4-5 经济中的最值问题.doc

第四章导数的应用Derivative Application 5 经济中的最值问题在经济活动分析中，许多问题都需要求函数的最值.例如，做一个容积为的圆柱形罐头盒，怎样设计才能使所用材料最省？一个工厂如何确定其产品的产量，以获得最大的利润？这些都属于求解函数的最大（最小）值问题.5.1 最大值与最小值概念Definition 4.4（See p.87）设函数在区间上有定义，如果存在点，对上任意一点，都有（或），则称是函数在区间上的最大（最小）值，并称为函数在区间上的最大（最小）值点.【Note】此定义中的“闭区间上”也可以换成“开区间内”.函数的最大值（记为）或最小值（记为）统称为函数的最值.我们在Chapter 4 4中已经知道，最值是整体性概念，是函数值在整个区间上（或区间内）的最大（最小）者；而极值是一个局部性概念，是函数值在内某点的一个邻域内的最大（最小）者.由Chapter 2 4中的Properties 2（最值定理）我们已经知道，闭区间上的连续函数必有最大值（largest value或greatest value）和最小值（least value）.若函数在闭区间上连续，则函数在上的最值的求法如下：求出开区间内函数的驻点（即使的点）及不可导点（即不存在的点），计算这些点处的函数值；计算函数在区间端点的值和；上述函数值中最大（最小）者为函数在闭区间上的最大（最小）值.【Note】需要指出的是：如果连续函数在区间内仅有一个极大值，而没有极小值，则此极大值即是函数在区间上的最大值；同样，如果连续函数在开区间内仅有一个极小值，而没有极大值，则此极小值即是函数在区间上的最小值.一般的实际问题中，往往极值点是唯一的，这个唯一的极值点也就是最值点.Example 4.5.1（See p.88） 求在区间上的最大值及最小值.解 ，令，得驻点，而和是不存在的点（即的不可导点）.由于不在区间内，故将其舍去.因，故最大值为，而最小值为.Example 4.5.2（See p.88） 有一边长分别为和的长方形铁皮，在其四角各减去相同的小正方形，把四边折起来便成为一个无盖的盒子，若要使此盒的容积最大，问剪去的小正方形边长为多少？解 设剪去的小正方形边长为（），盒容积为，则有. ，令，得唯一驻点（，舍去）.又,，于是当时，取最大值.Example 4.5.3 某商场每年销售某种品牌电视机台，每次进货费用为元，每台电视机的库存保管费用为元，且假设销售是均匀的.求最优批量（即使总费用最少的进货批量）.解 设批量为台/批，总费用为元.则，整理得，.令，得唯一驻点（，舍去）.而，所以为极小值点，从而为最小值点.即最优批量为台/批.【Note】建立总费用函数的知识，可以参见Chapter 1 5中的Example 1.5.2（See pp.1415）.若求最优批次（即使总费用最少的进货批次），则可以这样来作：设批次为批，总费用为元.则，整理得，.令，得唯一驻点（，舍去）.而，所以为极小值点，从而为最小值点.即最优批次为批.Example 4.5.4 容积为的圆柱形罐头盒，应如何设计尺寸能使用料最省？解 设罐头盒底半径为，高为，则所用材料（圆柱形表面积）为，由得，故，.令，得内唯一驻点.而，所以为极小值点，从而为最小值点.我们注意到，此时即罐头盒的高等于底直径时，用料最省.5.2 经济中的最值问题5.2.1 最低平均成本问题Example 4.5.5（See p.89）某工厂生产件产品的总成本函数为.求该厂生产多少件产品时，平均成本达到最小？解 平均成本函数，令，得唯一驻点（舍去），又，由于，故该厂生产件产品时，平均成本达到最小.Example 4.5.6（See p.89） A merchant sells brooms rather uniformly at a rate of aboutbrooms per year. Accounting procedures determine that the cost of carrying a broom in stock is $per year. When ordering brooms, the merchant experiences a fixed order cost of $plus a variable order cost ofper broom. Assuming that orders can be placed so that delivery occurs precisely when stock is depleted, how often should the merchant order brooms so as to minimize yearly cost?Solution Our merchant faces a tradeoff between ordering brooms frequently, thereby reducing storage costs but increasing ordering costs, or ordering infrequently with the opposite consequences. To analyze this cost problem, we first identify the contributing factors of cost, as described above. We find thatYearly cost = (storage costs) + (fixed ordering costs) + (variable ordering costs)The only independent variable present is the number of times the merchant orders brooms per year, which we denote by.Then the fraction of a year each order lasts in stock is . Since brooms are sold at a uniform rate, individual brooms remain in stock half this long, on the average. The merchants annual storage costs are therefore as follows:Storage costs =（number of brooms）(average storage time per broom)(annual storage cost per broom)dollars per yearThe fixed ordering costs will be:fixed ordering costs =(orders per year)($per order) dollars per yearFinally, the variable ordering costs will be dollars per year regardless of the frequency with which orders are placed. So, we can write down the annual cost as dollars per year.Now the range of feasible values for will be limited to an interval, say .Then the problem of minimizing cost is simply the problem of finding the minimum value for the function on the interval.We find thatSo settinggives the equation which yields the critical numbers. In addition, is also a critical number sinceis undefined. However, among these critical numbers onlylies within the interval of feasible solution.Sincedollars,dollars, anddollars. The minimum cost occurs when brooms are ordered eight times per year.Example 4.5.6（See p.89） 一个商人相当均匀地以大约每年把扫帚的速度出售扫帚.