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文档简介
一道联赛题的多种证法2003年全国高中数学联赛第13题是关于不等式的证明,原题为:设3/2X5,证明不等式:2 对于熟悉柯西不等式的学生,若对不等式左端稍加变形,这似乎是一道很简单的题目,本文将从考纲要求掌握的方法中归纳出它的一般证法。一、 基本不等式法证法1:由基本不等式知: 2= = =2+=2证法2:由基本不等式,及x5知 2+=(+)+(+) 2+2 =(+)2=22=2证法3:本证法也是联赛提供的标准答案,由基本不等式a2+b22ab及(a+b+c+d)2= a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)4(a2+b2+c2+d2)因此a+b+c+d2(当且仅当a=b=c=d时取等号)取a=b=,c=,d=,则2+2=22因为,不能同时相等,所以2+2二、分析法证:欲证原不等式+2(-)12-x+24(20+x-2)又由基本不等式ab,有22x-3+15-x=12-x故只需证明12-x40+2x-4,而12-x40+2x-4428+3x9x2-136x+4800于是只要证=9x2-136x+480恒大于0(x5) 因为的对轴x=,而区间在x=的左侧,在上单调递减,则 (x),但0,故恒大于0(x5),进而原不等式成立。三、 换元法证:x5,令x=+则有2+=+(对后两项使用基本不等式)(再用基本不等式)=2(而上式等号不能同时成立) 故原不等式成立四、 构造函数法证:构造如下二次函数:=4t2-2(2+)t+(14+x)=2(t-)2+(t-)2+(t-)2 、在内不能相等,=0即2+22五、 导数法新课程中引入了微积分,既显示了对简单性的追求,又拓宽了数学思维的途径。这道题,我们可以利用导数所确定函数的凸性来证明。首先给出凸函数的有关定义与定理凸函数:如果定义在区间上上,且对任意的x1,,x2,以及恒有+(1-)称为上的凸函数。定理:若在(a, b)内0,则在(a, b)为凸的;若在(a, b)内,0,则在(a, b)为凹的。一般地,设在上,0,则对任意x1,i(0,1)i满足=1有证:设=,=-0在(0,+)上是凸函数。即=又2+而+2故原不等式成立以上各种证法依次使用了基本不等式法,配方法,换元法及二次函数的性质,简单,巧妙。证明过程看上去并不难,但必须具备坚实的“双基”,尤其利用导数对不等式的证明,使得对函数与方程的理解进入了一个运动变化的新天地。真正好的朋友,从来不需要这些表面功夫。走在这漫漫俗尘,形如微尘的我们,每天忙碌的像只蝼蚁,哪有时间去整那些虚假的表面文章。那些沉淀在岁月里的真情实意,哪一个不是无事各自忙,有事时,却又从不问回报几何的真心相助?至于那些平日里看上去可以一起打闹,一起吃喝,一起厮混,看似好成一片的人,或许,只是你在多少次的四目相对之时,动了真心,存了真义,是你默默认定对方可称朋友,有困难的时候是你愿意伸以援手,但未必对方一样。多少看似热情的人,内心是薄情的。而多少看似淡漠的人,内心实则一片温热。那些表面热诚的人,总是相安无事各自好,一旦你有事需要援助,别说大事,就是小事需代劳,你都会发现原来不过情比纸薄,对方远比你自己想的要现实的多。有些人,自从与你接近,内心就存有一份自己的打算。定是你于他而言,多少有些可用之处。正所谓无事献殷勤,非奸即盗。在这个功利心弥漫的世态下,没有哪一份意外的热情不无所图。不仅是职场如此,男人如此,就连女人也不能免俗。接孩子的时候,被困高层电梯下不来,一个电话打来,希望能帮忙照看一下放学的孩子。实在的人总是把别人毫不见外的信任,当作是一种荣幸,于是想都不用想就能一口答应。可当你有事需要对方只是代笔签个字这样的举手之劳时,对方都能各种不情愿各种推脱,至此你终是发现,原来人与人之间真不是一杯换一盏的事儿。关键时刻,还是得找那些看似平时不联系,但一开口能力范围之内就愿意为你想办法的人。多少人天真的以为,认识的人越多,人脉就越广,自己就越厉害,其实,那些所谓的人脉,不过廉价。倘若你没有同等的利用价值,谁会与你建立起所谓的交际?最是谈钱伤感情,也最是感情不值钱。别结识了比自己优秀比自己有能力的人,就觉得有了依靠有了光环,自己不足够优秀,结识谁都没有用。在你困难需求的时候,你开口求助,能够推脱敷衍那算给面子,对你闭门不见佯装不熟也是情理之中。日久见人心,患难见真情。平时是平时,别把平时当真情。这世上多少人变脸如翻书,有求于你一个样,各自安好一个样,最是有求于他嘴脸陋,让你瞬间就明白,何谓人情凉薄。随着年龄的增长,人心的不再纯澈,人与人之间的交往就不再那么的纯粹而真心了。也正是因为如此,才更要珍惜那些默默守护在你生活中的朋友。别看平时忙的少有见面,少有聊天,就连微信,都少有私信。但有事儿的时候,只一声招呼,谁能出力都会挺身而出,义不容辞。真正好的朋友,从来不需要这些表面功夫。走在这漫漫俗尘,形如微尘的我们,每天忙碌的像只蝼蚁,哪有时间去整那些虚假的表面文章。那些沉淀在岁月里的真情实意,哪一个不是无事各自忙,有事时,却又从不问回报几何的真心相助?至于那些平日里看上去可以一起打闹,一起吃喝,一起厮混,看似好成一片的人,或许,只是你在多少次的四目相对之时,动了真心,存了真义,是你默默认定对方可称朋友,有困难的时候是你愿意伸以援手,但未必对方一样。多少看似热情的人,内心是薄情的。而多少看似淡漠的人,内心实则一片温热。那些表面热诚的人,总是相安无事各自好,一旦你有事需要援助,别说大事,就是小事需代劳,你都会发现原来不过情比纸薄,对方远比你自己想的要现实的多。有些人,自从与你接近,内心就存有一份自己的打算。定是你于他而言,多少有些可用之处。正所谓无事献殷勤,非奸即盗。在这个功利心弥漫的世态下,没有哪一份意外的热情不无所图。不仅是职场如此,男人如此,就连女人也不能免俗。接孩子的时候,被困高层电梯下不来,一个电话打来,希望能帮忙照看一下放学的孩子。实在的人总是把别人毫不见外的信任,当作是一种荣幸,于是想都不用想就能一口答应。可当你有事需要对方只是代笔签个字这样的举手之劳时,对方都能各种不情愿各种推脱,至此你终是发现,原来人与人之间真不是一杯换一盏的事儿。关键时刻,还是得找那些看似平时不联系,但一开口能力范围之内就愿意为你想办法的人。多少人天真的以为,认识的人越多,人脉就越广,自己就越厉害,其实,那些所谓的人脉,不过廉价。倘若你没有同等的利用价值,谁会与你建立起所谓的交际?最是谈钱伤感情,也最是感情不值钱。别结识了比自己优秀比自己有能力的人,就觉得有了依靠有了光环,自己不足够优秀,结识谁都没有用。在你困难需求的时候,你开口求助,能够推脱敷衍那算给面子,对你闭门不见佯装不熟也是情理之中。日久见人心,患难见真情。平时是平时,别把平时当真情。这世上多少人变脸如翻书,有求于你一个样,各自安好一个样
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