检查时 抽样的件数 则X的可能取值为1 2 n 且 1数学期望 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 第四章随机变量的数字特征 例11用某台机器生产某种产品 已知正品率随着该机器所用次数的增加而指数下降 即 假设每次生产100件产品 试求这台机器前10次生产中平均生产的正品总数 解 设X是前10次生产的产品中的正品数 并设 第四章随机变量的数字特征 1数学期望 所以 第四章随机变量的数