经会计程序核算确定，一把扫帚的库存费用是每年美元.当预订扫帚时，商人每次订货需要支付美元的固定订货费用以及每把扫帚美分（cent是$ dollar）以下的货币单位符号）的可变订货费用.又假设当扫帚售完后即刻进货.商家应如何订货，以使每年的总费用最少？解 商人通过频繁订货减少批量（从而减少存贮量）来减少存贮费用，但因要增加订货批次而增加订货成本；或者反之，通过减少订货批次来减少订货成本，但因要增加批量（从而增加存贮量）而增加存贮费用.为了分析总费用这个问题，我们首先确定构成总费用的各个因素.由上面的描述，我们知道，每年的总费用=(存贮费用)(固定订货费用)(可变订货费用).唯一的自变数是商人每年订货批次数，我们用表示.因为扫帚被均匀出售，所以每次订货保持有现货的时间为一年的，每扫帚平均存储时间为它的一半，即一年的.因此商人的年存贮费用如下：存贮费用=(一年出售扫帚的数量)(每扫帚平均存储时间)(每把扫帚年库存费用)美元/每年.固定订货费用将是：固定定订货费用=(每年订货批次)(每次订货美元)美元/每年.最后，不管订单发出的频率如何，可变订货费用将是美元.因此，我们能写出年度成本函数为美元/每年.现在可行的范围为将限制在区间上.因此，使总费用减到最小的问题就简化为求函数在区间上的最小值问题.我们求得，因此令得等式，得出临界值（即为两个驻点）.另外， 也是一个临界值，因为无定义（即为不可导点）.然而，在这些临界值之中仅在区间上是可行的解答，因为美元，美元，美元.所以. 每年订购八次，发生的总费用费用最少.5.2.2 最大收益问题Example 4.5.7（See p.90） 设某产品的需求函数（件）（价格的单位为：元/件），问产量为何值时，总收益最大？最大收益是多少？解 由，得，则总收益函数为：，.令，得唯一驻点.由于,故当产量件时总收益最大.最大收益为（元）.Example 4.5.8（See p.90） A catering service will serve a particular dinner on its menu to groups of between and people. For groups of size the price charged for the meal $ per person. For each additional person beyond the price is reduced by per person. What size group provides the service with maximum revenue?Solution We letrepresent the number of person in the group being served. Then is the number of persons by which the group exceeds. The price per person is therefore dollars. The total revenue is given by the equation dollars. We seek the maximum value of this function for in the interval , we obtain , so the equationgives . There are no values of for whichfails to exit, so the only critical number foris.The maximum revenue therefore lies among the values: dollars, dollars, dollars. The maximum revenue is dollars, achieved for groups of size.Example 4.5.8（See p.90） 承办酒席服务在将一顿特殊晚餐的人数规定在每组人到人之间. 对于每组用餐人数为人的价格标准为每人收费美元. 超过人的价格标准为每超出一人减少美分.每组多少人用餐能获得最大收益？解 设为每组用餐人数，则是每组超出的用餐人数. 因此每人收费价格是美元.总收益为等式 美元. 我们求这个函数当在区间上时的最大值，我们获得，因此由等式得出.无不存在的点，仅有唯一驻点.因此下列值中隐含着最大收益： 美元,美元,美元. 当每组人用餐时能获得最大收益美元.5.2.3 最大利润问题设总收益，总成本，则利润函数（其中为产量）.取得最大利润的必要条件是：,即，亦即.取得最大利润的充分条件是：在驻点处，,即.Example 4.5.9（p.91） 某工厂生产某种产品的固定成本为（百元），每生产一个单位产品成本增加（百元），且已知需求函数（为价格，为产量），这种产品在市场上是畅销的，试求出该产品的总利润最大时的产量及最大利润值.解 因为该产品是畅销的，所以产量和需求量是相等的.设产量为,成本函数为（收益函数为），利润函数为，于是， ， ,.令得出（驻点）.又因为，所以为极大值点，而由于是唯一的一个驻点，故 也是最大值点，这时最大润为.Example 4.5.10（See p.92）A monopoly exists when a single firm is the sole producer of a particular good or service. In such a situation there is a direct relationship between the price the monopolist charge for the item (price) and the number of items the public will purchase (demand). Decreasing the price increases sales and conversely. A typical demand curve appears in Figure 4-8. Suppose that a monopolist can manufacture at most items per week and that Market research shows that the price at which the monopolist can sell items per week is roughly dollars. Furthermore, suppose that the monopolist estimates the cost of producing items per week to be approximately dollars. Then (a) the revenue obtained from selling items per week is , (b) the profit ob